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- 2021-05-21 发布
考点19 复数的概念与运算
考纲要求
内容
要求
A
B
C
复数的概念
√
复数的四则运算
√
复数的集合意义
√
1. 了解数系的扩充过程,理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件 .
2. 理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算 .
3. 了解复数的几何意义,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义
近十年高考情况分析
年份
2014年
2016年
2016年
2017年
2018年
考查知识点
复数的概念与四则运算
复数的四则运算与模
复数的四则运算
复数的四则运算与模
复数的概念与四则运算
高考中,复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式的四则运算,一般以填空题的形式出现,难度不大,预计今后的高考还会保持这个趋势 . 在复习这部分内容时,应注意避免繁琐的计算,注重技巧训练 。
考点总结
在江苏近 5 年高考中,复数每年都有考查,但都是最基本的考查 . 位置一般在填空题的前 4 题 . 考查内容主要是复数的基本概念与四则运算,如纯虚数、实部、虚部等概念,其中复数的除法运算法则是分母实数化。因此，在复习中要注意以下基础知识：
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数.
(5)复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作_|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi平面向量(a，b∈R).
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3
＝z1＋(z2＋z3).
十年高考真题
1、（2018江苏卷）. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
【答案】2
【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.
详解：因为，则，则的实部为.
点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.
2、（2017江苏卷）.已知复数，其中i是虚数单位，则的模是 ．
【答案】
【解析】，故答案为．
3、（2016江苏卷）. 复数其中i为虚数单位，则z的实部是 .
【答案】5
考点：复数概念
4、（2015江苏卷）..设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.
5、 （2014江苏卷）.已知复数（为虚数单位），则复数的实部是 .
三年模拟试题
题型一 复数的相关概念
1、(2018南京学情调研）若(a＋bi)(3－4i)＝25(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为_______．
【答案】：. 7
解法1(分母有理化) 因为a＋bi＝＝＝3＋4i，所以a＝3，b＝4，故a＋b＝7.
解法2(复数相等) 由25＝(3a＋4b)＋(3b－4a)i知，解得a＝3，b＝4，所以a＋b＝7.
2、(2018苏州暑假测试） 已知＝3＋i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值是________．
【答案】：. 6
解法1(复数相等) 由＝3＋i得a＋bi＝(3＋i)(2－i)＝7－i，解得所以a＋b＝6.
解法2(分母有理化) 因为＝
＝
＝3＋i，
所以解得所以a＋b＝6.
3、(2018南京、盐城一模） 设复数z＝a＋i(a∈R，i为虚数单位)，若(1＋i)·z为纯虚数，则a的值为________．
【答案】： 1
【解析】：因为(1＋i)·z＝(1＋i)·(a＋i)＝(a－1)＋(1＋a)i为纯虚数，所以即a＝1.
4、(2018南通、泰州一调） 已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．
【答案】：. －
【解析】： z＝＝＝－＋i，所以z的实部为－.
5、(2018无锡期末）若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________．
【答案】：6
【解析】：因为＝＝＋i是纯虚数，所以＝0，且≠0，解得a＝6.
6、(2017无锡期末） 已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为________．
【答案】：. 1－i
【解析】：因为复数z＝＝＝1＋i，所以复数z的共轭复数＝1－i.
7、(2017常州期末） 已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.
【答案】. 1
【解析】：因为(x－i)2＝x2－2xi＋i2＝x2－1＋2xi为纯虚数，所以解得x＝1.
8、(2017苏州期末）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为________．
【答案】： －
思路分析 先化z＝a＋bi(a，b∈R)的形式或设z＝a＋bi(a，b∈R)，再去分母．
解法1 z＝＝＝－－i，所以z的虚部是－.
解法2 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2i(a＋bi)＝1－i，即－2b＋2ai＝1－i，所以－2b＝1，得b＝－.
易错警示 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是b，不是bi.
9、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模） 若复数z＝(1＋mi)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为________．
【答案】：. －2
【解析】：由题意得复数z＝2＋m＋(2m－1)i且复数z为纯虚数，所以解之得m＝－2.
题型二 复数的模与复数的四则运算
1、(2018苏州期末） 已知i为虚数单位，复数z＝－i的模为________．
【答案】：
|z|＝＝.
2、(2018常州期末）若复数z满足z·2i＝|z|2＋1(其中i为虚数单位)，则|z|＝________．
【答案】： 1
【解析】： 两边同时取模得＝2|z|＝|z|2＋1，即|z|2－2|z|＋1＝0，所以|z|＝1.
3、（《2018江苏高考模拟试卷汇编38套》设复数z满足＝5i，其中i为虚数单位，则|z|＝________．
【答案】：1
解法1(直接法) 由＝5i得，z＝＝－i，所以|z|＝＝1.
解法2(商的模等于模的商) 由＝5i得，＝|5i|，所以|z|＝1.
解法1是先求复数z后再求它的模，而解法2是利用商的模等于模的商，有效地简化了问题的求解过程．一般地，若遇到乘积的模或商的模可转化为模的乘积或模的商来进行求解．
4、(2018南京三模）已知复数z的共轭复数是．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则的模为 ．
5、(2017南京学情调研）（C19,2；C14,2；C13,2. B11,2. B09,2. A01,2. 设复数z满足(z＋i)i＝－3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．
【答案】：. 2
【解析】：因为(z＋i)i＝－3＋4i，所以zi＝－2＋4i，所以|z|＝＝＝2.
6.(2017南京三模）若复数z满足z＋2＝3＋2i，其中i为虚数单位，为
复数z的共轭复数，则复数z的模为 ．
【答案】：．
【解析】： 设，则，故z＋2＝=3＋2i，即，所以，即.
7、(2016常州期末） 设复数z满足(z＋i)(2＋i)＝5(i为虚数单位)，则z＝________.
【答案】： 2－2i
【解析】：因为(z＋i)(2＋i)＝5，所以z＋i＝＝＝2－i，即z＝2－2i.
课本探源 本题源自于选修22P129习题11(2)
已知(1＋i)z＝1－2i，求复数z.
8、(2016南京学情调研） 已知复数z满足z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．
【答案】：.
解法1 因为z(1－i)＝2＋4i，所以z＝＝－1＋3i，故|z|＝.
解法2 因为z(1－i)＝2＋4i，所以|z(1－i)|＝|2＋4i|，即|z|·＝2，故|z|＝.
课本探源 (本题改编自选修22P128复习题第6题)
9、(2016镇江期末） i为虚数单位，计算＝________.
【答案】：. －i
【解析】：＝＝＝－.
10、（2016无锡期末） 若复数z＝(i为虚数单位)，则z的模为________．
【答案】：.
解法1 因为z＝＝＝＋i，所以|z|＝ ＝.
解法2 根据复数的性质＝可得|z|＝＝＝＝.
11、（2016南京、盐城一模） 已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
【答案】：.
解法1 因为z＝＝，所以|z|＝.
解法2 因为|z|＝＝＝＝.
12、（2016南通一调） 若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，则a的值为________．
【答案】： ±
【解析】： 因为|z|＝3，所以＝3，所以a＝±.
题型三 复数的几何意义及其应用
1、(2017南京、盐城二模） 若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，是z的共轭复数，则z·＝________.
【答案】：. 2
思路分析 即求z·＝|z|2.具体求z的模时，可用商的模等于模的商．
因为z·＝|z|2，且|z|＝＝＝，所以z·＝2.
2、(2016泰州期末） 如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
【答案】： －2－i
【解析】：由图可知z1＝－1＋2i，又因为＝i，所以z2＝iz1＝i(－1＋2i)＝－2－i.