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- 2021-05-21 发布
延边第二中学 2019—2020 学年度第一学期第二次阶段检测高一数学试卷
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）
1.如图，在四面体中，若直线 和 相交，则它们的交点一定（ ）
A. 在直线 上 B. 在直线 上
C. 在直线 上 D. 都不对
【答案】A
【解析】
依题意有：由于交点在 上，故在平面 上，同理由于交点在 上，故在平面
上，故交点在这两个平面的交线 上.
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 （ ）
A. B. C. D. 15
【答案】B
【解析】
试题分析：根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为
，高为 ，直四棱柱的高为 ，所以底面周长为 ，故该几何体
的表面积为 ，故选 B．
考点：1．三视图；2．几何体的表面积．
EF GH
DB AB
CB
EF ABD GH CBD
BD
8 2 2+ 11 2 2+ 14 2 2+
1,2 1 2 2 21 1 2 1 1 4 2+ + + + = +
1 22 (4 2) 2 1 11 2 22
+× + + × × = +
3.已知三棱锥 中,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,作 面 ABC,垂足为 O，则点 O 是
的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面垂直的判定定理和性质定理可以判断出则点 O 是 垂心.
【详解】因为 PA,PB,PC 两两互相垂直,所以由线面垂直的判定定理可知： 平面 ,
而 平面 ,因此 ,又因为 面 ABC, 平面 ,所以
,又 平面 ,所以 平面 ,
平面 ,所以 ,同理 ,故点 O 是 的垂心.
故选：D
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理的应用,考查了三角形垂心的判定,考查
了推理论证能力.
4.已知 表示三条不同的直线， 表示两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行、线面垂直的判定定理与性质依次对选项进行判断，即可得到答案．
详解】对于 A，当 时，则 与 不平行，故 A 不正确；
对于 B，直线与平面平行，则直线与平面内的直线有两种关系：平行或异面，故 B 不正确；
对于 C，若 ，则 与 不垂直，故 C 不正确；
对于 D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故 D 正确；
故答案选 D
【
P ABC− PO ⊥
ABC∆
ABC∆
PC ⊥ PAB
AB Ì PAB PC AB⊥ PO ⊥ AB Ì ABC
PO AB⊥ , ,PO PC P PO PC∩ = ⊂ POC AB ⊥ POC
OC ⊂ POC AB OC⊥ ,AC OB BC OA⊥ ⊥ ABC∆
, ,l m n ,α β
// ,m n n α⊂ //m α // ,m nα α⊂ //m n
, ,l m lα β α β⊥ = ⊥ m β⊥ ,m nα α⊥ ⊥ //m n
m α⊂ m α
m β⊂ m β
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关定理的应用，属于中档题．
5.α，β 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面 α，β 平行的是（ ）
A. m，n 平面 内两条直线，且 ，
B. 内不共线的三点到 的距离相等
C. ， 都垂直于平面
D. m，n 是两条异面直线， ， ，且 ，
【答案】D
【解析】
【分析】
A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β 或者 α 与 β 相交．B 中，根据面面得位置关系
可得：α∥β 或者 α 与 β 相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β 或者 α 与 β
相交．D 中，在直线 n 上取一点 Q，过点 Q 作直线 m 的平行线 m′，所以 m′与 n 是两条相交
直线，m′⊂β，n⊂β，且 m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得 α∥β，即可得到
答案．
【详解】由题意，对于 A 中，若 m，n 是平面 α 内两条直线，且 m∥β，n∥β，则根据面面
平行的判定定理可得：α∥β 或者 α 与 β 相交．所以 A 错误．
对于 B 中，若 α 内不共线的三点到 β 的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β 或
者 α 与 β 相交．所以 B 错误．
对于 C 中，若 α，β 都垂直于平面 γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β 或者 α 与 β
相交．所以 C 错误．
对于 D 中，在直线 n 上取一点 Q，过点 Q 作直线 m 的平行线 m′，所以 m′与 n 是两条相交直
线，m′⊂β，n⊂β，且 m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得 α∥β，所以 D 正
确．
故选 D．
【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与
平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能
力，属于基础题．
6.已知四棱柱 的底面是平行四边形,过此四棱柱任意两条棱的中点作直线,
是 α / /m β / /n β
α β
α β γ
m α⊂ n β⊂ / /m β / /n α
1 1 1 1ABCD A B C D−
其中与平面 平行的直线共有（ ）条
A. 4 B. 6 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
在平面 的一侧, 的中点分别为： ,根据面面平行的性
质可知：这四个中点的连线中有 6 条直线都与平面 平行,同理在另一侧也有 6 条,选
出答案即可.
