2020届二轮复习曲线系学案（全国通用） 7页

曲线系 具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系，并用含有一个参数的方程来表示．高中常用的曲线系有直线系与圆系． ‎ 1. 直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程．几种常见的直线系方程： （1）共点直线系：过已知点 Px‎0‎‎,‎y‎0‎ 的直线系方程 y-y‎0‎=kx-‎x‎0‎（k 为参数） （2）平行直线系：斜率为 k 的直线系方程 y=kx+b（b 是参数） 　　　　　　　　 与已知直线 Ax+By+C=0‎ 平行的直线系方程 Ax+By+λ=0‎（λ 为参数） （3）垂直直线系：与已知直线 Ax+By+C=0‎ 垂直的直线系方程 Bx-Ay+λ=0‎（λ 为参数） （4）过直线 l‎1‎：A‎1‎x+B‎1‎y+C‎1‎=0‎ 与 l‎2‎：A‎2‎x+B‎2‎y+C‎2‎=0‎ 的交点的直线系方程：A‎1‎x+B‎1‎y+C‎1‎+λA‎2‎x+B‎2‎y+‎C‎2‎=0‎（λ 为参数），此直线系不含直线 l‎2‎．‎ 2. 圆系 具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系．它的方程称为圆系方程．几种常见的圆系方程： （1）同心圆系：x-‎x‎0‎‎2‎‎+y-‎y‎0‎‎2‎=‎r‎2‎，x‎0‎ 、 y‎0‎ 为常数，r 为参数． （2）过两已知圆 C‎1‎：f‎1‎x,y‎=x‎2‎+y‎2‎+D‎1‎x+E‎1‎y+F‎1‎=0‎ 和 C‎2‎：f‎2‎x,y‎=x‎2‎+y‎2‎+D‎2‎x+E‎2‎y+F‎2‎=0‎ 的交点的圆系方程为：x‎2‎‎+y‎2‎+D‎1‎x+E‎1‎y+F‎1‎+λx‎2‎‎+y‎2‎+D‎2‎x+E‎2‎y+‎F‎2‎=0‎（λ≠-1‎），不包含圆 C‎2‎． 注：若 λ=-1‎ 时，变为 D‎1‎‎-‎D‎2‎x+E‎1‎‎-‎E‎2‎y+F‎1‎-F‎2‎=0‎，其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线． ‎ 3. 过直线与圆交点的圆系方程 设直线 l：Ax+By+C=0‎ 与圆 C：x‎2‎‎+y‎2‎+Dx+Ey+F=0‎ 相交，则过直线 l 与圆 C 交点的圆系方程为 x‎2‎‎+y‎2‎+Dx+Ey+F+λAx+By+C=0‎．‎ 精选例题 曲线系 ‎ 1. 经过两圆 ‎2x‎2‎+2y‎2‎-3x+4y=0‎ 与 x‎2‎‎+y‎2‎+2x+6y-6=0‎ 的交点的直线方程为  ．‎ ‎【答案】    ‎‎7x+8y-12=0‎ ‎ 2. 已知两直线 a‎1‎x+b‎1‎y+1=0‎ 和 a‎2‎x+b‎2‎y+1=0‎ 的交点为 P‎2,3‎ ，则过两点 Q‎1‎a‎1‎‎,‎b‎1‎ ， Q‎2‎a‎2‎‎,‎b‎2‎ 的直线方程是  ．‎ ‎【答案】     ‎2x+3y+1=0‎ ‎ ‎ 3. 动圆 x‎2‎‎+y‎2‎-2mx-4my+6m-2=0‎ 恒过一个定点，则这个定点的坐标是  ．‎ ‎【答案】    ‎1,1‎ 或 ‎‎1‎‎5‎‎,‎‎7‎‎5‎ ‎【分析】    圆方程化为 x‎2‎‎+y‎2‎-2-m‎2x+4y-6‎=0‎．‎ 令 x‎2‎‎+y‎2‎-2=0,‎‎2x+4y-6=0,‎ ‎ 解得 x=1,‎y=1‎ 或 x=‎1‎‎5‎,‎y=‎7‎‎5‎.‎ 故这个定点的坐标是 ‎1,1‎ 或 ‎1‎‎5‎‎,‎‎7‎‎5‎．‎ ‎ 4. 已知圆的方程是 x‎2‎‎+y‎2‎=‎r‎2‎，求经过圆上一点 Ma,b 的切线方程．‎ ‎【解】        把点 Ma,b 看作点圆 x-a‎2‎‎+y-b‎2‎=0‎，‎ ‎    则所求的切线方程应为圆 x-a‎2‎‎+y-b‎2‎=0‎ 与 x‎2‎‎+y‎2‎=‎r‎2‎ 的公共弦所在的方程．