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- 2021-05-21 发布
课堂导入：
有向线段有哪
3
个要素？
对于两个向量
a
、
b
，它们的长度可能相等，也可能不相等；它们的方向可能相同，也可能不相同．
思考：
1
．比较两个向量的长度和方向的异同关系，有哪几种可能情形？
2
．长度相等且方向相同的向量是什么关系？
一、相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
,
记作
a
＝
b.
提示：
（
1
）任意两个相等的非零向量，通过平移都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
（
2
）对一组相等的向量，将它们的起点平移到同一点
O
，则他们的终点重合．
（
3
）模相等（或方向相同）是向量相等的必要条件，模相等且方向相同是向量相等的充要条件．
（
4
）对于一个非零向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动，平移后的向量与原向量是相等向量，这为用向量处理几何问题带来了很大的方便．
（
5
）对于不共线的四点
A
、
B
、
C
、
D
，若 ，则
A
、
B
、
C
、
D
是一个平行四边行的四个顶点．
（
6
）相等向量具有传递性，即如果
a
＝
b
，且
b
＝
c
，那么
a
＝
c
．
典例剖析
例
1
如下图，四边形
ABCD
和
ABDE
都是平行四边形．
（
1
）写出与向量
相等的向量；
（
2
）若 ＝
3
，求向量
的模．
规律：
（
1
）在图形背景下找相等向量，只要根据相等向量的定义，观察图形可直观得出结论．在逻辑分析中，要注意相等的传递性．
（
2
）一般地， ，当且仅当
AB
与
BC
同向时取等号．
变式练习
如下图，
B
、
C
是线段
AD
的两个三等分点，在以图中各点为起点和终点的向量中，最多可以写出多少个互不相等的非零向量？并举例说明．
设线段
AD
的长度为
3
，那么模为
1
的向量有
6
个，模为
2
的向量有
4
个，模为
3
的向量有
2
个，即共有
12
个向量．
在模为
1
的向量中，
∴ 不同的向量只能写
2
个；
在模为
2
的向量中，
∴ 不同的向量也只能写
2
个；
模为
3
的向量是
它们不相等．
故最多可以写出
6
个互不相等的非零向量，
例如
二 、共线向量
任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
疑似点提示：
（
1
）平行向量与共线向量是等价的同一个概念，只是名称不同而已．
（
2
）两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向量的方向相同或相反，就是共线向量．
（
3
）两个共线向量
a
、
b
所在直线，可能平行或重合，但不能相交．
（
4
）两个非零共线向量也包括以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且模不相等．因此，共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
典例剖析
例
2
判断下列命题的真假：
（
1
）若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等；（
2
）不相等的两个向量一定不共线；
（
3
）若
a
为非零向量，则与
a
相等的向量必与
a
共线；
答案：
（
1
）假命题，两个单位向量共线，它们的方向可以相反，从而不一定相等；
（
2
）假命题，不相等的两个向量有可能其模不相等，但方向相同或相反，从而不相等的两个向量有可能个共线；
（
3
）真命题，相等向量其方向相同，从而一定是共线向量；
规 律：
判断与共线向量有关的命题的真假，要依据共线向量或平行向量的定义，并结合图形，列举反例等进行评判．只要有一个反例与命题不符，则命题不正确，同时要注意零向量与任何向量共线这一特例．
变式训练
如下图，在平行四边形
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，在向量
等中，哪些向量是共线向量？
∵
A
、
O
、
C
三点共线，
∴
是共线向量．
∵
B
、
O
、
D
三点共线，
∴
是共线向量．
∵
AB
∥
DC
，
∴
是共线向量．
∵
AD
∥
BC
，
∴
是共线向量．
复习：
1
．
的向量叫相等向量，若
a
与
b
相等，记作
．
2
．由于向量可以平行移动，所以任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也叫
．
3
．向量与有向线段的区别是：向量只有
和
两个要素，与
无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是向量相同向量．
有向线段有
、
和
三个要素，
不同，尽管大小和方向相同也是不同有向线段．
长度相等且方向相同
a
＝
b
共线向量
大小
方向
方向
起点
起点
大小
4
．共线向量与相等向量的关系，即共线向量
是相等向量，而相等的向量
是共线向量．
5
．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．由此可知，任意一组平行向量都可以
．
不一定
一定
移动到同一条直线上