2018届二轮复习用好逻辑用语，突破充要条件课件（江苏专用） 40页

专题 1 　集合与常用逻辑用语 第 2 练　用好逻辑用语， 突破 充要条件 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 1.(2015· 山东改编 ) 若 m ∈ R, 命题 “ 若 m >0 ，则方程 x 2 ＋ x － m ＝ 0 有实根 ” 的逆否命题是 ____________________________ _ _____. 解析答案 解析 　 原命题为 “ 若 p ，则 q ” ，则其逆否命题为 “ 若 綈 q ， 则 綈 p ”. ∴ 所求命题为 “ 若方程 x 2 ＋ x － m ＝ 0 没有实根，则 m ≤ 0 ”. 1 2 3 4 5 若方程 x 2 ＋ x － m ＝ 0 没有实根，则 m ≤ 0 1 2 3 4 5 2.(2016· 山东改编 ) 已知直线 a ， b 分别在两个不同的平面 α ， β 内，则 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 α 和平面 β 相交 ” 的 ____________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 解析答案 解析 　 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 α 和平面 β 相交； 若平面 α 和平面 β 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交 . 充分不必要 1 2 3 4 5 3.(2015· 重庆改编 ) “ x ＞ 1 ” 是 “ ” 的 ____________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 解析答案 解析　 ⇔ x ＋ 2 ＞ 1 ⇔ x ＞－ 1. 充分不必要 1 2 3 4 5 4.(2016· 北京改编 ) 设 a ， b 是向量，则 “ | a | ＝ | b | ” 是 “ | a ＋ b | ＝ | a － b | ” 的 ________________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 解析答案 解析 　 由 | a ＋ b | ＝ | a － b | ⇔ ( a ＋ b ) 2 ＝ ( a － b ) 2 ⇔ a · b ＝ 0 ⇔ a ⊥ b ， 故 是既不充分也不必要条件 . 既不充分也不必要 1 2 3 4 5 5.(2016· 浙江改编 ) 命题 “ ∀ x ∈ R ， ∃ n ∈ N * ，使得 n ≥ x 2 ” 的否定形式是 _______________________ __ _. 解析答案 解析 　 全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题， n ≥ x 2 的否定是 n ＜ x 2 . ∃ x ∈ R ， ∀ n ∈ N * ，使得 n ＜ x 2 返回 高考 必会题型 题型一　命题及其真假判断 常用结论： (1) 原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价； (2) 四个命题中，真命题的个数为偶数； (3) 只有 p 、 q 都假， p ∨ q 假，否则为真，只有 p 、 q 都真， p ∧ q 真，否则为假； (4) 全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假 . 例 1 　 (1) 命题 p ： “ 若 ＝ b ，则 a 、 b 、 c 成等比数列 ” ，则命题 p 的否命题是 ________( 填 “ 真 ” 或 “ 假 ” ) 命题 . 解析答案 假 (2) 有下面四个判断： ① 命题 “ 设 a 、 b ∈ R ，若 a ＋ b ≠ 6 ，则 a ≠ 3 或 b ≠ 3 ” 是一个假命题； ② 若 “ p 或 q ” 为真命题，则 p 、 q 均为真命题； ③ 命题 “ ∀ a 、 b ∈ R ， a 2 ＋ b 2 ≥ 2( a － b － 1) ” 的否定是 “ ∃ a 、 b ∈ R ， a 2 ＋ b 2 ≤ 2( a － b － 1) ” ； ④ 若函数 f ( x ) ＝ ln( a ＋ ) 的图象关于原点对称，则 a ＝ 3. 其中正确的有 ________ 个 . 