【精品】人教版 九年级下册数学 28 8页

第 1 页 共 8 页 第二十八章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数 第 1 课时 正弦函数 学习目标： 1．理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值 都固定 (即正弦值不变)． 2．能根据正弦概念正确进行计算． 重点：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比 值都固定 (即正弦值不变)． 难点：能根据正弦概念正确进行计算． 自主学习 一、知识链接 1．在 Rt△ABC 中，a=1，∠C=90°，∠A=30°，求 c． 2．在 Rt△ABC 中，a=1，∠C=90°，∠A=45°，求 c． 合作探究 一、要点探究 探究点 1：已知直角三角形的边长求正弦值 合作探究 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上 建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌．先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高 度为 35 m，需要准备多长的水管？ 这个问题可以归结为：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求 AB． 【方法归纳】 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么无论这个直角三角形大小 第 2 页 共 8 页 如何，这个角的对边与斜边的比都等于 1 2 ． 思考 1：Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 【方法归纳】 在直角三角形中，如果一个锐角等于 45°，那么无论这个直角三角形大小 如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2 2 ． 思考 2： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 BC AB 与 B' C' A' B' 有什么关系？你能解释一下吗？ 【方法归纳】 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小 如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正 弦，记作 sin A ，即 【典例精析】 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sin A 和 sin B 的值． 第 3 页 共 8 页 练一练 1．如图，判断对错： 2．在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则 sin A 的值为 （ ） A． 33 7 B． 4 7 C． 3 7 D． 7 33 例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐 角 α 的正弦值． 【方法总结】 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂 线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解． 练一练 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( ) A． a b sin A = BC AC （ ） sin A = 0．6 （ ） sin B = 0．8 （ ） sin A = BC AB （ ） sin B = BC AB （ ） 第 4 页 共 8 页 B． b a C． 2 2 a a b D． 2 2 b a b 探究点 2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， 1sin 3A  ，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的 面积． 提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定 理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积． 练一练 1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sin A= 3 5 ，BC=6，则 AB 的长为 ( ) A. 4 B．6 C．8 D．10 2．在△ABC 中，∠C=90°，如果 sin A = 1 3 ，AB=6， 那么 BC= ． 例 4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24 cm，sin A= 7 25 ，求这个三角形的周长． 【方法总结】 已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定 理解决问题． 二、课堂小结 第 5 页 共 8 页 当堂检测 1．在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将( ) A． 扩大为原来的 2 倍 B．不变 C． 缩小为原来的 1 2 D． 无法确定 2．如图， 在△ABC 中，∠B=90°，则 sin A 的值为 ( ) A． 3 7 B． 2 10 7 C． 4 7 D． 5 2 7 3．如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 ． 第 6 页 共 8 页 4．如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上，BD 是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =______． 5．如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sin A = 4 5 ，求△ABC 的面积． 6． 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB． (1) sin B 可以由哪两条线段之比表示? (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sin B 的值． 参考答案 第 7 页 共 8 页 自主学习 一、知识链接 1．解：c=2． 2．解：c= 2 ． 课堂探究 一、要点探究 探究点 1：已知直角三角形的边长求正弦值 合作探究 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 1 2 BC AB  ，可得 AB = 2BC =2×35=70 (m)．也就是说，需要准备 70 m 长的水管． 思考 1 解：因为∠A=45°，∠C=90°， 所以 AC=BC．由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2， 所以 2AB BC ．因此 2 .22 BC BC AB BC   思考 2 解：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'．所以 AB BC A' B' B' C'  ，即 BC B' C' AB A'B'  ． 典例精析 例 1 解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 2 2 2 2= 4 3 5.AB AC BC    因 此 3sin 5 BCA AB   ， 4sin .5 ACB AB   如 图 ② ， 在 Rt △ ABC 中 ， 由 勾 股 定 理 得 2 2 2 2= 13 5 12.AC AB BC    因此 5sin 13 BCA AB   ， 12sin .13 ACB AB   练一练 1． √ × × √ √ 2． C 例 2 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA ，则 PA⊥OA．在 Rt△APO 中，由勾股定理得 2 2 2 23 4 5.OP OA AP     因此 4sin .5 AP OP    练一练 D 例 3 解 ： ∵ ∠ C=90 ° ， ∴ 1sin 3A  ． ∴ 1 3 BC AB  ，∴ AB = 3BC =3 × 3=9 ． ∴ 2 2 2 2= 9 3 6 2.AC AB BC    ∴ 6 2 2 2sin .9 3 ACB AB    ∴ 第 8 页 共 8 页 1 1= 6 2 3=9 2.2 2ABCS AC BC   △ 练一练 1． D 2． 2 例 4 解 ： 由 sin A= 7 25 ， 设 BC=7x ， 则 AB=25x ． 在 Rt △ ABC 中 ， 由 勾 股 定 理 得 2 2 2 2(25 ) (7 ) 24AC AB BC x x x     ，即 24x = 24，解得 x = 1 cm．故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm．所以 △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm)． 当堂检测 1. B 2．A 3． 10 10 4． 3 5 5 ． 解 ： 作 BD ⊥ AC 于 点 D ， ∵ sin A = 4 5 ， ∴ 4sin 5 45BD AB A     ． ∴ 2 2 2 25 4 3.AD AB BD     又∵ AB=AC ，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6．∴S△ABC=AC ×BD÷2=12． 6．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°．∴∠ACD = ∠B=90°-∠A．∴ sin sin .AC CD ADB ACD AB BC AC    ∠ （ 2 ） 在 Rt △ ACD 中 ， 2 2 2 25 3 4.AD AC CD     由 (1) 知 ， 4sin sin .5 ADB ACD AC   ∠