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- 2021-02-26 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省保定市馆陶一中高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在等差数列{an}中，若a4=13，a7=25，则公差d等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知p：|x|＜2；q：x2﹣x﹣2＜0，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B=（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135°
4．已知命题p：负数的立方都是负数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）
5．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C． m D．3m
6．已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
7．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．400米 B．500米 C．700米 D．800米
8．在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数z=2x﹣ay取得最大值的最优解有无数个，则a为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
9．在下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．y=+ B．y=lgx+（1＜x＜10）
C．y=3x+3﹣x（x∈R） D．y=sinx+（0）
10．已知抛物线y=x2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（ ）
A． B． C． D．
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈（0，1）．若a3+a5=5，a2a6=4，bn=log2an数列{bn}的前n项和为Sn，则当++…+取最大值，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．8或9 D．17
12．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，1）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的位置上．）
13．命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是 ．
14．过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|= ．
15．已知方程x2﹣（bcosA）x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为两内角，则△ABC的形状为 ．
16．过椭圆右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1=2，S3=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an+4n，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，acosC=（2b﹣c）cosA
（1）求cosA的值；
（2）若a=6，b+c=8，求三角形ABC的面积．
19．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s万件与促销费用x万元满足s=4﹣．已知s万件该商品的进价成本为20+3s万元，商品的销售价格定为5+元/件．
（1）将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．
21．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N+）均在函数y=3x+2的图象上．
（1）求证：数列{an}为等差数列；
（2）设Tn是数列{}的前n项和，求使对所有n∈N+都成立的最小正整数m．
22．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△
OPQ的面积最大时，求l的方程．
2016-2017学年河北省保定市馆陶一中高二（上）11月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在等差数列{an}中，若a4=13，a7=25，则公差d等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的定义得a7=a4+3d，把已知条件代入后可求d的值．
【解答】解：在等差数列{an}中，
由等差数列的定义知，a7=a4+3d，
又a4=13，a7=25，
∴25=13+3d，3d=12，
即d=4．
故选：D．
2．已知p：|x|＜2；q：x2﹣x﹣2＜0，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出不等式的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：由|x|＜2，得﹣2＜x＜2，
由x2﹣x﹣2＜0得﹣1＜x＜2，
则q是p的充分不必要条件，
故选：A
3．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B=（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135°
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理，直接代入即可求得结果．
【解答】解：∵A=60°，a=4，b=4，
∴由正弦定理得：
，
即，
解得sinB=．
∵a＞b，
∴A＞B．
即B＜60°，
∴B=45°，
故选：B．
4．已知命题p：负数的立方都是负数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判定命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．
【解答】解：命题p：负数的立方都是负数，是真命题．
命题q：正数的对数都是负数，是假命题，例如lg10=1．
则下列命题中是真命题的是（￢p）∨（￢q）．
故选：C．
5．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞
0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C． m D．3m
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，
∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为=．
故选：A．
6．已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列，运用等比数列的性质，求得a1=1，a5=16，再由等比数列的通项公式求得公比即可．
【解答】解：设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列，
由a2a4=16，可得a1a5=16，
又a1+a5=17，解得或（不合题意，舍去），
即有q4=16，解得q=2（负的舍去）．
故选：D．
7．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．400米 B．500米 C．700米 D．800米
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可求得AB的长
【解答】解：由题意，如图，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°
利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°
∴AB=700米
故选C．
8．在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数z=2x﹣ay取得最大值的最优解有无数个，则a为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】由题设条件，目标函数z=2x﹣ay，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数最大值应在左上方边界BC上取到，即z=2x﹣ay应与直线BC平行；进而计算可得答案．
【解答】解：由题意，最优解应在线段BC上取到，故z=2x﹣ay应与直线BC平行
∵kBC=，
∴=﹣1，
∴a=﹣2，
故选A．
9．在下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．y=+ B．y=lgx+（1＜x＜10）
C．y=3x+3﹣x（x∈R） D．y=sinx+（0）
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的使用法则：“一正二定三相等”即可判断出正误．
【解答】解：A．x＜0时，y＜0，无最小值．
B．∵1＜x＜10，∴0＜lgx＜1，∴y＞2，因此无最小值．
C．y=3x+3﹣x≥=2，当且仅当x=0时取等号，正确．
D．∵，∴0＜sinx＜1，∴y＞2，无最小值．
故选：C．
10．已知抛物线y=x2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】通过抛物线的表达式可知椭圆的一个焦点，利用长半轴长、短半轴长及半焦距之间的关系计算即得结论．
【解答】解：∵抛物线y=x2的焦点为（0，），
∴m﹣2=，
∴m=+2=，
故选：C．
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈（0，1）．若a3+a5=5，a2a6=4，bn=log2an数列{bn}的前n项和为Sn，则当++…+取最大值，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．8或9 D．17