点评 0 解析 答案 解析　 对于 ① ：此命题的逆否命题为 “ 设 a 、 b ∈ R ， 若 a ＝ 3 且 b ＝ 3 ，则 a ＋ b ＝ 6 ” ，此命题为真命题 ， 所以 原命题也是真命题， ① 错误 ； “ p 或 q ” 为真，则 p 、 q 至少有一个为真命题， ② 错误 ； “ ∀ a 、 b ∈ R ， a 2 ＋ b 2 ≥ 2( a － b － 1) ” 的否定是 “ ∃ a 、 b ∈ R ， a 2 ＋ b 2 <2( a － b － 1) ” ， ③ 错误 ； 对于 ④ ：若 f ( x ) 的图象关于原点对称 ， 则 f ( x ) 为奇函数，则 f (0) ＝ ln( a ＋ 2) ＝ 0 ， 解 得 a ＝－ 1 ， ④ 错误 . 点评 利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法 . 在解答时要有意识地去练习 . 点评 变式训练 1 　 命题 “ 若 x <0 ，则 x 2 >0 ” 及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为 ________. 解析答案 解析 　 原命题为真，所以逆否命题为真 ； 逆命题 为 “ 若 x 2 >0 ，则 x <0 ” 为假命题，所以否命题为假 . 2 题型二　充分条件与必要条件 例 2 　 (1)(2015· 北京改编 ) 设 α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ α . 则 “ m ∥ β ” 是 “ α ∥ β ” 的 ____________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 解析答案 解析 　 m ⊂ α ， m ∥ β α ∥ β ，但 m ⊂ α ， α ∥ β ⇒ m ∥ β ， 所以 “ m ∥ β ” 是 “ α ∥ β ” 的必要不充分条件 . 必要不充分 解析答案 (2) 已知 ( x ＋ 1)(2 － x ) ≥ 0 的解为条件 p ，关于 x 的不等式 x 2 ＋ mx － 2 m 2 － 3 m － 1 ＜ 0( m ＞－ ) 的解为条件 q . ① 若 p 是 q 的充分不必要条件时，求实数 m 的取值范围 ； 解　 设条件 p 的解集为集合 A ，则 A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 2} ， 设条件 q 的解集为集合 B ，则 B ＝ { x | － 2 m － 1 ＜ x ＜ m ＋ 1} ， 若 p 是 q 的充分不必要条件， 点评 解析答案 ② 若 綈 p 是 綈 q 的充分不必要条件时，求实数 m 的取值范围 . 解　 若 綈 p 是 綈 q 的充分不必要条件， 判断充分、必要条件时应注意的问题 (1) 先后顺序： “ A 的充分不必要条件是 B ” 是指 B 能推出 A ，且 A 不能推出 B ；而 “ A 是 B 的充分不必要条件 ” 则是指 A 能推出 B ，且 B 不能推出 A . (2) 举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明 . (3) 准确转化： 若 綈 p 是 綈 q 的必要不充分条件，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 綈 p 是 綈 q 的充要条件，那么 p 是 q 的充要条件 . 点评 变式训练 2 　对于数列 { a n } ， “ a n ＋ 1 >| a n |( n ∈ N * ) ” 是 “ 数列 { a n } 为递增数列 ” 的 ____________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 解析 　 因为 a n ＋ 1 >| a n |( n ∈ N * ) ，所以当 n ≥ 2 时， a n >0 ， 即 当 n ≥ 2 时， a n ＋ 1 > a n . 若 a 1 ≥ 0 ，有 a 2 >| a 1 | ＝ a 1 ；若 a 1 <0 ， a 2 > a 1 显然成立，充分性得证 . 当数列 { a n } 为递增数列时，设 a n ＝－ ( ) n ，则 a 2 >| a 1 | 不成立 . 充分不必要 解析答案 题型三　与命题有关的综合问题 解析 点评 例 3 　给出以下四个命题： ①“ 若 x ＋ y ＝ 0 ，则 x ， y 互为相反数 ” 的逆命题； ②“ 全等三角形的面积相等 ” 的否命题； ③“ 若 q ≤ － 1 ，则 x 2 ＋ x ＋ q ＝ 0 有实数根 ” 的逆否命题； ④ 若 a ＋ b 是偶数，则整数 a ， b 都是偶数 . 其中真命题是 ________.