2018届二轮复习 矩阵与变换 课件（江苏专用） 43页

专题 9 　系列 4 选讲 第 40 练　矩阵与变换 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大 . 又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 解　 由已知，得 Aα ＝－ 2 α ， 从而矩阵 A 的特征多项式 f ( λ ) ＝ ( λ ＋ 2)( λ － 1) ， 所以矩阵 A 的另一个特征值为 1. 解析答案 返回 1 2 高考 必会题型 题型一　常见矩阵变换的应用 例 1 　 已知曲线 C ： xy ＝ 1. (1) 将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45° 后，求得到的曲线 C ′ 的方程； 解析答案 解　 设 P ( x 0 ， y 0 ) 是曲线 C ： xy ＝ 1 上的任一点， 点 P ( x 0 ， y 0 ) 在旋转变换后对应的点 为 P ′ ( x 0 ′ ， y 0 ′ ) ， 解析答案 解析答案 (2) 求曲线 C 的焦点坐标和渐近线方程 . 解　 曲线 C ′ 的焦点坐标为 F 1 (0 ，－ 2) ， F 2 (0,2) ，渐近线方程为 y ＝ ± x . 再顺时针旋转 45° 后， 点评 点评 把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解 . 解析答案 (1) 求实数 a ， b 的值； 解　 设直线 l ： ax ＋ y ＝ 1 上任意点 M ( x ， y ) 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M ′ ( x ′ ， y ′ ). 又点 M ′ ( x ′ ， y ′ ) 在直线 l ′ ： x ＋ by ＝ 1 上 ， 所以 x ′ ＋ by ′ ＝ 1 ，即 x ＋ ( b ＋ 2) y ＝ 1 ， 解析答案 又点 P ( x 0 ， y 0 ) 在直线 l 上，所以 x 0 ＝ 1. 故点 P 的坐标为 (1,0). 题型二　二阶矩阵的逆矩阵 解析答案 所以 2 x 1 ＝ 1,2 y 1 ＝ 0,3 x 2 ＝ 0,3 y 2 ＝ 1 ， 点评 解析答案 点评 解　 设曲线 C 上任意一点 P ( x ， y ) ，它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 P ′ ( x ′ ， y ′ ) ， 又点 P ′ ( x ′ ， y ′ ) 在曲线 C ′ 上， 对于二阶矩阵，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 B 为 A 的逆矩阵 . 因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解 . 点评 解析答案 解　 因为 | A | ＝ 2 × 3 － 1 × 4 ＝ 2 ， 解析答案 (2) 求矩阵 C ，使得 AC ＝ B . 解　 由 AC ＝ B 得 ( A － 1 A ) C ＝ A － 1 B ，故 题型三　求矩阵的特征值与特征向量 (1) 求实数 a 的值； 解析答案 所以 a ＋ 1 ＝－ 3 ，所以 a ＝－ 4. 点评 (2) 求矩阵 A 的特征值及特征向量 . 解析答案 解得 A 的特征值为 λ ＝－ 1 或 3. (1) 注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵 M 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变 ( λ >0) ，或者方向相反 ( λ <0). 特别地，当 λ ＝ 0 时，特征向量就被变成了零向量 . 点评 点评 返回 ＝ ( λ － 1)( λ － 2) － 30 ＝ λ 2 － 3 λ － 28 ＝ ( λ － 7)( λ ＋ 4) ， ∴ A 的特征值为 λ 1 ＝ 7 ， λ 2 ＝－ 4. 故 A 的特征值为 7 和－ 4. 解析答案 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解　 因为矩阵 A 是矩阵 A － 1 的逆矩阵，且 | A － 1 | ＝ 2 × 2 － 1 × 1 ＝ 3 ≠ 0 ， 解析答案 (2) 求矩阵 A － 1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 . 令 f ( x ) ＝ 0 ，得矩阵 A － 1 的特征值为 λ 1 ＝ 1 或 λ 2 ＝ 3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (1) 求 ( AB ) － 1 ； 又 | AB | ＝－ 3 － 1 ＝－ 4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 求直线 2 x ＋ y － 5 ＝ 0 在 ( AB ) － 1 对应变换作用下的直线方程 . 解　 设 P ( x 0 ， y 0 ) 是直线 2 x ＋ y － 5 ＝ 0 上任一点， P ′ ( x ， y ) 是在对应变换作用下点 P 的像， 代入直线方程 2 x ＋ y － 5 ＝ 0 ，得 2( x － y ) － ( x ＋ 3 y ) － 5 ＝ 0 ，即 x － 5 y － 5 ＝ 0 ，即为所求的直线方程 . 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (1) 求实数 a ， b 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 解　 设曲线 2 x 2 ＋ 2 xy ＋ y 2 ＝ 1 上任意点 P ( x ， y ) 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 P ′ ( x ′ ， y ′ ). 又点 P ′ ( x ′ ， y ′ ) 在 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上，所以 x ′ 2 ＋ y ′ 2 ＝ 1 ， 即 a 2 x 2 ＋ ( bx ＋ y ) 2 ＝ 1 ，整理 得 ( a 2 ＋ b 2 ) x 2 ＋ 2 bxy ＋ y 2 ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 求 A 2 的逆矩阵 . 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 设 P ( x ′ ， y ′ ) 是曲线 C 上任一点，在两次变换下，在曲线 C 2 上的对应的点为 P ( x ， y ) ， 又点 P ( x ′ ， y ′ ) 在曲线 C ： y 2 ＝ 2 x 上， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 可知 A 1 (0,0) ， B 1 (0 ，－ 2) ， C 1 ( k ，－ 2). 计算得 △ ABC 的面积是 1 ， △ A 1 B 1 C 1 的面积是 | k | ， 由 题设知 | k | ＝ 2 × 1 ＝ 2 ，所以 k 的值为－ 2 或 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (1) 求矩阵 M ； 1 2 3 4 5 6 7 8 联立以上两方程组解得 a ＝ 6 ， b ＝ 2 ， c ＝ 4 ， d ＝ 4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 求矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量 e 2 的坐标之间的关系； 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (3) 求直线 l ： x － y ＋ 1 ＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′ 的方程 . 解　 设点 ( x ， y ) 是直线 l 上的任一点，其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 ( x ′ ， y ′ ) ， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8