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- 2021-05-21 发布
专题一 集合、函数与导数
问题五：函数与方程、不等式相结合问题
一、考情分析
函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.
二、经验分享
(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．
(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．
(3) 已知函数零点情况求参数的步骤
①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．
(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围．
(5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．
三、知识拓展
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号．
2．三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
四、题型分析
(一) 函数与方程关系的应用
函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应
用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.
【例1】已知函数（）有四个不同的零点,则实数的取值范围是
【分析】把函数（）有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解
【点评】 零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数和图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数．
【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考】．设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题设及函数的解析式可知，所以．由题意问题转化为“存在，使得有解”，即在有解，令，则，当时，函数是增函数；所以，当，即.所以，故应填答案.
(二) 函数与不等式关系的应用
函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y＝f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.
【例2】已知函数 ,,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为 .
【分析】根据题中条件：对任意的,都有成立,将问题转化为.再由题中所给两函数的特征：函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值；而另一个函数中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值,即可得到不等式,则可求出的取值范围.
【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.
【小试牛刀】【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式对任意的
恒成立，则实数x的取值集合为________．
【答案】
(三) 函数、方程和不等式关系的应用
函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.
【例3】已知函数,其中m,a均为实数．
(1)求的极值；
(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；
(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得 成立,求的取值范围．
【分析】(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定在上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为
,整理为,由此函数在区间上为减函数,则在（3,4）上恒成立,要求的取值范围．采取分离参数法得
恒成立,于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得
成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为（）,其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.
【解析】（1）,令,得x = 1．
列表如下：
x
（-∞,1）
1
（1,+∞）
+
0
-
g(x)
↗
极大值
↘
∵g(1) = 1,∴y =的极大值为1,无极小值．
（2）当时,,．
∵在恒成立,∴在上为增函数．
设,∵> 0在恒成立,
∴在上为增函数．
设,则等价于,
即．
设,则u(x)在为减函数．
∴在（3,4）上恒成立．
∴恒成立．
设,∵=,xÎ[3,4],
∴,∴< 0,为减函数．
∴在[3,4]上的最大值为v(3) = 3 -．
∴a≥3 -,∴的最小值为3 -．
（3）由（1）知在上的值域为．
∵,,
当时,在为减函数,不合题意．
当时,,由题意知在不单调,
所以,即．①
此时在上递减,在上递增,
∴,即,解得．②
由①②,得．
∵,∴成立．
下证存在,使得≥1．
取,先证,即证．③
设,则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴,∴③成立．
再证≥1．
∵,∴时,命题成立．
综上所述,的取值范围为．
【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.
【小试牛刀】已知定义在的函数,若关于的方程有且只有个不同的实数根,则实数的取值集合是 ．
【答案】
五、迁移运用
1．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】已知函数 .若函数有个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】令
当时有两个零点，需
当时有三个零点， ， 所以函数有5个零点，舍；
当时，由于
所以 ，且 ，所以
综上实数的取值范围是
2．【江苏省如皋市2018--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数
的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
若，则在上递增， 有最小值，不合题意， ，要使在的最大值为，如果，即，则，得矛盾，不合题意；如果，则， ， ，若有四个零点，则与有四个交点，只有开口向上，即，当与有一个交点时，方程有一个根， 得，此时函数有三个不同的零点，要使函数有四个不同的零点， 与有两个交点，则抛物线的开口要比的开口大，可得， ，即实数的取值范围为，故答案为.
3．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】设函数是偶函数，当x≥0时， =，若函数 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】作图，由图可得实数m的取值范围是
4．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】若函数，则函数在上不同的零点个数为__________．
【答案】3
【解析】因为， 可转化为： ，函数与以及，函数与交点的个数；作出函数图象如图:
由函数图象可知零点个数为3个.
5．【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数，若直线与交于三个不同的点， ， （其中），则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出函数，的图象如图：
设直线y=ax与y=lnx相切于（x0，lnx0），则，
∴曲线y=lnx在切点处的切线方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），
把原点（0，0）代入可得：﹣lnx0=﹣1，得x0=e．
要使直线y=ax与y=f（x）交于三个不同的点，则n∈（1，e），
联立，解得x=．
∴m∈（,），（﹣2， ），
∴的取值范围是（1， ）．
故答案为：（1， ）．．
6．【江苏省徐州市第三中学2018～2018学年度高三第一学期月考】已知函数
，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
7．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当－1＜x≤3时， 若函数 恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为______.
【答案】
【解析】根据题意，得到的图象如下：
由图可知， 是偶函数，
又恰有10个不同零点，即与的图象有10个交点，根据偶函数的特点，则在的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况.
红色直线：过，则；
蓝色直线：与区间处的曲线相切，
所以只有一个解，解得，
8.【2018江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】已知函数为定义在上的偶函数,在
上单调递减,并且,则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题设可得,即,故可化为,又,故,且.故应填答案.