【详解】设 的中点分别为： ,连接 ,
因为平面 平面 , 都是平面面 内的直线,
所以这 6 条直线都与平面 平行,同理在平面 的另一侧也有 6 条直线与平面
平行,即共有 12 条直线与平面 平行.
故选：D
【点睛】本题考查了面面平行的性质,考查了分类讨论思想,考查了推理论证能力.
7.三个数 的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由指数函数与对数函数的图形与性质可知 ，所以
1 1DBB D
1 1DBB D 1 1 1 1, , ,AB A B A D AD , , ,E F G H
1 1DBB D
1 1 1 1, , ,AB A B A D AD , , ,E F G H , , , , ,EF FG GH HE EG FH
EFGH 1 1DBB D , , , , ,EF FG GH HE EG FH EFGH
1 1DBB D 1 1DBB D
1 1DBB D 1 1DBB D
0.6 5
0.65 ,0.6 ,log 5
5 0.6
0.60.6 log 5 5< < 5 0.6
0.60.6 5 log 5< <
0.6 5
0.6log 5 5 0.6< < 5 0.6
0.6log 5 0.6 5< <
0.6 5
0.65 1,0 0.6 1,log 5 0> < < <
，故选 D.
考点：指数函数与对数函数的性质.
8.在空间四边形 中，若 ，则有（ ）
A. 平面 平面 B. 平面 平面
C. 平面 平面 D. 平面 平面
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，可得 平面 ，再由面面垂直的判定定理，即可证得平
面 平面 ，得到答案.
【详解】由题意，知 ，又由 ，可得 平面 ，
又由 平面 ，根据面面垂直的判定定理，可得平面 平面
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面垂直和面面垂直
的判定定理是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
9.棱长分别为 1、 、2 的长方体的 8 个顶点都在球 的表面上，则球 的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为 ，故体积为 ，
选 A.
10.正方体 中，直线 与平面 所成角正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
5 0.6
0.6log 5 0.6 5< <
ABCD AD BC BD AD⊥ ⊥，
ABC ⊥ ADC ABC ⊥ ADB
ABC ⊥ DBC ADC ⊥ DBC
AD BC BD AD⊥ ⊥， AD ⊥ DBC
ADC ⊥ DBC
AD BC BD AD⊥ ⊥， BC BD B= AD ⊥ DBC
AD ⊂ ADC ADC ⊥ DBC
3 O O
8 2
3
π 3 2π 8 3
3
π 4 3π
2 2 ( )34 8 223 3
π π× =
1 1 1 1ABCD A B C D− AD 1 1A BC
1
2
3
2
3
3
6
3
作出相关图形，设正方体边长为 1，求出 与平面 所成角正弦值即为答案.
【详解】如图所示，正方体 中，直线 与 平行，则直线 与平面
所成角正弦值即为 与平面 所成角正弦值.因为 为等边三角形，则
在平面 即为 的中心，则 为 与平面 所成角.可设正方体边长
为 1 ， 显 然 ， 因 此 ， 则
，故答案选 C.
【点睛】本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想
象能力.
11.将正方形 沿对角线 折起，并使得平面 垂直于平面 ，直线 与
所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角.
【详解】如图，取 ， ， 的中点，分别为 ， ， ，
则 ，所以 或其补角即为所求的角.
因为平面 垂直于平面 ， ，所以 平面 ，所以 .
