2020九年级数学上册 第1章 二次函数 1 5页

1.2 二次函数的图象(2)‎ ‎(见A本3页)‎ A　练就好基础　基础达标 ‎1．下列坐标所表示的点在y＝x2－4图象上的是(　C　)‎ A．(4，4)　　　　　　 B．(1，－4) C．(2，0) D．(0，4)‎ ‎2．如果将抛物线y＝x2 向下平移1个单位，那么所得新抛物线的函数表达式是(　C　)‎ A．y＝(x－1)2 B．y＝(x＋1)‎2 ‎ C．y＝x2－1 D．y＝x2＋1‎ ‎3．已知二次函数y＝－(x－1)2＋2，下列说法中，正确的是(　C　)‎ A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是(－1，2)‎ C．函数有最大值2 ‎ D．图象与y轴的交点坐标为(0，2)‎ ‎4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是(　D　)‎ A．　　　　 B．　　　　C．　　　　　D.‎ ‎5．抛物线y＝2(x－3)2的开口__向上__，顶点坐标是　(3，0)　，对称轴是直线__x＝3__．‎ ‎6．一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2相同，顶点在(0，－1)上，那么这条抛物线的表达式为__y＝2x2－1或y＝－2x2－1__．‎ ‎7．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为‎20 m，顶点M距水面‎6 m(即MO＝‎6 m)，小孔顶点N距水面‎4.5 m(即NC＝‎4.5 m)．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度EF是__10_m__．‎ 第7题图 5‎ ‎8．一个二次函数，其图象由抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k(k＞0)个单位得到，平移后的图象过点(2，1)，求k的值．‎ 解：由抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k个单位，得y＝(x－1)2＋k.又∵过点(2，1)，∴(2－1)2＋k＝1，解得k＝.‎ 第9题图 ‎9．如图所示，某水渠的横截面成抛物线，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的坐标系．已知AB＝‎8米，设抛物线的解析式为y＝ax2－4.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连结CD，BC，BD，求△BCD的面积．‎ 解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，‎ ‎∴B(4，0)，把B点坐标代入解析式，得16a－4＝0，‎ 解得a＝.‎ ‎(2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，‎ 第9题答图 ‎∵a＝，‎ ‎∴y＝x2－4，‎ 又∵点C(－1，m)是抛物线上一点，‎ ‎∴m＝×(－1)2－4＝－，‎ ‎∴C.‎ ‎∵点C关于原点的对称点为点D，‎ 5‎ ‎∴点D的坐标为，‎ 则CE＝DF＝，‎ S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝OB·DF＋OB·CE＝×4×＋×4×＝15，‎ ‎∴△BCD的面积为15平方米．‎ B　更上一层楼　能力提升 ‎10．二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k取不同实数值时，图象顶点所在直线的函数表达式是__y＝－x__．‎ ‎11．在二次函数y＝－(x－2)2＋的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有__7__个．‎ ‎12．二次函数y＝a(x＋1)2－2的图象均在x轴的下方，则a的取值范围为__a＜0__．‎ 第13题图 ‎13．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为‎3 m，跨度OA为‎6 m，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系(如图所示)．‎ ‎(1)请你直接写出A，M两点的坐标；‎ ‎(2)一艘小船上平放着一些长‎3 m、宽‎2 m且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问：这些木板最高可堆放多少米？(假设底层木板与水面在同一平面上)‎ 解：(1)A(6，0)，M(3，3)．‎ ‎(2)设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋3，因为抛物线过点(0，0)，所以0＝a(0－3)2＋3，解得a＝－，所以y＝－ (x－3)2＋3，要使木板堆放最高，依据题意，得B点应是木板宽的中点，把x＝2代入抛物线的表达式得y＝，所以这些木板最高可堆放 m.‎ 第14题图 ‎14．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M. ‎ ‎(1)求二次函数的表达式；‎ ‎(2)请叙述三种平移的方式，使得平移后的二次函数的图象经过原点．‎ 5‎ 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴ 解得 则抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.‎ ‎(2)将原二次函数向右平移1个单位或向左平移3个单位或向上平移3个单位后都经过原点．(答案不唯一)‎ C　开拓新思路　拓展创新 第15题图 ‎15．如图，点A，B的坐标分别为(2，－5)和(5，－5)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．若点D的横坐标最大值为10，则点C的横坐标最小值为__－3__．‎ 第16题图 ‎16．如图所示，二次函数图象的顶点在原点O上，经过点A；点F(0，1)在y轴上，直线y＝－1与y轴交于点H.‎ ‎(1)求二次函数的表达式．‎ ‎(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M，求证：FM平分∠OFP.‎ ‎(3)当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．‎ 解：(1)∵二次函数图象的顶点在原点O上，‎ ‎∴设二次函数的表达式为y＝ax2，‎ 将点A代入y＝ax2，得a＝，‎ ‎∴二次函数的表达式为y＝x2.‎ ‎(2)证明：∵点P在抛物线y＝x2上，‎ ‎∴可设点P的坐标为，‎ 如答图，过点P作PB⊥y轴于点B，则BF＝，PB＝|x|，∴在Rt△BPF中，‎ 5‎ PF＝＝x2＋1. ‎ 第16题答图 ‎∵PM垂直于直线y＝－1，∴PM＝x2＋1，‎ ‎∴PF＝PM，∴∠PFM＝∠PMF，‎ 又∵PM∥y轴，∴∠MFH＝∠PMF，‎ ‎∴∠PFM＝∠MFH，∴FM平分∠OFP.‎ ‎(3)当△FPM是等边三角形时，∠PMF＝60°，‎ ‎∴∠FMH＝30°，‎ ‎∴在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4.‎ ‎∵PF＝PM＝FM，∴x2＋1＝4，‎ 解得x＝±2，∴x2＝12，y＝3.‎ ‎∴满足条件的点P的坐标为(2，3)或(－2，3)．‎ 5‎