9．已知,函数,若存在三个互不相等的实数,使得成立,则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】若存在三个互不相等的实数,使得成立,则方程存在三个不相等的实根,当时, ,令,则,令,得,当时, ,即在上为减函数,
当时, ,即在上为增函数,∴,则在上存在一个实根,∴在上存在两个不相等的实根,即, 有两个不相等的实根,∴,∴,故答案为
10．已知函数,若函数有个零点,则实数的取值范围为 __________ .
【答案】
11．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考】已知函数（是自然对数的底数）
（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；
（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；
（3）设，若在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数的取值范围.
【解析】（1）设切点，则（*）
又
，代入（*）得
．
（2）设，
当单调递增时，
则在上恒成立，
∴ 在上恒成立，
又
解得．
当单调递减时，
则在上恒成立，
∴在上恒成立，
综上单调时的取值范围为．
（3），
令则，
当时， ， 单调递增，
∴，即.
1）当，即时，
∴，
则单调递增，
在上无极值点．
2）当即时，
∴
I）当，即时，
在递增，
，
在上递增，
在上无极值点．
II）当时，由
在递减， 递增，
又
使得
在上单调递减，在上单调递增，
在上有一个极小值点．
3）当时， ，
在上单调递减，在上单调递增，
又，
在上恒成立，
无极值点．
4）当时，
在递增，
使得，
当时， 当时， ，
，
，
令，
下面证明，即证，
又
，
即证，所以结论成立，即，
在递减， 递增，
为的极小值.
综上当或时， 在上有极值点．
12．【江苏省南京市多校2018-2018学年高三上学期第一次段考】对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
（2）设是定义在上的“类函数”，求是实数的最小值；
（3）若 为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，得：
所以
所以存在满足
所以函数是“类函数”，
（3）由对恒成立，得
因为若 为其定义域上的“类函数”
所以存在实数，满足
①当时， ，所以，所以
因为函数（）是增函数，所以
②当时， ，所以，矛盾
③当时， ，所以，所以
因为函数 是减函数，所以
综上所述，实数的取值范围是
13．【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】已知为上的偶函数，当时， .
（1）当时，求的解析式；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求最小的整数，使得存在实数，对任意的，都有.
【解析】
（1）当时， ；
（2）当时， 单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，所以
所以当时， ；当时， ；
当时， ；
（3）当时， ，则由，得，即对恒成立
从而有对恒成立，因为，
所以
因为存在这样的，所以，即
又，所以适合题意的最小整数.
14．【江苏省淮安市淮海中学2018届高三下学期第二次阶段性测试】已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若时，函数有且只有一个零点，求实数的值；
（3若，对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）
当时， ，f (x)在上递增，f (x)无极值
当时， 时， ，f (x)递减；
时， ，f (x)递增，所以f (x)有极小值
综上，当时，f (x)无极值；当时，f (x)有极小值，无极大值
（2），则
因为，令，得，故h (x)在上递减，在上递增，所以h (x)有极小值
且 联立可得
令，得，故m (x)在上递增
又m (1) = 0，所以，即
（3）不妨令，因为0 < a < 1，则
由（1）可知，因为
所以
所以在[1，2]上递增
所以在[1，2]上恒成立，
即在[1，2]上恒成立 令，则，
所以
15．【2018届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知（）．
（1）当时，求的单调区间；
（2）函数有两个零点，，且
①求的取值范围；
②实数满足，求的最大值．
【解析】
（1）当时，
的单调增区间为，单调减区间为．……………………2分
（2）①（）
当时，，在上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍）
当时，令，得
列表
极小值
有两个不同的零点 即……………………6分
当时，，，在上单调递减且图像是不间断的
此时，在上有且只有一个零点
， 令，则设，
，在上单调递增
， 又在上单调递增且图像是不间断的
在上有且只有一个零点
综上，……………………………………9分
②有条件知
将两式分别相加，相减得，
设
由题意得对于任意成立
整理即得在成立
令，
当时，………………………12分
在上单调递增，则，满足条件
当时，
令，
（舍）
当时，，在上单调递减
与条件矛盾
综上，………………………………16分
16.定义在上的函数及二次函数满足： ,,且的最小值是．
（Ⅰ）求和的解析式；
（Ⅱ）若对于,均有成立,求实数的取值范围；
（Ⅲ）设讨论方程的解的个数情况．
【答案】（Ⅰ）,
（Ⅱ）
（Ⅲ）三个解．
（Ⅱ）设,,
依题意知：当时,
∵,在上单调递增,
,解得,
实数的取值范围是；
（Ⅲ）图像解法：的图象如图所示： 令,则
而有两个解, 有个解．
有个解．
代数解法：令,则