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- 2021-05-21 发布
第2讲 不等式选讲
[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．
热点一 含绝对值不等式的解法
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.
(2)|f(x)|0)⇔－a1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，
得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当20)．
(1)当a＝2时，求不等式f(x)>8的解集；
(2)若∃x∈R，使得f(x)≤成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，由f(x)>8，
得|2x＋1|＋|x－2|>8，
即或或
得x>3或x∈∅或x<－，
所以x>3或x<－，
所以原不等式的解集为∪(3，＋∞)．
(2)因为∃x∈R，使得f(x)≤成立，
所以f(x)min≤.
因为f(x)＝
所以f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以f(x)min＝f ＝＋a，
所以＋a≤，所以a≤1.
又a>0，所以实数a的取值范围是.
思维升华 绝对值不等式的成立问题的求解策略
(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式．
(2)转化最值：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a有解⇔f(x)max>a；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)4；
(2)若不等式f(a)>对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．
解 (1)当b＝1时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|>4，
即⇒x>1或
⇒x<－1或⇒x∈∅，
所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)f(a)＝|2a＋b|＋|2a－b|＝|2a＋b|＋|b－2a|≥|(2a＋b)＋(b－2a)|＝|2b|，
当且仅当(2a＋b)(b－2a)≥0时，f(a)min＝|2b|，
所以|2b|>|b＋1|，所以(2b)2>(b＋1)2，
即(3b＋1)(b－1)>0，
所以b的取值范围为∪(1，＋∞)．
热点三 不等式的证明
1．含有绝对值的不等式的性质
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
例3 (2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋.
(1)解不等式f(x)≤x＋1；
(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝c，求证：＋≥1.
(1)解 f(x)≤x＋1，即|x－1|＋≤x＋1.
①当x<1时，不等式可化为4－2x≤x＋1，解得x≥1.
又∵x<1，∴x∈∅；
②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x＋1，解得x≥1.
又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3；
③当x>3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，解得x≤5.
又∵x>3，∴31，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，
＋＝＋＝m＋n＋＋－4＝≥＝1，
当且仅当m＝n＝2时，等号成立，∴原不等式得证．
思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．
跟踪演练3 (2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)<6的解集．
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，求证：|ab＋1|>|a＋b|.
(1)解 f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|<6.
当x<－时，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x，
由－6x<6，解得x>－1，∴－1时，f(x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，
由6x<6，解得x<1，∴0，
∴>|a＋b|.
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而10，b>0，a3＋b3＝2，证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，(当且仅当a＝b时，等号成立)
因此a＋b≤2.
押题预测
1．已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若∃x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范围．
押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|.
由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4.
当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥4，
解得x≥，所以x≥2；
当－0，n>0，m＋3n＝mn，
∴m＋3n＝(m·3n)≤×，
即m＋3n≥12，
当且仅当
即时取等号，
∴f(m)＋f(－3n)＝|2m＋1|＋|－6n＋1|
≥|2m＋6n|，
当且仅当(2m＋1)(－6n＋1)≤0，即n≥时取等号，
又|2m＋6n|≥24，当且仅当m＝6，n＝2时，取等号，
∴f(m)＋f(－3n)≥24.
B组 能力提高
6．(2018·榆林模拟)已知函数f(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＋a.
(1)求不等式f(x)>a的解集；
(2)若恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)<0，求a的取值范围．
解 (1)由f(x)>a，得|3x－1|>|2x＋1|，
不等式两边同时平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1，
即5x2>10x，解得x<0或x>2.
所以不等式f(x)>a的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(2)设g(x)＝|3x－1|－|2x＋1|
＝
作出函数g(x)的图象，如图所示，
因为g(0)＝g(2)＝0，g(3)2|x|；
(2)若f(x)≥a2＋2b2＋3c2(a>0，b>0，c>0)对任意x∈R恒成立，求证：·c<.
(1)解 由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|，
即或
或
解得x>2或02或x<1.
所以不等式f(x)>2|x|的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(2)证明 当x≥2时，f(x)＝x2＋x－2≥22＋2－2＝4；
当x<2时，f(x)＝x2－x＋2＝2＋≥，
所以f(x)的最小值为.
因为f(x)≥a2＋2b2＋3c2对任意x∈R恒成立，
所以a2＋2b2＋3c2≤.
又a2＋2b2＋3c2＝a2＋c2＋2(b2＋c2)
≥2ac＋4bc≥4，且等号不能同时成立，
所以4<，即·c<.
8．设函数f(x)＝|x＋|－|x－|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥；
(2)若对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，求实数b的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥等价于
|x＋1|－|x|≥.
①当x≤－1时，不等式化为－x－1＋x≥，无解；
②当－1