( 填序号 ) √ √ 解析 　 ① 显然正确 ； ② 不全等的三角形的面积不相等，故 ② 不正确 ； ③ 原命题正确，所以它的逆否命题也正确 ； ④ 若 a ＋ b 是偶数，则整数 a ， b 都是偶数或都是奇数，故 ④ 不正确 ． 解决 此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此， “ 找反例 ” 是破解此类问题的重要方法之一． 点评 变式训练 3 　下列命题： ① 若 ac 2 ＞ bc 2 ，则 a ＞ b ； ② 若 sin α ＝ sin β ，则 α ＝ β ； ③“ 实数 a ＝ 0 ” 是 “ 直线 x － 2 ay ＝ 1 和直线 2 x － 2 ay ＝ 1 平行 ” 的充要条件； ④ 若 f ( x ) ＝ log 2 x ，则 f (| x |) 是偶函数 . 其中正确命题的序号是 ________. 解析 返回 √ √ √ 解析　 对于 ① ， ac 2 ＞ bc 2 ， c 2 ＞ 0 ， ∴ a ＞ b 正确； 对于 ② ， sin 30° ＝ sin 150°D 30° ＝ 150° ， ∴② 错误； 对于 ③ ， l 1 ∥ l 2 ⇔ A 1 B 2 ＝ A 2 B 1 ，即－ 2 a ＝－ 4 a ⇒ a ＝ 0 且 A 1 C 2 ≠ A 2 C 1 ， ∴③ 正确； ④ 显然正确 . 高考 题型精练 1 2 3 4 5 1. 已知复数 z ＝ ( a ∈ R ， i 为虚数单位 ) ，则 “ a ＞ 0 ” 是 “ z 在复平面内对应的点位于第四象限 ” 的 ________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 若 z 位于第四象限，则 a ＞ 0 ，反之也成立 ， 所以 “ a ＞ 0 ” 是 “ z 在复平面内对应的点位于第四象限 ” 的充要条件 . 充要 2. 已知条件 p ： x ＋ y ≠ － 2 ，条件 q ： x ， y 不都是－ 1 ，则 p 是 q 的 ____________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 因为 p ： x ＋ y ≠ － 2 ， q ： x ≠ － 1 或 y ≠ － 1 ， 所以 綈 p ： x ＋ y ＝－ 2 ， 綈 q ： x ＝－ 1 且 y ＝－ 1 ， 因为 綈 q ⇒ 綈 p 但 綈 p q ， 所以 綈 q 是 綈 p 的充分不必要条件， 即 p 是 q 的充分不必要条件 . 充分不必要 3.(2016· 天津改编 ) 设 { a n } 是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则 “ q ＜ 0 ” 是 “ 对任意的正整数 n ， a 2 n － 1 ＋ a 2 n ＜ 0 ” 的 ____________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 由题意得， a 2 n － 1 ＋ a 2 n ＜ 0 ⇔ a 1 ( q 2 n － 2 ＋ q 2 n － 1 ) ＜ 0 ⇔ q 2( n － 1) ( q ＋ 1) ＜ 0 ⇔ q ∈ ( － ∞ ，－ 1) ， 故 是必要不充分条件 . 必要不充分 4. 设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC ， BD ，则 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” 是 “ AC ⊥ BD ” 的 _____________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 当四边形 ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即 AC ⊥ BD ；当四边形 ABCD 中 AC ⊥ BD 时，四边形 ABCD 不一定是菱形，还需要 AC 与 BD 互相平分 . 综上知， “ 四边形 ABCD 为菱形 ” 是 “ AC ⊥ BD ” 的充分不必要条件 . 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 画出可行域 ( 如图所示 ) ， 可知 命题 q 中不等式组表示的平面区域 △ ABC 在 命题 p 中不等式表示的圆盘内 ， 故 为必要而不充分条件 . 