2017-2018学年山西省运城中学、芮城中学高二第一学期期中联考数学（理）试题 8页

运城中学、芮城中学 ‎2017-2018学年高二年级第一学期期中考试 ‎ 数学（理）试题 ‎2017.11‎ 本试题共150分考试时间120分钟 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.设 ，则“ ”是“ ”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.设命题：，则为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A.若且为假命题，则，均为假命题 B.“”是“”的必要不充分条件 ‎ C.若，则方程无实数根 D.命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎4.圆：与圆:的公切线有（　　）‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎5.一束光线自点发出，遇到平面被反射，到达点被吸收，那么光所走的路程是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知满足，则直线必过定点（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.若，则（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是(　　) ‎ A.若； B.若；‎ C.若； D.若；‎ ‎9.如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为(　　)‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.3‎ ‎11.边长为2的正方形中，点分别是的中点，将,分别沿折起，使得三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知动点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（　　）‎ A. B. C. D.‎ 一、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) ‎ ‎13.在等比数列中，且，则++…+=.‎ ‎14.若圆台的上下底面半径分别是2、5且，侧面面积等于两底面面积之和，则该圆台的母线长为　 　.‎ ‎15.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的=。‎ ‎16.在三棱锥中，垂直于底面于于，若，则当的面积最大时，的值为　 　.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分)‎ ‎ 设：函数的定义域为，：对一切的实数恒成立，如果命题“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分)‎ 已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.‎ ‎ (1)求证：平面平面；‎ ‎ (2)求证：平面平面.‎ 19. ‎（本小题满分12分)‎ 已知中国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机 万部并全部销量完，每万部的销售收入为 万元，且 ‎ (1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万部）的函数解析式；‎ ‎ (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.‎ ‎20.（本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)若圆与直线交于两点，且，求的值.‎ ‎21.（本小题满分12分)‎ 如图，在直三棱柱中，⊥侧面，是上的中点，且，.‎ ‎ (1)求证：平面；‎ ‎ (2)若三棱锥的体积是，求异面直线和所成角的大小.‎ ‎22.（本小题满分12分)‎ 如图，已知圆，直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点，是中点.‎ ‎ (1)当时，求直线的方程；‎ ‎ (2)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.‎ 高二年级期中试题 理科数学答案 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.）‎ ACDDA ABCDB BD 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) ‎ ‎13. 1014. 15. 4 16.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分10分)‎ 解：当为真命题时，，………………4分 当为真命题时，，………………6分 ‎“”为假命题，、至少有一个为假命题 ‎（1）若真假，则，无解………………7分 ‎（2）若假真，则，………………8分 ‎（3）若假假，则，………………9分 ‎……………10分 18． ‎（本小题满分12分)‎ 证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．‎ ‎∴DE∥CB1，‎ 又 ………………2分 又 又 ‎ ……………………4分 ‎∵DE∩AE=E，DE，AE⊂平面EAD，‎ ‎∴平面B1FC∥平面EAD；…………6分 ‎（2）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．‎ ‎∴AD⊥BC，‎ 又 ‎ ，‎ 又∵BC∩CC1=C1，‎ ‎∴AD⊥平面BCC1，…………9分 又∵AD⊂平面EAD，‎ ‎∴平面CBC1⊥平面EAD．…………12分 18． ‎（本小题满分12分)‎ 解：（1）当 时，……2分 当 时， ， …………4分 所以…………6分 （2）①当 时， ， 所； …7分 ②当 时， ， 由于 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， …………10分 所以 取最大值为5760． …………11分 综合①②知，当 时， 取得最大值6104万元． …………12分 ‎20．（本小题满分12分)‎ 解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，‎ 与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.…………3分 则圆C的半径为＝3.…………4分 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.…………5分 (2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组 消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.‎ 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.…………8分 因此x1＋x2＝4－a，x1x2＝ .①‎ 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.…………10分 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，‎ 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ②‎ 由①②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.…………12分 21． ‎（本小题满分12分)‎ 证明：‎ ‎（1）连接BE，∵BC=1 ，BB1=2，E是CC1上的中点 ‎△BCE，△B1C1E为等腰直角三角形，即，‎ ‎∴，即BE⊥B1E…………2分 ‎∵AB⊥面BB1C1C．B1E⊂面ABC，∴B1E⊥AB，且AB∩BE=B，‎ ‎∴B1E⊥平面ABE；…………4分 解：（2）∵AB∥A1B1，∴A1、B1到面ABE的距离相等，‎ 由（1）得BE=B1E=‎ ‎………8分 ‎∵AC∥A1C1，∴异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，‎ 在Rt△ABC中，tan，∴∠CAB=30°‎ ‎∴异面直线AB和A1C1所成角的大小30°．…………12分 ‎22.（本小题满分12分)‎ 解：（1）‎ 当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；…………1分 当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，‎ 所以|CM|=1．由，解得．…………4分 故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．…………5分 ‎（2）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，‎ 又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．………7分 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），‎ 由得，‎ 则．‎ ‎………9分 故 ‎…11分 综上，t的值为定值，且t=﹣5．…………12分