设正方形边长 ， ，所以 ，则 .为
1 1B C 1 1A BC
1 1 1 1ABCD A B C D− AD 1 1B C AD
1 1A BC 1 1B C 1 1A BC 1 1A BC∆ 1B
1 1A BC 1 1A BC∆ 1 1B C O∠ 1 1B C 1 1A BC
3 6= 2=3 3BO × 2
1
6 3= 1 ( ) =3 3B O −
1
1 1
1 1
0 3sin 3
BB C O B C
∠ = =
ABCD AC ABC ACD AB CD
90° 60° 45° 30°
AC BD AD O M N
1 1,2 2ON CD MN AB∥ ∥ ONM∠
ABC ACD BO AC⊥ BO ⊥ ACD BO OD⊥
2 2OB OD= = 2BD = 1 12OM BD= =
所以 .所以 是等边三角形， .
所以直线 与 所成的角为 ．故应选 B．
【点睛】本题考查异面直线所成的角.
12.如图，在空间四边形 中，两条对角线 互相垂直，且长度分别为 4 和 6，平
行于这两条对角线的平面与边 分别相交于点 ，记四边形 的面
积为 y，设 ，则（ ）
A. 函数 的值域为
B. 函数 的最大值为 8
C. 函数 在 上单调递减
D. 函数 满足
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 可 得 ， ， 所 以 ． 同 理
， 所 以 ， 所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ． 又
， 所 以 ， 所 以 平 行 四 边 形 为 矩 形 ． 因 为 ， 所 以
=1ON MN OM= = OMN 60ONM∠ = °
AB CD 60°
ABCD ,AC BD
, , ,AB BC CD DA , , ,E F G H EFGH
BE xAB
=
( )y f x= (0,4]
( )y f x=
( )y f x= 2(0, )3
( )y f x= ( ) (1 )f x f x= −
/ / / /EF AC HG AC， / /EF HG
/ / / /EH BD GF BD， / /EH GF EFGH
AC BD⊥ EF EH⊥ EFGH //EF AC
， 所 以 , 因 为 ， 所 以 ， 所 以
．所以矩形 的面积 ．函数 图象关于
对称，在 上单调递增，在 上单调递减，可求得 .所以
值域是 .
考点：1.空间直线的平行；2.相似三角形对应成比例；3.二次函数的性质.
二、填空题：（每空 4 分，共 20 分）.（请将答案写在答题纸上）
13.已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为 和 ，则该圆锥的体积为________
【答案】
【解析】
【分析】
依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，
最后利用圆锥的体积公式求出体积．
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，所以有
解得 ，
故该圆锥的体积为 ．
【点睛】本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用．
14.如图，正方形 的边长为 1 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形
的周长是________
【答案】8
【解析】
【分析】
由斜二测画法还原得到原图形为平行四边形 ，其中 ，求得各边长后即可
得到原图形的周长.
EF BF xAC AB
= = 4EF x= / /EH BD 1AE EH xAB BD
= = −
( )6 1-EH x= EFGH ( )( )24 1 0 1y x x x= − < < ( )y f x=
1
2x = 10, 2
1 ,12
( )max
1 62f x f = =
( ]0,6
9π 15π
12π
r l h
2 9
15
r
rl
π
π π
=
=
3
5
r
l
=
=
2 2 2 25 3 4h l r∴ = − = − =
2 21 1V= 3 4 123 3r hπ π π= × × =
OABC cm
cm
OAB C′ ′ 2OB OB′ =
【详解】由斜二测画法还原可得正方形 的原图形为下图中的
其中 ，
原图形周长为：
故答案为
【点睛】本题考查斜二测画法 基本原则，属于基础题.
15.在正方体 中，二面角 的大小为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由线面垂直性质得 ，又 ，可得二面角平面角为 ，由
得到结果.