【考点】数列的求和．
【分析】由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入bn=log2
an，得到数列{bn}为等差数列，写出cn==知，当为非负值时，
取最大值．
【解答】解：∵{an}是等比数列且a3+a5=5，a2a6=4，公比q∈（0，1）．a3=4，a5=1
∴
解得：a3=4，a5=1
∴，∴a1=16
则
∴=
则b1=4，
由bn+1﹣bn=5﹣（n+1）﹣（5﹣n）=﹣1．
∴数列{bn}是以4为首项，以﹣1为公差的等差数列．
则数列{bn}的前n项和
令
∵cn≥0时，n≤9
∴当n=8或9时，
取最大值．
故选C．
12．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，1）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设F1（﹣c，0），F2
（c，0），运用椭圆的定义和勾股定理，求得e2=，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有==2（﹣）2+，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，
可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，
即有（λ+1）t=2a①
由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
即为（λ2+1）t2=4c2，②
由②÷①2，可得e2=，
令m=λ+1，可得λ=m﹣1，
即有==2（﹣）2+，
由≤λ≤2，可得≤m≤3，即≤≤，
则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值．
即有≤e2≤，解得≤e≤．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的位置上．）
13．命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是 ∀x∈R，使sinx≠lgx ．
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是∀x∈R，使sinx≠lgx．
故答案为：∀x∈R，使sinx≠lgx．
14．过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=
8 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．
【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，
则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得
x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1+x2=6
根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+
=x1+x2+p=6+2=8，
故答案为：8．
15．已知方程x2﹣（bcosA）x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为两内角，则△ABC的形状为 等腰三角形 ．
【考点】三角形的形状判断．
【分析】由题意可得bcosA=acosB，
由正弦定理和已知条件可得A=B，即得三角形为等腰△．
【解答】解：方程x2﹣（bcosA）x+acosB=0的两根之积等于两根之和，
∴bcosA=acosB，
由正弦定理可得sinBcosA=sinAcosB，
∴sinBcosA﹣sinAcosB=0，
即sin（A﹣B）=0，
∵A、B为三角形的两内角，
∴A=B，
∴三角形为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
16．过椭圆右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由直线方程，代入椭圆方程，求得焦点坐标，利用中点坐标公式及点差法即可求得a和b的关系，又由c=，即可取得a和b的值，求得椭圆方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．
直线过椭圆的焦点，则焦点坐标为（，0），
则x0=，y0=，
直线AB的斜率k==﹣1．
将A、B代入椭圆方程可得： +=1①， +=1②，
相减可得：①﹣②得到﹣•=﹣1，
又OP的斜率为=，
∴a2=2b2，又c=，a2=b2+c2，
解得a2=6，b2=3．
椭圆的标准方程为．
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1=2，S3=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an+4n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）由已知条件利用等差数列前n项和公式求出公差d=2，由此能求出an=2n．
（2）由bn=an+4n=2n+4n，利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）∵数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1=2，S3=12，
∴，
解得d=2，
∴an=2+（n﹣1）×2=2n．
（2）∵bn=an+4n=2n+4n，
∴Tn=2（1+2+3+…+n）+（4+42+43+…+4n）
=2×+
=．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，acosC=（2b﹣c）cosA
（1）求cosA的值；
（2）若a=6，b+c=8，求三角形ABC的面积．
【考点】余弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理、和差公式及其诱导公式即可得出．
（2）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）∵acosC=（2b﹣c）cosA，
由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA…
由两角和的正弦公式得sin（A+C）=2sinBcosA…
由三角形的内角和可得sinB=2sinBcosA…
因为sinB≠0，所以…
（2）由余弦定理得：，
∴，…
由（1）知…
所以．…1
19．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s万件与促销费用x万元满足s=4﹣．已知s万件该商品的进价成本为20+3s万元，商品的销售价格定为5+元/件．
（1）将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；
（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．
【解答】解：（1）由题意知，y=（5+）s﹣x﹣（20+3s）=2s+10﹣x
将s=4﹣代入化简得：y=18﹣﹣x；
（2）y=18﹣﹣x=20﹣[+（x+2]
∵+（x+2）≥2，当且仅当=x+2，即x=﹣2时，取等号，
∴x=﹣2时，商家的利润最大，最大利润为20﹣2．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；
（2）利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程．
【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为，
由抛物线的定义可知
解得p=4
∴C的方程为y2=8x．
（2）由（1）得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F（2，0）
设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则
两式相减．整理得
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1
∴直线l的斜率
直线l的方程为y﹣0=﹣4（x﹣2）即4x+y﹣8=0
21．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N+）均在函数y=3x+2的图象上．
（1）求证：数列{an}为等差数列；
（2）设Tn是数列{}的前n项和，求使对所有n∈N+都成立的最小正整数m．
【考点】数列与函数的综合；数列的求和．
【分析】（1）利用点在直线上，推出Sn=3n2﹣2n，通过an=Sn﹣Sn﹣1，求出an=6n﹣5（n∈N+）．利用等差数列的定义判断{an}是一个以1为首项，6为公差的等差数列．
（2）化简数列的通项公式， =（﹣），然后求和，利用不等式，求解即可．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）依题意， =3n﹣2，即Sn=3n2﹣2n，…
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]
=6n﹣5．…
当n=1时，a1=S1=1符合上式，…
所以an=6n﹣5（n∈N+）．…
又∵an﹣an﹣1=6n﹣5﹣[6（n﹣1）﹣5]=6，
∴{an}是一个以1为首项，6为公差的等差数列．…
（2）由（1）知，
==（﹣），…
故Tn= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣），…
因此使得（1﹣）＜（n∈N+）成立的m必须且仅需满足≤，
即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10．…
22．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，
所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2
，y2）
将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，
从而=+
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，
设，则t＞0，，
当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…