人教A版选修1-13-2立体几何中的向量方法第1课时（含答案） 5页

P §3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知 识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间 的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学. 【教学目标】： （1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面 间的位置关系. （2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。 （3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势. 【教学重点】： 平面的法向量. 【教学难点】： 用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引 入 1． 两个非零向量共线的充要条件是什么？ 2． 什么叫直线的方向向量？ 3． 回顾平面向量基本定理。 为探索新知识做准 备. 二、探究新 知 一、点、直线、平面的位置的向量表示 1. 思考：如何确定一个点在空间的位置？ 如图，在空间中，我们取一点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量OP 来表示．称向量OP 为点的位置向量。 ●O ● P 2. 思考：在空间中给定一个定点 A 和一个定方向（向量），能确定一条直 线在空间的位置吗？ 如图，点 A 和 a 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体表示出 l 上的 任意一点 P。 3. 思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的 位置吗？ 要求学生自己寻找 空间中的几何元素 点、直线、平面的 位置的向量表示方 法。 基点 )( RaAP   a l A ml //  // O a b  ● P  如图，点 O 和 a 、b 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点 P. 4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的 位置吗？ 法向量：若 a ，则 a 叫做平面  的法向量。 ● A a 如图，过点 A，以 a 为法向量的平面是完全确定的. 二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系 设直线 l、m 的方向向量分别为 a 、b ，平面 , 的法向量分别为 vu, . 探究 1：平行关系 1,线线平行: 2,线面平行: 3,面面平行: 探究 2：垂直关系 1,线线垂直:  ml 2,线面垂直:  l uaua  // 3,面面垂直:   0 vuvu  联系平面向量基本 定理来理解。 学生记住法向量的 概念。 通过对对称轴不同 作法的探讨，拓展 学生的思维. 让学生对每一种关 系都进行探究，找 到相应的向量关系 和运算公式。 三、练习巩 固 1．设直线 l，m 的方向向量分别为 ba, ，根据下列条件判断 l，m 的位置 关系： 巩固知识，培养技 能. )( RyxbyaxOP  、 baba  // //l 0 uaua  vuvu  // 0 baba  答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行。 2.设平面 , 的法向量分别为 vu, ，根据下列条件判断平面 , 的位置 关系： )4,4,6(),5,2,2()1(  vu  )4,4,2(),2,2,1()2(  vu  )4,1,3(),5,3,2()3(  vu  答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为 2472 29 。 四、训练与 提高 1 ． 已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 平 面 外 一 点 ， 如 果 (2, 1,4)AB   ， (4,2,0)AD  ， ( 1,2, 1)AP    （1）求证： AP  是平面 ABCD 的法向量； （2）求平行四边形 ABCD 的面积． （1）证明：∵ ( 1,2, 1) (2, 1, 4) 0AP AB         ， ( 1,2, 1) (4,2,0) 0AP AD       ， ∴ AP AB ， AP AD ，又 AB AD A ， AP  平面 ABCD ， ∴ AP  是平面 ABCD 的法向量． （2） 2 2 2| | (2) ( 1) ( 4) 21AB       ， 2 2 2| | 4 2 0 2 5AD     ， ∴ (2, 1, 4) (4,2,0) 6AB AD       ， ∴ 6 3 105cos( , ) 10521 2 5 AB AD      ， ∴ 9 32sin 1 105 35BAD    ， ∴ | | | | sin 8 6ABCDS AB AD BAD      ． 引 导 学 生 进 行 应 用. 对法向量作理解. 巩固以往知识，培 养运算技能. 五、小结 1． 点、直线、平面的位置的向量表示。 2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 反思归纳 )6,3,6(),2,1,2()1(  ba  )2,3,2(),2,2,1()2(  ba  )3,0,0(),1,0,0()3(  ba  六、作业 A，预习课本 105～110 的例题。 B，书面作业: 1， 2， 练习与测试： （基础题） 1，与两点 和 所成向量同方向的单位向量是 。 解：向量 ，它的模 则所求单位向量为 。 2，从点 沿向量 的方向取长为 6 的线段 ，求 点坐标。 解：设 点坐标为 ，由题设有 ； 由 可得 。则 ，于是所求坐标为 。 3，设直线 l，m 的方向向量分别为 )1,0,3(),3,2,1(  ba ，判断 l，m 的位置关系。 解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。 4，设平面 , 的法向量分别为 )12,6,2(),6,3,1(  vu ，判断平面 , 的位置关系。 解：易知所给二法向量平行，故平面 , 平行。 （中等题） 5，已知空间四点坐标分别为 A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（1，1/2，1）、F（0，1/2，0），求平面 AEF 的单位法向量。 的一个单位法向量。求平面 已知点 ABC CBA ),5,0,0(),0,4,0(),0,0,3( . ),0,1,1(),1,0,1( , 的大小。所成的锐二面角的度数 求这两个平面 的法向量分别是若两个平面  vu  解： 设平面 AEF 的法向量为 则有 为平面 AEF 的单位法向量。 6，如图所示建立坐标系，有 分别求平面 SAB 与平面 SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。 解：因为 y 轴 平面 SAB，所以平面 SAB 的法向量为 设平面 SDC 的法向量为， 由