【详解】
平面 ， 平面
又 ， 平面 即为二面角 的平面角
二面角 的大小为
的
OABC OAB C′ ′
2 2 2OB OB′ = = 1BC B C′ ′= =
8 1 3AB OC′ ′∴ = = + = ∴ 3 2 1 2 8× + × =
8
1 1 1 1ABCD A B C D− 1C AB D− −
4
π
1BC AB⊥ BC AB⊥ 1C BC∠ 1 4C BC
π∠ =
AB ⊥ 1 1BCC B 1BC ⊂ 1 1BCC B 1BC AB∴ ⊥
BC AB⊥ BC ⊂ ABD 1C BC∴∠ 1C AB D− −
1 4C BC
π∠ = ∴ 1C AB D− −
4
π
故答案为
【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面
角的平面角.
16.已知 的三边长分别为 , , ,M 是 AB 边上的点,P 是平面 ABC 外
一点.给出下列四个命题：①若 平面 ABC,则三棱锥 的四个面都是直角三角形；
②若 平面 ABC,且 M 是边 AB 的中点,则有 ；③若 , 平面
ABC,则 面积的最小值为 ；④若 ,P 在平面 ABC 上的射影是 内切圆的圆
心,则点 P 到平面 ABC 的距离为 .其中正确命题的序号是________.（把你认为正确命题
的序号都填上）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①:利用勾股定理及逆定理和线面垂直的判定定理和性质定理可以判断本命题的真假；
②：根据直角三角形斜边的性质和勾股定理可以判断出本命题的真假；
③：利用面积公式和勾股定理可以判断出本命题的真假；
④：利用直角三角形内切圆的性质以及勾股定理可以判断出本命题的真假；
【详解】因为 , , ,所以 ,即
①：由上可知： 是直角三角形. 平面 ABC,而 平面 ABC,因此
,所以 是直角三角形.因为
平面 ,所以 平面 ,而
平面 ,所以 ,因此 是直角三角形,故本命题是真命题；
②：因为 是以 为斜边的直角三角形, M 是边 AB 的中点,所以 ,
又 平面 ABC, 平面 ABC,所以 ,由勾股定理可知：
,而 ,
所以 ,故本命题是真命题；
4
π
ABC∆ 5AB = 4BC = 3AC =
PA ⊥ P ABC−
PM ⊥ PA PB PC= = 5PC = PC ⊥
PCM∆ 15
2 5PC = ABC∆
23
5AB = 4BC = 3AC = 2 2 2AB AC CB= + .BC AC⊥
ABC∆ PA ⊥ , ,AC AB BC ⊂
, ,PA AC AP AB PA BC⊥ ⊥ ⊥ ,PAB PAC∆ ∆
, , ,BC AC BC PA AC PA A AC PA⊥ ⊥ ∩ = ⊂， PAC CB ⊥ PAC
PC ⊂ PAC CB PC⊥ PBC∆
ABC∆ AB AM MB MC= =
PM ⊥ ,AB MC ⊂ ,PM MC PM BA⊥ ⊥
2 2 2 2 2 2 2 2 2, ,PA AM PM PB BM PM PC CM PM= + = + = + AM MB MC= =
PA PB PC= =
③： ,当 最小时, 面积有最小值,所以当
时,此时 ,所以 面积最小值为 6,故
本命题是假命题；
④：由内切圆关径公式可知：内切圆的半径 ,故 ,设 P 在平面 ABC
上的射影是 内切圆的圆心为 O,因此有 ,
所以 ,所以点 P 到平面 ABC 的距离为 .故本命题是真命
题；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理,考查了直角三角形的性质,考查了推理
论证能力.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 52 分）.
17.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，点 为 中点，且
.
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
1 1 52 2PCMS PC CM CM∆ = ⋅ = × × CM PCM∆
CM AB⊥ 1 1 12
2 2 5CM AB CA CB CM⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = PCM∆
3 4 5 12r
+ −= = 2OM =
ABC∆ CO PO⊥
2 2 2 25 2 23PO PC OC= − = − = 23
P ABCD− ABCD M PC
090PAB PDC∠ = ∠ =
/ /PA BDM
PAB ⊥ PAD
【分析】
(1) 连接 交 于点 ，连接 ，可证 ，从而可证 平面 .