‎ ‎    两式相减，得 ‎2ax+2by-a‎2‎-b‎2‎=‎r‎2‎．‎ ‎    又因为点 Ma,b 在圆 x‎2‎‎+y‎2‎=‎r‎2‎，‎ ‎    所以 a‎2‎‎+b‎2‎=‎r‎2‎．‎ ‎    所以过圆上一点 Ma,b 的切线方程为 ax+by=‎r‎2‎．‎ ‎ 5. 求与圆 M:x‎2‎+y‎2‎-2x=0‎ 相外切并与直线 x+‎3‎y=0‎ 相切于点 A‎3,-‎‎3‎ 的圆的方程．‎ ‎【解】        把点 A 看作点圆 x-3‎‎2‎‎+y+‎‎3‎‎2‎=0‎．‎ ‎    设所求圆的方程为 x-3‎‎2‎‎+y+‎‎3‎‎2‎+λx+‎3‎y=0‎，‎ ‎    整理，得 x-‎‎3-‎λ‎2‎‎2‎‎+y-‎‎-‎3‎-‎3‎‎2‎λ‎2‎=‎λ‎2‎．‎ ‎    因为圆 M 与该圆相外切，‎ ‎    所以 ‎3-λ‎2‎-1‎‎2‎‎+‎‎-‎3‎-‎3‎‎2‎λ‎2‎‎=∣λ∣+1‎．‎ ‎    化简可得 λ+6=2∣λ∣‎，‎ ‎    解得 λ=6‎ 或 λ=-2‎．‎ ‎    将 λ=-2‎ 代入所设方程可得 x-4‎‎2‎‎+y‎2‎=4‎，‎ ‎    将 λ=6‎ 代入所设方程可得 x‎2‎‎+y+4‎‎3‎‎2‎=36‎．‎ ‎    故所求圆的方程为 x-4‎‎2‎‎+y‎2‎=4‎ 或 x‎2‎‎+y+4‎‎3‎‎2‎=36‎．‎ ‎ 6. 求经过点 A‎3,1‎，并且与直线 ‎2x-y=0‎ 相切于点 B‎1,2‎ 的圆的方程．‎ ‎【解】        将点 B‎1,2‎ 看作点圆 x-1‎‎2‎‎+y-2‎‎2‎=0‎．‎ ‎    设所求圆的方程为 x-1‎‎2‎‎+y-2‎‎2‎+λ‎2x-y=0‎．‎ ‎    因为点 A‎3,1‎ 在此圆上，所以 ‎3-1‎‎2‎‎+‎1-2‎‎2‎+λ‎6-1‎=0‎，‎ ‎    解得 λ=-1‎，‎ ‎    故所求圆的方程为 x-2‎‎2‎‎+y-‎‎3‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎‎4‎．‎ ‎ 7. 求经过原点且经过直线 l‎1‎‎:x-2y+2=0‎ 与 l‎2‎‎:2x-y-2=0‎ 的交点的直线的方程．‎ ‎【解】        法一：依题意，设所求直线的方程为 y=kx．‎ ‎    解方程组 x-2y+2=0,‎‎2x-y-2=0,‎ 得 x=2,‎y=2,‎ ‎ ‎    所以直线 l‎1‎ 与 l‎2‎ 的交点是 ‎2,2‎．代入 y=kx，得 k=1‎，‎ ‎    所以所求直线的方程为 y=x．‎ ‎    法二：设所求直线的方程为 x-2y+2+λ‎2x-y-2‎=0‎．‎ ‎    因为直线过原点，所以 ‎0-2×0+2+λ‎2×0-0-2‎=0‎，解得 λ=1‎，‎ ‎    所以所求直线的方程为 x-2y+2+‎2x-y-2‎=0‎，即 y=x．‎ ‎ 8. 已知 ‎△ABC 的三边所在直线的方程分别是 lAB‎:4x-3y+10=0‎，lBC‎:y=2‎，lCA‎:3x-4y=5‎．‎ ‎    (1)求 ‎∠BAC 的平分线所在直线的方程；‎ ‎【解】        设 Px,y 是 ‎∠BAC 的平分线上任意一点，则点 P 到 AC，AB 的距离相等，即 ‎4x-3y+10‎‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎=‎3x-4y-5‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎,‎ ‎ ‎∴4x-3y+10=±‎‎3x-4y-5‎．‎ ‎     ‎∵∠BAC 的平分线所在直线的斜率在 ‎3‎‎4‎ 和 ‎4‎‎3‎ 之间，‎ ‎     ‎∴7x-7y+5=0‎ 为 ‎∠BAC 的平分线所在直线的方程．‎ ‎    (2)求 AB 边上的高所在直线的方程．