初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第五章 图形性质1 第22讲平行四边形 39页

人教 数 学 第五章　图形的性质 ( 一 ) 第 22 讲　平行四边形 要点梳理 1 ． n 边形以及四边形的性质 (1) n 边形的内角和为 ， 外角和为 _ ， 对角线条数为 ． (2) 四边形的内角和为 ， 外角和为 ， 对角线条数为 ． (3) 正多边形的定义：各条边都 ， 且各内角都 的多边形叫正多边形． ( n － 2 ) · 180 ° 360 ° 360 ° 360 ° 2 相等 相等 要点梳理 2 ． 平行四边形的性质以及判定 (1) 性质： ① 平行四边形两组对边分别 ； ② 平行四边形对角 ， 邻角 ； ③ 平行四边形对角线 ； ④ 平行四边形是 对称图形． 平行且相等 相等 互补 互相平分 中心 要点梳理 (2) 判定方法： ① 定义： 的四边形是平行四边形； ② 的四边形是平行四边形； ③ 的四边形是平行四边形； ④ 的四边形是平行四边形； ⑤ 的四边形是平行四边形． 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 要点梳理 3 ． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 ， 且等于第三边的一半． 一个方法 面积法：在三角形和平行四边形中 ， 运用 “ 等积法 ” 进行求解 ， 以不同的边为底 ， 其高也不相同 ， 但面积是定值 ， 从而得到不同底和高的关系． 一个防范 图形的直观性可帮助探求解题思路 ， 但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理 ， 造成解题失误．一定要对所有直观判断加以证明 ， 不可以用直观判断代替严密的推理． 四个误区 误区一：一组对边平行 ， 另一组对边相等的四边形是平行四边形； 误区二：一组对边相等 ， 一组对角相等的四边形是平行四边形； 误区三：一组对边相等 ， 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 误区四：一组对角相等 ， 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 四种辅助线 (1) 常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题； (2) 有平行线时 ， 常作平行线构造平行四边形； (3) 有中线时 ， 常作加倍中线构造平行四边形； (4) 图形具有等邻边特征时 ( 如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等 ) ， 可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置． 1 ． ( 2014 · 毕节 ) 如图 ， 一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后 ， 得到一个内角和为 2340° 的新多边形 ， 则原多边形的边数为 ( ) A ． 13 　　 B ． 14 　　 C ． 15 　　 D ． 16 B 2 ． ( 2014 · 济南 ) 如图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， 延长 AB 到点 E ， 使 BE ＝ AB ， 连接 DE 交 BC 于点 F ， 则下列结论不一定成立的是 ( ) A ． ∠ E ＝ ∠ CDF B ． EF ＝ DF C ． AD ＝ 2 BF D ． BE ＝ 2 CF D 3 ． ( 2014 · 新疆 ) 四边形 ABCD 中 ， 对角线 AC 与 BD 交于点 O ， 下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 ( ) A ． OA ＝ OC ， OB ＝ OD B ． AD ∥ BC ， AB ∥ DC C ． AB ＝ DC ， AD ＝ BC D ． AB ∥ DC ， AD ＝ BC D 4 ． ( 2014 · 河北 ) 如图， △ ABC 中 ， D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点．