(2) 可证 平面 ，从而得到平面 平面 .
【详解】(1) 连接 交 于点 ，连接 ，
因为底面 为平行四边形，所以 为 中点.
在 中,又 为 中点，所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
(2) 因为底面 为平行四边形，所以 .
又 即 ，所以 .
又 即 .
又 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平
行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直
线的平面，证明该平面与已知平面平行.线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交
的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以
通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.
18.如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 ，
， 是 上一点.
AC BD O OM / /OM PA / /PA BDM
AB ⊥ PAD PAB ⊥ PAD
AC BD O OM
ABCD O AC
PAC∆ M PC / /OM PA
PA ⊄ BDM OM ⊂ BDM
/ /PA BDM
ABCD / /AB CD
090PDC∠ = CD PD⊥ AB PD⊥
090PAB∠ = AB PA⊥
PA ⊂ PAD PD ⊂ PAD PA PD P=
AB ⊥ PAD
AB Ì PAB PAB ⊥ PAD
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD
PA AB= M PC
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若 为 的中点，且 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
试题分析：（1）易证得 和 ，从而得证；
（2）由 即可得解.
试题解析：
（1）证明：连接 ，由 平面 ， 平面 得 ，
又 ， ，
∴ 平面 ，得 ，
又 ， ，
∴ 平面 .
（2）解：由 为 的中点得
.
19.如图，在三棱柱 中，底面 ABC 为正三角形， 底面 ABC， ，
点 在线段 上，平面 平面 ．
BM PC⊥ PC ⊥ MBD
M PC 2AB = M BCD−
2
3
PC BD⊥ PC BM⊥
1 1 1
2 2 3M BCD P BCD BCDV V S PA− − ∆= = × ⋅
AC PA ⊥ ABCD BD ABCD BD PA⊥
BD AC⊥ PA AC A∩ =
BD ⊥ PAC PC BD⊥
PC BM⊥ BD BC B∩ =
PC ⊥ MBD
M PC
1 1 1
2 2 3M BCD P BCD BCDV V S PA− − ∆= = × ⋅ 1 1 1 22 2 22 3 2 3
= × × × × × =
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1 3AA AB=
E 1CC 1AEB ⊥ 1 1AA B B
（1）请指出点 的位置，并给出证明；
（2）若 ，求 与平面 ABE 夹角的正弦值．
【答案】（1）见解析；
（2） .
【解析】
【分析】
（1）取 中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ， ．四边形 为平行四边
形,即可说明 平面 ，即 平面 ，即平面 平面 .
（2）利用等体积法 ，即可求出点 到平面 ABE 的距离的 ，再代入公式
，即可求出答案．
【详解】（1）点 为线段 的中点．
证明如下：取 中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ， ．
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形．所以 ．
因为 ， ，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 ，所以 平面 ．
所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .
E
1AB = 1B E
3 13
13
AB F 1AB G CF FG EG FGEC
CF ⊥ 1 1AA B B EG ⊥ 1 1AA B B 1AEB ⊥ 1 1AA B B
1 1B ABE E ABBV V− −= 1B h
1
sin h
B E
α =
E 1CC
AB F 1AB G CF FG EG
/ /FG CE FG CE= FGEC //CF EG
CA CB= AF BF= CF AB⊥
1AA ⊥ ABC CF ⊂ ABC 1AA CF⊥
1AA AB A= CF ⊥ 1 1AA B B
EG ⊥ 1 1AA B B EG ⊂ 1AEB 1AEB ⊥ 1 1AA B B
（2）由 ，得 ．
由（1）可知，点 到平面 的距离为 ．
而 的面积
，
等腰 底边 AB 上的高为
记点 到平面 ABE 的距离为 ，
由 ，得 ，
即点 到平面 ABE 的距离为 .又
与平而 ABE 夹角的正弦值 .
