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- 2021-05-21 发布
第二章 函数与导数
第1课时 函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)8～10页)
① 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.
② 本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2018年高考的重要题型．
① 理解函数的概念，了解构成函数的要素.
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
③ 了解简单的分段函数，并能简单应用．
1. (必修1P26练习3改编)下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是__________．(填序号)
① x＝y2；② y＝x＋1；③ x＋y＝0；④ y＝x2.
答案：①
解析：从函数的概念来看，一个自变量x对应唯一的一个y，而①中x＝y2中一个x对应两个y，∴ ①不是函数．
2. (必修1P26练习4改编)下列各组函数中，表示同一函数的是__________．(填序号)
① y＝x＋1和y＝；② y＝x0和y＝1；③ f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；④ f(x)＝和g(x)＝.
答案：④
解析：只有④是相等的函数，①与②中定义域不同，③是对应法则不同．
3. (必修1P31习题3改编)设函数f(x)＝.若f(a)＝2，则实数a＝__________．
答案：－1
解析：由题意可知，f(a)＝＝2，解之得a＝－1.
4. (必修1P31习题8改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__________．
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
答案：－4
解析：由表中函数值得f(3)＝－4.
5. (必修1P36习题9改编)已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为____________．
答案：f(x)＝
解析：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，
利用待定系数法求出解析式．当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1；当01时满足题意．
, 2 函数的解析式)
, 2) 求下列各题中的函数f(x)的解析式．
(1) 已知f(＋2)＝x＋4，求f(x)；
(2) 已知f＝lgx，求f(x)；
(3) 已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；
(4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．
解：(1) (解法1)设t＝＋2，则＝t－2，即x＝(t－2)2，∴ f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，
∴ f(x)＝x2－4(x≥2)．
(解法2)∵ f(＋2)＝(＋2)2－4，
∴ f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2) 设t＝＋1，则x＝，∴ f(t)＝lg ，
即f(x)＝lg (x>1)．
(3) 由2f(x)＋f＝2x ①，
将x换成，则换成x，得2f＋f＝ ②，
①×2－②，得3f(x)＝4x－，得f(x)＝x－.
(4) ∵ f(x)是二次函数，
∴ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，
整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，
由恒等式原理，知
∴ f(x)＝x2－x＋1.
变式训练
根据下列条件分别求出f(x)的解析式．
(1) f(＋1)＝x＋2；
(2) 二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.
解：(1) 令t＝＋1，∴ t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2) 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
∴ f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴ ∴
又f(0)＝3，∴ c＝3，∴ f(x)＝x2－x＋3.
, 3 分段函数)
, 3) 如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．
(1) 求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
(2) 作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．
解：(1) 这个函数的定义域为(0，12)，
当0＜x≤4时，S＝f(x)＝·4·x＝2x；
当4＜x≤8时，S＝f(x)＝8；
当8＜x＜12时，S＝f(x)＝·4·(12－x)＝24－2x.
∴ 函数解析式为f(x)＝
(2) 其图形如下，由图知[f(x)]max＝8.
变式训练
已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是____________．
答案：(－1，－1)
解析：函数f(x)＝的图象如图所示：
f(1－x2)>f(2x)解得－10时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合，舍去；
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合．
综上可知，a＝－.
1. (2016·名校调研)二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x[来源:学科网ZXXK]
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则关于x的不等式f(x)≤0的解集为____________．
答案：[－3，2]
解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．
2. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
答案：4
3. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y与x之间函数的函数关系是____________________．
答案：y＝－3x＋95
解析：设进水速度为a1 L/min，出水速度为a2 L/min，则由题意得得则y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95.因为水放完为止，所以时间为x≤.又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95.
4. (2016·苏州期中)设函数f(x)＝若f(a)＞f(1)，则实数a的取值范围是____________．
答案：a＜－1或a＞1
解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a＜0时，－a－3＞－2，则a＜－1.所以实数a的取值范围是a＜－1或a＞1.
5. (2016·镇江期末)函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是____________．
答案：∪(1，＋∞)
解析：如图，作出函数图象，y2＝kx－k过定点(1，0)，临界点和(1，0)连线的斜率为－，又临界f′(1)＝1，由图象知实数k的取值范围是∪(1，＋∞)．
3. 分段函数意义理解不清致误
典例 已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为__________．
易错分析：易出现的错误：(1) 误以为1－a<1，1＋a>1，没有对a进行讨论直接代入求解；(2) 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误．
解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，
解得a＝－，不合题意；
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，
解得a＝－.
