精编国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案 6页

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务 4 试题及答案 形考任务 4 常微分方程学习活动 4 第二章基本定理的综合练习 本课程形成性考核综合练习共 3 次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、 第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点, 重 点复习，争取尽快掌握. 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相 应 网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、 填空题 1. 方程也 = ^sin(x2 +*2)的任一非零解不能 与*轴相交. dx 2 ・李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分二条件. 3. 方程 V 士 ysinx = e'的任一解的存在区间必是(-8, +8). 4. 一阶显式方程解的最大存在区间一定是一 开区间 . 5. 方程也=亍+ 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 XOY 平面・ dx _ 6. 方程^ = sinx-cosj；满足解的存在唯一性定理条件的区域是 XOY 平面. dx _ 7. 方程华=%2 + siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 XOY 平而. dx 8. 方程孚=陌+ 1 满足解的存在唯一性定理条件的区域是—D = {(x,y)ER2 y>0}f (或不含*轴的上半平而). dx 9. 方程曳=叫一七满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面. dx 1 + x+y 10. 一个不可延展解的存在在区间一定开区间. 二、 计算题 1. 判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？ (1) yr = x2 +y2 (2) yf = x + siny 1. 解 (1)因为/(工,力=乂 2+；?及= 在整个 xo*平面上连续，且满足存在唯一性定理条件，所以 在整个平面上， 初值解存在且唯一. (2)因为/.(x/) = x + sinv 及 4(X,J0 = COSV 在整个 x。*平而上连续，且满足存在唯一性定理条件，所以在 整个、0* 平面上，初值解存在且唯一. 2. 讨论方程在怎样的区域中满足定理 2. 2 的条件.并求通过(0,0)的一切解. dx 2 3 - 1 2 •解 因为方程 f(x,y) = -y3 在整个 xo*平面上连续，f；(x,y) = ^ 除 x 轴外，在整个 x。*平面上有界，所 2 2/ 3 以除 x轴外在整个 xoy平面上都满足定理 2.1的条件.而后分离变量并积分可求出方程的通解为* = ±(x-c)5,x>c, 其中 c>0. 另外容易验证 y = 0 是方程的特解.因此通过(0,0)的解有无穷多个，分别是： 0,xc 3. 判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解. (1) — = -y/y-x (2) — = -x ± y/x2 +2y dx dx 3. 解 (1)因为，(x 疗)=缶三在半平 而 y>x±连续，= 当* =工时无界，所以如果存在 2Jy_x 奇解只能是* = x,但 y = x 不是方程的解，故方程无奇解・ _______ 2 ] 2 ⑵ 因为，3 湛)=一 x 土在-一的区域上连续，r(x^) = ± J 当^ = 一一时无界，所 2 Jx2+2y 2 以如果方程有奇解，则奇解只能是 y = -—.显然 y = -—是方程的解，是否为奇解还需要进一步讨论.为此先求 2f 1 出方程的通解 y = ±cx + -c2.由此可见对于％轴上点(0,0),存在通过该点的两个解：y = -一及 y = 0.故 2 2 X2 y = 一~-是奇解. 三、证明题 1.试证明：对于任意的 X。及满足条件 Ovyvl 的坊，方程二*的解 y = y(x)在(-00, + 00)上存在. dr 1 + x +y 2-设/(")在整个平面上连续有界，对，有连续偏导数，试证明方程*=/(")的任—解、="在区间 (-00, + 00)上有定义. 3.设 0(x)在区间(-oo,+ oo)上连续.试证明方程 的所有解的存在区间必为(-00, + 00)・ 4. 在方程中，已知 7*3)，伊 3 在(-°°? + oo)±连续，旦仞(±1) = 0.求证：对任意 x0^n|y0| <1, 满足初值条件 y(x()) = y0 的解 y(x)的存在区间必为(-oo, + oo)・ 5. 假设方程^ = f(x,y)在全平而上满足解的存在惟一性定理条件，且 M(x),歹 2(》)是定义在区间/上的两个解・求 dx 证：若 M(Xo)<*2(Xo)，气仁/，则在区间/上必有 y} (x) xQ 不能与直线"相交.若不然，±>Xo 使得= 且 Xx)<^0+M(x-x0)?xe(x0?x1),但由拉格郎日中值定理，龙£(%工］),使得 V(§) =)二-伐)=M .矛 而一工 0 盾.此矛盾证明曲线 y = y(xx>x.不能与直线"相交.同理可证，当 X>XO 时，它也不能与匕相交.故当 x>x0 时解曲线 V = v(x)位于直线"，A 之间• 同理可证，当 x))，若 yQ =k7r 9 则过该点的解是 y = k/r,显然是在(-oo, + oo)上有定义. 若;Vo。Avr ,则 Vo G (kji. (k + l)/r),记过该点的解为 y = v(x),那么一方而解 y = v(x)可以向平而的无穷远无限 延 展；另一方而在条形区域-oox0 方向，(反之亦然). 假设存在 x>xQ，使得 yx (x) > y2(x) ( ^(x)=y2(x)不可能出现,否则与解惟一矛盾). 令 y(x) = y}(x)-y2(x)9 那么 yM=y}M-y2M< °， y(x)=y}(x)-y2(x)> o 由连续函数介值定理，存在 x* G(X0?X),使得 V(£)=Vi(X*)-、2(X*)= 0 即 Vi(x*) 二 %(『) 这与解惟一矛盾 6. 证明 由已知条件知方程存在零解.该方程满足解的存在惟一性定理条件. 设*(x)是方程的一个非零解，假如它满足 ”0)=0, 孚=0, 位心。 由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有又 x)三 0,这与贝 x)是非零解矛盾. 7. 证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理. 又* = ±1 是该方程的两个常数解. 现取 XOC(YO, + OO), [yo|vl，记过点(Xo，*o)的解为 y(x)・一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又 不 能上下穿越* = ±1,否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在区域 G = {(xj)|M