若 DE ＝ 2 ， 则 BC ＝ ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 C 5 ． ( 2014 · 河南 ) 如图 ， ▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AB ⊥ AC ， 若 AB ＝ 4 ， AC ＝ 6 ， 则 BD 的长是 ( ) A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 11 C 平行四边形的判定 【 例 1】 　 ( 2014 · 徐州 ) 如图 ，在平行四边形 ABCD 中，点 E ， F 在 AC 上，且 AE ＝ CF. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 解：证明：连接 BD ， 设对角线交于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD. ∵ AE ＝ CF ， OA － AE ＝ OC － CF ， ∴ OE ＝ OF. ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形 【 点评 】 　探索平行四边形成立的条件 ， 有多种方法判定平行四边形： ① 若条件中涉及角 ， 考虑用 “ 两组对角分别相等 ” 或 “ 两组对边分别平行 ” 来证明； ② 若条件中涉及对角线 ， 考虑用 “ 对角线互相平分 ” 来说明； ③ 若条件中涉及边 ， 考虑用 “ 两组对边分别平行 ” 或 “ 一组对边平行且相等 ” 来证明 ， 也可以巧添辅助线 ， 构建平行四边形． 1 ． ( 2013 · 鞍山 ) 如图 ， E ， F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点 ， AF ＝ CE ， DF ＝ BE ， DF ∥ BE. 求证： (1) △ AFD ≌△ CEB ； (2) 四边形 ABCD 是平行四边形． 解：证明： ( 1 ) ∵ DF ∥ BE ， ∴∠ DFE ＝ ∠ BEF ， ∴∠ DFA ＝ ∠ BEC. 又 ∵ AF ＝ CE ， DF ＝ BE ， ∴△ AFD ≌△ CEB ( SAS ) ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 △ AFD ≌△ CEB ， ∴∠ DAC ＝ ∠ BCA ， AD ＝ BC ， ∴ AD ∥ BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ( 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ) 平行四边形相关边、角、周长与面积问题 【 例 2】 　 ( 2014 · 怀化 ) 如图 ，在平行四边形 ABCD 中， ∠ B ＝ ∠ AFE ， EA 是 ∠ BEF 的角平分线．求证： (1) △ ABE ≌△ AFE ； (2) ∠ FAD ＝ ∠ CDE. 解：证明： ( 1 ) ∵ EA 是 ∠ BEF 的角平分线 ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2 ， 在 △ ABE 和 △ AFE 中 ， î ï í ï ì ∠ B ＝ ∠ AFE ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， AE ＝ AE ， ∴△ AB E ≌△ AFE ( AAS ) ( 2 ) ∵△ ABE ≌△ AFE ， ∴ AB ＝ AF ， ∵ 四边形 ABCD 平行四边形 ， ∴ AB ＝ CD ， AD ∥ CB ， AB ∥ CD ， ∴ AF ＝ CD ， ∠ ADF ＝ ∠ DEC ， ∠ B ＋ ∠ C ＝ 180 ° ， ∵∠ B ＝ ∠ AFE ， ∠ AFE ＋ ∠ AFD ＝ 180 ° ， ∴∠ AFD ＝ ∠ C ， 在 △ AFD 和 △ DCE 中 ， î ï í ï ì ∠ ADF ＝ ∠ FEC ， ∠ C ＝ ∠ AFD ， AF ＝ DC ， ∴△ AFD ≌△ DCE ( AAS ) ， ∴∠ FAD ＝ ∠ CDE 【 点评 】 　平行四边形对边相等 ， 对边平行 ， 对角相等 ， 邻角互补 ， 对角线互相平分 ， 利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题 ， 也可将四边形的问题转化为三角形的问题． 2 ． ( 2013 · 宁夏 ) 在 ▱ ABCD 中 ， P 是 AB 边上的任意一点 ， 过 P 点作 PE ⊥ AB ， 交 AD 于 E ， 连接 CE ， CP ， 已知 ∠ A ＝ 60°. (1) 若 BC ＝ 8 ， AB ＝ 6 ， 当 AP 的长为多少时 ， △ CPE 的面积最大 ， 并求出面积的最大值； (2) 试探究当 △ CPE ≌△ CPB 时 ， ▱ ABCD 的两边 AB 与 BC 应满足什么关系？ 