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- 2021-05-21 发布
考点测试24 正弦定理和余弦定理
高考概览
本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度
考纲研读
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
一、基础小题
1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于( )
A．135° B．105° C．45° D．75°
答案 C
解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sinA＝，又由题知0°a，B>A，角B有两个解，故选C．
二、高考小题
9．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B． C． D．2
答案 A
解析 因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcosC＝1＋25－2×1×5×－＝32，∴AB＝4．故选A．
10．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC．
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC．∵C∈(0，π)，∴C＝，故选C．
11．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A
答案 A
解析 解法一：因为sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，
即cosC(2sinB－sinA)＝0，
所以cosC＝0或2sinB＝sinA，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a．
故选A．
解法二：由正弦定理和余弦定理得
b1＋＝2a·＋c·，
所以2b21＋＝a2＋3b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，
即(a2＋b2－c2)－1＝0，
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a．故选A．
12．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________．
答案 3
解析 由＝得sinB＝sinA＝，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3
＝0，解得c＝3(舍去负值)．
13．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
答案
解析 根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·sinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝，结合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A为锐角，且cosA＝，从而求得bc＝，所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝××＝．
三、模拟小题
14．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝( )
A．2∶3 B．4∶3 C．3∶1 D．3∶2
答案 C
解析 由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，故选C．
15．(2018·合肥质检)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝( )
A．10 B．8 C．7 D．4
答案 B
解析 依题意，有sinCcosA－cosCsinA＝sinB，由正弦定理得ccosA－acosC＝b；再由余弦定理可得c·－a·＝b，将b＝4代入整理，得c2－a2＝8，故选B．
16．(2018·珠海摸底)在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则△ABC的面积为________．
答案
解析 根据余弦定理，有a2＋b2－2abcosC＝c2，即16b2＋b2－8b2×＝13，所以b2＝1，解得b＝1，所以a＝4，所以S△ABC＝absinC＝×4×1×＝．
17．(2018·贵阳期末)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＝bcosA，a＝4，若△ABC的面积为4，则b＋c＝________．
答案 8
解析 由asinB＝bcosA得＝，再由正弦定理＝，所以＝，即tanA＝，又A为△ABC的内角，所以A＝．由△ABC的面积为S＝bcsinA＝bc×＝4，得bc＝16．再由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝32，所以b＋c＝＝＝＝8．
18．(2018·长春质检)已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sinA，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝，a＝，则b＝________．
答案 1
解析 由S＝bcsinA＝b2sinA，可知c＝2b，由角平分线定理可知，＝＝＝2．又BD＋CD＝a＝，所以BD＝，CD＝．在△ABD中，因为BD＝AD＝，AB＝c＝2b，所以cos∠ABD＝＝b，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD，所以b2＝4b2＋3－4bcos∠ABD＝3＋4b2－6b2，解得b＝1．
一、高考大题
1．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝
2，BD＝5．
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC．
解 (1)在△ABD中，由正弦定理，得＝．
由题设知，＝，所以sin∠ADB＝．
由题设知，∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝ ＝．
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝．
在△BCD中，由余弦定理，得
BC2＝BD2＋DC2－2BD×DCcos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5．
2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
(1)求sinBsinC；
(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解 (1)由题设得acsinB＝，即csinB＝．
由正弦定理得sinCsinB＝．
故sinBsinC＝．
(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，
即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝，故A＝．
由题设得bcsinA＝，即bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝．
故△ABC的周长为3＋．
3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c．
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解 (1)由已知及正弦定理得，
2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC．
故2sinCcosC＝sinC．因sinC≠0，
可得cosC＝，因为C∈(0，π)，所以C＝．
(2)由已知，得absinC＝．
又C＝，所以ab＝6．
由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC＝7．
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，a＋b＝5．
所以△ABC的周长为5＋．
二、模拟大题
4．(2018·深圳4月调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且acosB＋bsinB＝c．
(1)求C的大小；
(2)若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．
解 (1)由已知及正弦定理可得sinAcosB＋sin2B＝sinC．
因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
所以sin2B＝cosAsinB．
因为B∈0，，所以sinB>0，所以sinB＝cosA，
即cos－B＝cosA．
因为A∈(0，π)，－B∈0，，
所以－B＝A，即A＋B＝，所以C＝．
(2)设BD＝m，CB＝n．因为B＝，C＝，
所以A＝，∠DBC＝，且AC＝n，AB＝2n，AD＝2n＋m．所以S△ACD＝AC·AD·sinA＝×n×(2n＋m)×＝，即n(2n＋m)＝3，①
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠DBC，即m2＋n2＋mn＝3，②
联立①②解得m＝n＝1，即BD＝1．
5．(2018·长沙统考)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝c(a－c)＋b2．
(1)求角B的大小；
(2)设m＝2a－c，若b＝，求m的取值范围．
解 (1)因为a2＝c(a－c)＋b2，所以a2＋c2－b2＝ac，
所以cosB＝＝．
又因为0
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