答案：－
特别提醒：(1) 注意分类讨论思想在求函数值中的应用，对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解；(2) 检验所求自变量的值或范围是否符合题意，求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
1. 已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．
答案：9
解析：列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．
2. 若函数f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，则f(x)＝________．
答案：
解析：由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得＝x，变形得x＝0，解此方程得x＝0或x＝，∵ 方程有唯一解，∴ ＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，∴ f(x)＝.
3. 如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f的值．
解：当P在AB上运动时， y＝x(0≤x≤1)；当P在BC上运动时，y＝(10或x<－1}
解析：≥01＋>0>0x>0或x<－1.
3. (必修1P40练习5改编)函数y＝的值域为________．
答案：
解析：∵ x2＋2≥2，∴ 0<≤.∴ 00时，值域为[，＋∞)；当a<0时，值域为(－∞，]．
③ y＝(k≠0)的值域为{y|y≠0}．
④ y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
⑤ y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．
⑥ y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
⑦ y＝tan x的值域是R．
3. 最大(小)值
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；
(2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值.
, 1 求函数的定义域)
, 1) (1) 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是__________．
(2) 函数y＝的定义域为____________．
答案：(1) (2) (－1，1)
解析：(1) 因为函数f(x)的定义域是[0，2]，所以函数g(x)＝f＋f中的自变量x需要满足解得
所以≤x≤，
所以函数g(x)的定义域是.
(2) 由得－11)．
解：(1) (解法1：换元法)令＝t，则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1.由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.
(解法2：单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤，所以y≤f＝，即函数的值域是.
(2) y＝＝－1.
因为1＋x2≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1≤1，即y∈(－1，1]．
所以函数的值域为(－1，1]．
(3) (解法1)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax＝，ymin＝，故所求函数的值域是.
(解法2)由y＝，得x＝.
因为x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，
即所求函数的值域是.
(4) (基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，
所以y＝＝＝t＋－2(t>0)．
因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，
故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．
求下列函数的值域：
(1) f(x)＝＋；
(2) g(x)＝；
(3) y＝log3x＋logx3－1.
解：(1) 由解得－3≤x≤1.
∴ f＝＋的定义域是.
∵ y≥0，∴ y2＝4＋2，
即y2＝4＋2.
令t＝－＋4.
∵ x∈，由t＝0，t＝4，t＝0，
∴ 0≤t≤4，从而y2∈，即y∈，
∴ 函数f的值域是.
(2) g＝＝＝＝1＋.
∵ x≠3且x≠4，∴ g≠1且g≠－6.
∴ 函数g的值域是∪∪.
(3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}．
当x>1时，log3x>0，y＝log3x＋logx3－1
≥2－1＝1；
当00恒成立，试求实数a的取值范围．
【思维导图】 函数恒成立→不等式恒成立→分类讨论→新函数的最值→a的取值范围
【规范解答】 解：(1) 当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
∵ f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴ f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2) (解法1)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ >0恒成立x2＋2x＋a>0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．
∵ y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，
∴ 当x＝1时，ymin＝3＋a，当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
(解法2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x＝1时，f(x)min＝3＋a，
当且仅当f(x)min＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
【精要点评】 解法1运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法2运用分类讨论思想解得．
●总结归纳
(1) 求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
(2) 函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
(3) 运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求具有较强的分析能力和数学建模能力．
●题组练透
1. 函数y＝的值域是____________．
答案：
解析：∵ x2＋x＋1＝2＋≥，∴ y≥，∴ 值域为.
2. 函数y＝x＋的值域是____________．
答案：(－∞，1]
解析：令＝t(t≥0)，则x＝.∵ y＝＋t＝－ (t－1)2＋1≤1，∴ 值域为(－∞，1]．
3. 已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．
解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即fmin(x)＝0，∴ ＝0，∴ a＝－1或.
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，即2a2－a－3≤0，∴ －1≤a≤，
∴ g(a)＝2－a|a－1|＝
当－1≤a≤1时，g(a)＝a2－a＋2＝＋，∴ g(a)∈；
当10且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案：(1，2]
解析：当x≤2时，－x＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需x＞2时，f(x)＝3＋logax的值域在区间[4，＋∞)内，故a＞1，所以3＋loga2≥4，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是(1，2]．
5. 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
答案：－
解析：当a>1时，无解；当0.
