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- 2021-06-22 发布
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云浮市2019～2020学年第二学期高一期末检测
数学
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．在等差数列中，若，公差，则（ ）．
A．7 B．9 C．11 D．13
3．在容量为50的样本中，某组的频率为，则该组样本的频数为（ ）．
A．9 B．10 C．18 D．20
4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
5．已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．已知平面向量，，则与的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
7．在中，角，，所对的边分别是，，．若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
8．在正项等比数列中，若，则（ ）．
A．5 B．6 C．10 D．11
9．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件{抽到一等奖}，事件{抽到二等奖}，事件{抽到三等奖}，且已知，，
，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（ ）．
A． B． C． D．
10．等边三角形的边长为1，，，，那么等于（ ）．
A．3 B． C． D．
11．已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下表：
0
1
2
3
4
若回归直线方程是，则下列说法不正确的是（ ）．
A．的值是 B．变量，是正相关关系
C．若，则的值一定是 D．若的值增加1，则的值约增加
12．在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，且，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知，则的最小值是______．
14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生，则在该学校的高三学生中应抽取______名．
15．在相距3千米的，两个观察点观察目标点，其中观察点在观察点的正东方向，在观察点处观察，目标点在北偏东方向上，在观察点处观察，目标点在西北方向上，则，两点之间的距离是______千米．
16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在，两种设备上加工，在每台，设备上加工1件甲产品所需工时分别为、，加工1件乙产品所需工时分别为、，，两种设备每月有效使用时数分别为和．若合理安排生产可使收入最大为______元．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）已知向量，满足，，且，求的坐标．
（2）已知、、，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．
18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：），得到以下茎叶图：
甲
乙
1 0
6 0 0
3
2
3
4
0 1 2
5
0 2
（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；
（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．
19．设等差数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求．
20．某家庭年的年收入和年支出的情况统计如下表：
年份
收入和支出
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入（万元）
9
10
11
支出（万元）
8
（1）已知与具有线性相关关系，求关与的线性回归方程（系数精确到）；
（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．
（参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，）
21．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长．
22．在数列中，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．D 因为，，所以．
2．A 因为，，所以．
3．A 频数＝样本容量×频率．
4．B 因为与不共线，所以可以作为基底．
5．B 因为，，，所以．
6．D 设与的夹角为，因为，所以．
7．B 因为，所以．
8．D
因为，
所以．
9．C
设事件{抽到幸运奖}，则由题意知事件，，，互为互斥事件，
记事件{抽到三等奖或者幸运奖}，
则，故选C．
10．D 因为，所以．
11．C
由题知，，则，
求得的值是，故A正确；
因为变量，的回归直线方程是，
所以变量，呈正相关系，故B正确；
若的值增加1，则的值约增加，故D正确；
若，则求得，但并不能断定的值一定是，故C错误．
12．B
因为，，所以，
所以，
即，所以，则．
因为，所以，
所以，则．
13．10
因为，所以（当且仅当时，等号成立）．
14．28
高三学生的总人数为，应抽取的人数为．
15．
由题设知在中，，，则，
由正弦定理，得．
16．800000
设每月生产甲产品件，生产乙产品件，每月收入为元，
目标函数为，需要满足的条件是，
作直线，当直线经过点时，取得最大值．
解方程组，可得点，
则的最大值为800000元．
17．（1）解：设，则，解得或．
于是或．
（2）是直角三角形，为直角．
∵，，
∴，
∴，即为直角三角形，为直角．
18．解：（1），
，
所以，．
（2），
，
所以，，即甲试验田的此种农作物长得相对较齐．
19．解：（1）设数列的公差为，
因为，所以，解得，
所以．
（2）由（1）知，
因为，所以，
化简得，解得或（舍去）．
20．解：（1）由题可得，
，
，
，
，
，
，
则关于的线性回归方程为．
（2）当2020年的年收入为万元时，．
所以预测该家庭2020年的年支出金额为万元．
21．解：（1）因为，所以．
因为，所以，
因为，所以．
（2）因为的面积为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
故的周长是．
22．（1）证明：因为，所以，
所以，即．
因为的，所以，
故数列是以12为首项，3为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可得，即，
则，
当为偶数时，
，
因为是递减的，所以．
当为奇数时，
，
因为，所以．
要使对任意的，恒成立，只需，即，
故的取值范围是．