解： ( 1 ) 延长 PE 交 CD 的延长线于 F ， 设 AP ＝ x ， △ CPE 的面积为 y ， ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形 ， ∴ AB ＝ DC ＝ 6 ， AD ＝ BC ＝ 8 ， ∵ Rt △ APE ， ∠ A ＝ 60 ° ， ∴∠ PEA ＝ 30 ° ， ∴ AE ＝ 2x ， P E ＝ 3 x ， ∵ AB ∥ CD ， PF ⊥ AB ， ∴ PF ⊥ CD ， 在 Rt △ DEF 中 ， ∠ DEF ＝ ∠ PEA ＝ 30 ° ， DE ＝ AD － AE ＝ 8 － 2x ， ∴ DF ＝ 1 2 DE ＝ 4 － x ， FC ＝ DC ＋ DF ＝ 10 － x ， ∴ S △ CPE ＝ 1 2 PE·CF ， 即 y ＝ 1 2 × 3 x × ( 10 － x ) ＝－ 3 2 x 2 ＋ 5 3 x ， 配 方得： y ＝－ 3 2 ( x － 5 ) 2 ＋ 25 3 2 ， 当 x ＝ 5 时 ， y 有最大值 25 3 2 ， 即 AP 的长为 5 时 ， △ CPE 的面积最大 ， 最大面积是 25 3 2 ( 2 ) 当 △ CPE ≌△ CPB 时 ， 有 BC ＝ CE ， ∠ B ＝ ∠ PEC ＝ 120 ° ， ∴∠ CED ＝ 180 ° － ∠ AEP － ∠ PEC ＝ 30 ° ， ∵∠ ADC ＝ 120 ° ， ∴∠ ECD ＝ ∠ CED ＝ 180 ° － 120 ° － 30 ° ＝ 30 ° ， ∴ DE ＝ CD ， 即 △ EDC 是等腰三角形 ， 过 D 作 DM ⊥ CE 于 M ， 则 CM ＝ 1 2 CE ， 在 Rt △ CMD 中 ， ∠ ECD ＝ 30 ° ， ∴ cos30 ° ＝ CM CD ＝ 3 2 ， ∴ CM ＝ 3 2 CD ， ∴ CE ＝ 3 CD ， ∵ BC ＝ CE ， AB ＝ CD ， ∴ BC ＝ 3 AB ， 则当 △ CPE ≌△ CPB 时 ， BC 与 AB 满足的关系为 BC ＝ 3 AB 运用平行四边形的性质进行推理论证 【 例 3】 　 ( 2014 · 聊城 ) 如图 ， 四边形 ABCD 是平行四边形 ， 作 AF ∥ CE ， BE ∥ DF ， AF 交 BE 与 G 点 ， 交 DF 与 F 点 ， CE 交 DF 于 H 点 ， 交 BE 于 E 点． 求证： △ EBC ≌△ FDA. 解：证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AD ＝ BC ， AD ∥ BC ， ∵ AF ∥ CE ， BE ∥ DF ， ∴ 四边形 BHDK 和四边形 AMCN 是平行四 边形 ， ∴∠ FAD ＝ ∠ ECB ， ∠ ADF ＝ ∠ EBC ， 在 △ EBC 和 △ FDA 中 ， î ï í ï ì ∠ EBC ＝ ∠ ADF ， BC ＝ AD ， ∠ BCE ＝ ∠ DAF ， ∴△ EBC ≌△ FDA ( ASA ) 【 点评 】 　利用平行四边形的性质 ， 可以证角相等、线段相等 ， 其关键是根据所要证明的全等三角形 ， 选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形． 3 ． (1) ( 2013 · 益阳 ) 如图 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， 下列结论中错误的是 ( ) A ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 B ． ∠ BAD ＝ ∠ BCD C ． AB ＝ CD D ． AC ⊥ BD D (2) ( 2014 · 贺州 ) 如图 ， 四边形 ABCD 是平行四边形 ， E ， F 是对角线 BD 上的点 ， ∠ 1 ＝ ∠ 2. ① 求证： BE ＝ DF ； ② 求证： AF ∥ CE. 