‎ ‎【解】        设过点 C 的直线系方程为 ‎3x-4y-5+λy-2‎=0‎，即 ‎3x-‎4-λy-5-2λ=0.‎ 若此直线与直线 lAB‎:4x-3y+10=0‎ 垂直，则 ‎3×4+3‎4-λ=0,‎ 解得 λ=8.‎ 故 AB 边上的高所在直线的方程为 ‎3x+4y-21=0‎．‎ ‎ 9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A‎-3,4‎，B‎9,0‎，C，D 分别为线段 OA，OB 上的动点，且满足 AC=BD．‎ ‎    (1)若 AC=4‎，求直线 CD 的方程；‎ ‎【解】        因为 A‎-3,4‎，所以 OA=‎-3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5‎，又 AC=4‎，所以 OC=1‎，所以 C‎-‎3‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎，‎ ‎    由 BD=4‎，得 D‎5,0‎，所以直线 CD 的斜率为 ‎0-‎‎4‎‎5‎‎5-‎‎-‎‎3‎‎5‎‎=-‎‎1‎‎7‎，‎ ‎    所以直线 CD 的方程为 y=-‎‎1‎‎7‎x-5‎，即 x+7y-5=0‎．‎ ‎    (2)证明：‎△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点 O）．‎ ‎【解】        设 C‎-3m,4m‎0b>0‎ 过点 ‎0,－1‎，且离心率为 ‎‎3‎‎2‎ ‎    (1)求椭圆 E 的方程 ‎【解】        依题意，得 b=1‎，ca‎=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎    又 a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎，所以 ‎3a‎2‎=4c‎2‎=4‎a‎2‎‎-‎b‎2‎，即 a‎2‎‎=4‎，‎ ‎    所以椭圆 E 的方程为 x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎．‎ ‎    (2)如图，A，B，D 是椭圆 E 的顶点，M 是椭圆 E 上除顶点外的任意一点，直线 DM 交 x 轴于点 Q，直线 AD 交 BM 于点 P，设 BM 的斜率为 k，PQ 的斜率为 m，则点 Nm,k 是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由 ‎    ‎ ‎【解】        由（1）知 A‎-2,0‎，B‎2,0‎，D‎0,1‎，‎ ‎    所以直线 AD 的方程为 y=‎1‎‎2‎x+1‎，由题意，直线 BP 的方程为 y=kx-2‎，k≠0且k≠±‎‎1‎‎2‎，‎ ‎    由 ‎ y=‎1‎‎2‎x+1‎y=kx-2‎‎,‎ ‎ 解得 P‎4k+2‎‎2k-1‎‎,‎‎4k‎2k-1‎．‎ ‎    设 Mx‎1‎‎,‎y‎1‎，则由 y=kx-2‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎，消去 y 整理得 ‎ ‎4k‎2‎+1‎x‎2‎‎-16k‎2‎x+16k‎2‎-4=0,‎ ‎ 所以 ‎2x‎1‎=‎‎16k‎2‎-4‎‎4k‎2‎+1‎，即 x‎1‎‎=‎‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎．‎ ‎     y‎1‎‎=kx‎1‎‎-2‎=-‎‎4k‎4k‎2‎+1‎，即 M‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎‎,‎‎4k‎4k‎2‎+1‎，‎ ‎    设 Nx‎2‎‎,0‎，则由 M，D，Q 三点共线得 kDM‎=‎kDQ，‎ ‎    即 ‎ ‎-‎4k‎4k‎2‎+1‎-1‎‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎‎=‎1‎x‎2‎,‎ ‎ 所以 x‎2‎‎=‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+4k+1‎=‎‎4k-2‎‎2k+1‎，‎ ‎    所以 Q‎4k-2‎‎2k+1‎‎,0‎，所以 PQ 的斜率：‎ m=‎4k‎2k-1‎‎-0‎‎4k+2‎‎2k-1‎‎-‎‎4k-2‎‎2k+1‎=‎2k+1‎‎4‎.‎ ‎ 所以 ‎2k+1=4m，即点 Nm,k 在定直线 ‎4x-2y-1=0‎ 上．‎ ‎11. 已知直线 ‎2m+1‎x+m+1‎y=7m+4‎m∈R 恒过某一定点 P，求该定点的坐标．‎ ‎【解】        由 ‎2m+1‎x+m+1‎y=7m+4‎，得 ‎2x+y-7‎m+x+y-4=0‎，‎ ‎    它表示经过直线 ‎2x+y-7=0‎ 与直线 x+y-4=0‎ 交点的直线系方程．‎ ‎    解方程组 ‎2x+y-7=0,‎x+y-4=0,‎ 得 x=3,‎y=1.‎ ‎ ‎    令点 P 的坐标为 ‎3,1‎，因为点 P‎3,1‎ 满足 ‎2x+y-7=0‎，x+y-4=0‎，‎ ‎    所以也满足 ‎2x+y-4‎m+x+y-4=0‎，‎ ‎    所以点 P‎3,1‎ 满足方程 ‎2m+1‎x+m+1‎y=7m+4‎，‎ ‎    故直线 ‎2m+1‎x+m+1‎y=7m+4‎ 恒过定点 P‎3,1‎．‎ ‎    (1)求与直线 ‎3x+4y-7=0‎ 垂直，且与原点的距离为 ‎6‎ 的直线方程；‎ ‎【解】        设所求的直线方程为 ‎4x-3y+c=0‎．‎ ‎    由已知 ‎∣c∣‎‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎=6‎，解得 c=±30‎，故所求的直线方程为 ‎4x-3y±30=0‎．‎ ‎    (2)求经过直线 l‎1‎：‎2x+3y-5=0‎ 与 l‎2‎：‎7x+15y+1=0‎ 的交点，且平行于直线 x+2y-3=0‎ 的直线方程．‎ ‎【解】        设所求的直线方程为 ‎2x+3y-5+λ‎7x+15y+1‎=0‎，即 ‎2+7λx+‎3+15λy+λ-5=0‎．‎ ‎     ‎∵‎ 所求直线与直线 x+2y-3=0‎ 平行，‎ ‎     ‎∴3+15λ-2‎2+7λ=0‎，解得 λ=1‎．‎ ‎    故所求的直线方程为 ‎9x+18y-4=0‎．‎ ‎13. 已知一条曲线上的每个点到 A‎0,2‎ 的距离减去它到 x 轴的距离差都是 ‎2‎．‎ ‎    (1)求曲线的方程；‎ ‎【解】        设点 Mx,y 是曲线上任意一点，则 x‎2‎‎+‎y-2‎‎2‎‎-∣y∣=2‎，整理 x‎2‎‎+‎y-2‎‎2‎‎=∣y∣+2‎，‎ ‎    所求曲线的方程为 C‎1‎‎:‎ 当 y⩾0‎ 时，x‎2‎‎=8y；‎ ‎     C‎2‎‎:‎ 当 y<0‎ 时，x=0‎．‎ ‎    (2)讨论直线 Ax-4‎+By-2‎=0‎A,B∈R 与曲线的交点个数．‎ ‎【解】        直线 Ax-4‎+By-2‎=0‎ 过定点 ‎4,2‎ 且 A 、 B 不同时为零，（数形结合）‎ ‎    当 B=0‎ 时，A≠0‎，直线 x=4‎ 与曲线有 ‎1‎ 个的交点；‎ ‎    当 B≠0‎ 时，k=-‎AB，则 y=kx-4‎+2‎，与 x‎2‎‎=8y 联列：x‎2‎‎-8kx+32k-16=0‎；‎ ‎    当 Δ=0‎ 时，k=1‎，即 A=-B 时，直线与 C‎1‎ 和 C‎2‎ 各一个交点；‎ ‎    当 k>1‎ 时，AB‎<-1‎ 时，直线与 C‎1‎ 两个交点，和 C‎2‎ 一个交点；‎ ‎    当 ‎1‎‎2‎‎