【点睛】本题考查面面垂直的判断，线面角的正弦值，属于中档题．
20.已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求集合 ；
（2）若 ，求 的最大值与最小值．
【答案】（1） ；
（2）当 时， 的最小值是-4；当 时， 的最大值是-3；
【解析】
【分析】
(1)解不等式得到 ，进而解得 x 的范围；（2）将原式子化简得到
= ，令 ，原式子等于 ，根据二次函数
得到结果.
1AB = 1 3AA =
E 1ABB 3
2EG CF= =
1ABB△
1
1 31 32 2ABBS = × × =
13
2AE BE= =
ABE△ 13 1 34 4
− =
1B h
1 1
1 3 3 1 1 1 33 2 2 3 2B ABE E ABBV V h− −= = × × = × × × × 3
2h =
1B 3
2 1
13= 2B E AE BE= =
1B E
1
sin =h
B E
α = 3 13
13
x 2
2 22log 5log 2 0x x− + ≤ B
B
x B∈ 2 2( ) log •log (2 )8
xf x x=
{ | 2 4}B x x= ≤ ≤
2x = ( )f x 4x = ( )f x
2 2
1 log 2=log 42 x≤ ≤ ( )f x
( )( )2 2og 3 og +1l x l x− 2
1og ,22t l x = ∈
( )( )t 3 +1y t= −
【 详 解 】 (1) 关 于 的 不 等 式 ， 等 价 于
解得 ；
（2） = ，令
原式子等于 ， ，根据二次函数的性质得到当 时， 的最
小值是-4；当 时， 的最大值是-3.
【点睛】这个题目考查了对数的运算，对数的化简以及求值问题，还考查到了复合函数的问
题，题型中等.
21.如图,在直角梯形 中, , , , , ,点
在 上,且 ,将 沿 折起,使得平面 平面 (如图), 为
中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)在线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?若存在,求 的值,并加以证明;若
不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在点 ，使得 平面 ， ，证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据平面与平面垂直的性质定理可证;
(2)过点 作 交 于点 ，点 作 交 于点 ，连接 ,然后根据
面面平行的判定定理证明平面 平面 ,再根据面面平行的性质可证 平面
x 2
2 22log 5log 2 0x x− + ≤
( )( )2 2 2 2 2
12log 1 log 2 0 log 2= log 2=log 42x x x− − ≤ ⇔ ≤ ≤
{ | 2 4}B x x= ≤ ≤
( ) ( )2 2log •log 28
xf x x= ( )( )2 2og 3 og +1l x l x− 2
1og ,22t l x = ∈
( )( )t 3 +1y t= − 1 ,22t ∈ 2x = ( )f x
4x = ( )f x
ABCD / /AB DC 90BAD ∠ = 4AB = 2AD = 3DC =
E CD 2DE = ADE∆ AE ADE ⊥ ABCE G
AE
DG ⊥ ABCE
BD P / /CP ADE BP
BD
P / /CP ADE 3
4
BP
BD
=
C / /CF AE AB F F / /FP AD DB P PC
/ /CFP ADE / /CP
.
【详解】（1）证明：因为 为 中点， ，
所以
因为平面 平面
平面 平面 ， 平面
所以 平面 .
（3）如图:
过点 作 交 于点 ，则
过点 作 交 于点 ，连接 ，则
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面
同理， 平面
又因为
所以平面 平面
因为 平面 ，
所以 平面 ，
所以 上存在点 ，使得 平面 ，且
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、面面平行的判定定理以及性质,属于中档题.
在
ADE
G AE 2AD DE= =
DG AE⊥
ADE ⊥ ABCE
ADE ABCE AE= DG ⊂ ADE
DG ⊥ ABCE
C / /CF AE AB F : 1:3AF FB =
F / /FP AD DB P PC : 1:3DP PB =
/ /CF AE AE ⊂ ADE CF ⊄ ADE
//CF ADE
/ /FP ADE
CF PF F∩ =
/ /CFP ADE
CP ⊂ CFP
/ /CP ADE
BD P / /CP ADE 3
4
BP
BD
=