解： ( 2 ) 证明： ①∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AB ＝ CD ， AB ∥ CD ， ∴∠ 5 ＝ ∠ 3 ， ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ AEB ＝ ∠ 4 ， 在 △ ABE 和 △ CDF 中 ， î ï í ï ì ∠ AEB ＝ ∠ 4 ， ∠ 3 ＝ ∠ 5 ， AB ＝ CD ， ∴△ ABE ≌△ CDF ( AAS ) ， ∴ BE ＝ DF ； ② 由 ① 得 △ ABE ≌△ CDF ， ∴ AE ＝ CF ， ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴ AE ∥ CF ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边 形 ， ∴ AF ∥ CE 三角形中位线定理 【 例 4】 　 ( 2013 · 鞍山 ) 如图， D 是 △ ABC 内一点 ， BD ⊥ CD ， AD ＝ 6 ， BD ＝ 4 ， CD ＝ 3 ， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AC ， CD ， BD 的中点 ， 则四边形 EFGH 的周长是 ． 11 【 点评 】 　当已知三角形一边中点时 ， 可以设法找出另一边的中点 ， 构造三角形中位线 ， 进一步利用三角形的中位线定理 ， 证明线段平行或倍分问题． 4 ． ( 2014 · 邵阳 ) 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， D 为 AB 的中点 ， DE ⊥ AC 于点 E. ∠ A ＝ 30° ， AB ＝ 8 ， 则 DE 的长度是 ． 2 试题　如图 ， 已知六边形 ABCDEF 的六个内角均为 120° ， CD ＝ 10 cm ， BC ＝ 8 cm ， AB ＝ 8 cm ， AF ＝ 5 cm ， 求此六边形的周长． 错解 解：如图 ， 连接 EB ， DA ， FC ， 分别交于点 M ， N ， P . ∵∠ FED ＝ ∠ EDC ＝ 120° ， ∴∠ DEM ＝ ∠ EDM ＝ 60° ， ∴△ DEM 是等边三角形． 同理 ， △ MAB ， △ NFA 也是等边三角形． ∴ FN ＝ AF ＝ 5 ， MA ＝ AB ＝ 8. ∵∠ EFA ＝ 120° ， ∴∠ EFC ＝ 60° ， ∴ ED ∥ FC ， 同理 ， EF ∥ DN . ∴ 四边形 EDNF 是平行四边形．同理 ， 四边形 EMAF 也是平行四边形 ， ∴ ED ＝ FN ＝ 5 ， EF ＝ MA ＝ 8. ∴ 六边形 ABCDEF 的周长＝ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DE ＋ EF ＋ FA ＝ 8 ＋ 8 ＋ 10 ＋ 5 ＋ 8 ＋ 5 ＝ 44(cm) ． 剖析 　上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线 ， 从证明的一开始 ， 由 ∠ FED ＝ ∠ EDC ＝ 120° 得到 ∠ DEM ＝ ∠ EDM ＝ 60° 的这个结论就是错误的 ， 所以后面的推理就没有依据了 ， 请注意对角线与角平分线的区别 ， 只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性 ， 其他的不具有这一性质．不可凭直观感觉就以为对角线 AD ， BE 平分 ∠ CDE ， ∠ DEF . 切记：视觉不可代替论证 ， 直观判断不能代替逻辑推理． 正解 解：如图 ， 分别延长 ED ， BC 交于点 M ， 延长 EF ， BA 交于点 N . ∵∠ EDC ＝ ∠ DCB ＝ 120° ， ∴∠ MDC ＝ ∠ MCD ＝ 60° ， ∴∠ M ＝ 60° ， ∴△ MDC 是等边三角形． ∵ CD ＝ 10 ， ∴ MC ＝ DM ＝ 10. 同理 ， △ ANF 也是等边三角形 ， AF ＝ AN ＝ NF ＝ 5. ∵ AB ＝ BC ＝ 8 ， ∴ NB ＝ 8 ＋ 5 ＝ 13 ， BM ＝ 8 ＋ 10 ＝ 18. ∵∠ E ＝ 120° ， ∠ E ＋ ∠ M ＝ 180° ， ∴ EN ∥ MB . ∴ 四边形 EMBN 是平行四边形 ， ∴ EN ＝ BM ＝ 18 ， EM ＝ NB ＝ 13 ， ∴ EF ＝ EN － NF ＝ 18 － 5 ＝ 13 ， ED ＝ EM － DM ＝ 13 － 10 ＝ 3 ， ∴ 六边形 ABCDEF 的周长＝ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DE ＋ EF ＋ FA ＝ 8 ＋ 8 ＋ 10 ＋ 3 ＋ 13 ＋ 5 ＝ 47(cm) ．