必要不充分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 ① 错，若 log 2 a ＞ 0 ＝ log 2 1 ，则 a ＞ 1 ，所以函数 f ( x ) ＝ log a x 在其定义域内是增函数 ； ② 错，当 m ＝ 0 时，两直线也垂直，所以 m ＝ 3 是两直线垂直的充分不必要条件 ； ③ 错，实数 x ， y ∈ [ － 1,1] 表示的平面区域为边长为 2 的正方形，其面积为 4 ，而 x 2 ＋ y 2 ＜ 1 所表示的平面区域的面积为 π ，所以满足 x 2 ＋ y 2 ≥ 1 的概率为 ； ④ 正确，不难看出，命题 “ 若 a ∈ M ，则 b ∉ M ” 与命题 “ 若 b ∈ M ，则 a ∉ M ” 是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 命题 “ ∃ x 0 ∈ R ， x ＋ 1> x 0 ＋ 1 ” 的否定是 “ ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ 1 ≤ x ＋ 1 ” ，故 ① 错 ； “ p ∨ q ” 为假命题说明 p 假 q 假，则 “ ( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) ” 为真命题，故 ② 对 ； a >5 ⇒ a >2 ，但 a >2 a >5 ，故 “ a >2 ” 是 “ a >5 ” 的必要不充分条件，故 ③ 错 ； 因为 “ 若 xy ＝ 0 ，则 x ＝ 0 或 y ＝ 0 ” ，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故 ④ 错 . 8. 在直角坐标系中，点 (2 m ＋ 3 － m 2 ， ) 在第四象限的充要条件 是 ____________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由 a >0 ， m 2 － 7 am ＋ 12 a 2 <0 ，得 3 a < m <4 a ， 即命题 p ： 3 a < m <4 a ， a >0 . 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 已知函数 f ( x ) ＝ 4| a | x － 2 a ＋ 1. 若命题： “ ∃ x 0 ∈ (0,1) ，使 f ( x 0 ) ＝ 0 ” 是真命题，则实数 a 的取值范围为 ________. 解析　 由于 f ( x ) 是单调函数，在 (0,1) 上存在零点， 应有 f (0)· f (1) ＜ 0 ，解不等式求出实数 a 的取值范围 . 解析答案 11. 下列结论： ① 若命题 p ： ∃ x 0 ∈ R ， tan x 0 ＝ 2 ；命题 q ： ∀ x ∈ R ， x 2 － x ＋ ＞ 0. 则命题 “ p ∧ ( 綈 q ) ” 是假命题； ② 已知直线 l 1 ： ax ＋ 3 y － 1 ＝ 0 ， l 2 ： x ＋ by ＋ 1 ＝ 0 ，则 l 1 ⊥ l 2 的充要条件 是 ＝－ 3 ； ③“ 设 a ， b ∈ R ，若 ab ≥ 2 ，则 a 2 ＋ b 2 ＞ 4 ” 的否命题为： “ 设 a ， b ∈ R ，若 ab ＜ 2 ，则 a 2 ＋ b 2 ≤ 4 ”. 其中正确结论的序号为 __________.( 把你认为正确结论的序号都填上 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 √ √ 解析　 在 ① 中，命题 p 是真命题，命题 q 也是真命题 ， 故 “ p ∧ ( 綈 q ) ” 是假命题是正确的 . 在 ② 中，由 l 1 ⊥ l 2 ，得 a ＋ 3 b ＝ 0 ，所以 ② 不正确 . 在 ③ 中， “ 设 a ， b ∈ R ，若 ab ≥ 2 ， 则 a 2 ＋ b 2 ＞ 4 ” 的否命题为： “ 设 a ， b ∈ R ，若 ab ＜ 2 ， 则 a 2 ＋ b 2 ≤ 4 ” 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 [0,1] 返回 由 x 2 － x ＜ a 2 － a ，得 ( x － a )[ x ＋ ( a － 1)] ＜ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 綈 q 的一个充分不必要条件是 綈 p ，可知 綈 p 是 綈 q 的充分不必要条件 ， 即 p 为 q 的一个必要不充分条件 ， 即 条件 q 对应的 x 取值集合是条件 p 对应的 x 取值集合的真子集 . 综上， a 的取值范围是 [0,1]. 返回