4. (必修1P44习题3改编)已知x∈[0，1]，则函数y＝－的值域是__________．
答案：
解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．
5. (必修1P40练习7改编)设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是____________．
答案：f(－3)>f(－π)
解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)．
1. 增函数和减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图2所示)
2. 单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．
3. 判断函数单调性的方法
(1) 定义法：利用定义严格判断．
(2) 利用函数的运算性质．
如若f(x)，g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．
(3) 利用复合函数关系判断单调性
法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．
(4) 图象法
奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
, 1 函数单调性的判断)
, 1) 已知函数f(x)＝.
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 求证：函数f(x)在定义域上是递增的；
(3) 求函数f(x)的最小值．
(1) 解：要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．
(2) 证明：设－10，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝＝.
∵ －10，>0.
∴ f(x1)0，
∴ 函数f(x)在定义域上是递增的．
(3) 解：∵ 函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是递增的，
∴ f(x)≥f(－1)＝0，即函数f(x)的最小值是0.
证明函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上是减函数．
证明：设x1，x2∈[1，＋∞)，且x10，
∴ f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴ f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数．
, 2 求函数的单调区间)
, 2) 设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为________．
答案：(－∞，－1)
解析：由f(x)>，得－12时，由图4可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
综上，当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；当12时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.
【精要点评】 (1) 二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．
(2) 不是应该分a<0，0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0，2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．
●总结归纳
(1) 要注意函数思想在求函数值域中的运用，求函数最值常借助函数单调性．含有参数的最值问题，需要分类讨论参数在不同范围内时函数单调性的变化，进而判断最值的位置；
(2) 不等式恒成立问题可以转化为求函数最值问题．
●题组练透
1. 函数y＝2x＋的值域是____________．
答案：[－2，＋∞)
解析：x≥－1，y是x的增函数，当x＝－1时，ymin＝－2.
2. 函数f(x)＝(x∈[3，6])的值域为____________．
答案：[1，4]
解析：区间[3，6]是函数f(x)＝的递减区间，把3，6分别代入得最大、最小值．
3. 已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值．
解：由f(x)＝＝a＋.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，∴ f(x)max＝f(1)＝，f(x)min＝f(4)＝；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，∴ f(x)max＝f(4)＝，f(x)min＝f(1)＝.
4. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．
(1) 求a，b的值；
(2) 若h(x)＝2f(x＋1)＋x|x－m|＋2m，求h(x)的最小值．
解：(1) 显然a≠0，∵ f(1)＝0，∴ a＋b＋1＝0.
又f(x)的值域为[0，＋∞)，∴ Δ＝b2－4a＝0.
由解得
(2) 由(1)知f(x)＝x2－2x＋1，h(x)＝2x2＋x|x－m|＋2m，即h(x)＝
① 若m≥0，则h(x)min＝min，即h(x)min＝min.
又2m2＋2m－＝≥0，∴ m≥0时h(x)min＝－＋2m；
② 若m＜0，则h(x)min＝min，即h(x)min＝min.
又2m－－(2m2＋2m)＝－m2＜0，∴ m＜0时h(x)min＝2m－.
综上所述，h(x)min＝
, 4 函数的单调性的综合应用)
, 4) 已知函数f(x)＝2x－，x∈(0，1]．
(1) 当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2) 若函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
解：(1) 当a＝－1时，f(x)＝2x＋，
因为00恒成立，
所以2x1x2＋a<0，即a<－2x1x2在x∈(0，1]上恒成立，
所以a<－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)．
(解法2)由f(x)＝2x－，知f′(x)＝2＋，
因为函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，
所以f′(x)＝2＋<0在x∈(0，1]上恒成立，
即a<－2x2在x∈(0，1]上恒成立，
所以a<－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)．
变式训练
函数f(x)＝(a为常数)在(－2，2)内为增函数，求实数a的取值范围．
解：在区间(－2，2)内任取x1，x2，使－2＜x1＜x2＜2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵ f(x1)＜f(x2)，
∴ (2a－1)(x1－x2)＜0.
而x1＜x2，∴ 2a－1＞0，即a＞.
已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1，如果对于0f(y)．
(1) 求f(1)；
(2) 解不等式：f(－x)＋f(3－x)≥－2.
解：(1) 令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，故f(1)＝0.
(2) ∵ f(－x)＋f(3－x)≥－2f，
∴ f(－x)＋f＋f(3－x)＋f≥0＝f(1)，
得f＋f≥f(1)，f≥f(1)，
则解得－1≤x＜0.
1. (2016·徐州期中)已知函数f(x)＝(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是____________．
答案：(－∞，0)∪(1，3]
解析：当a＞1时，由题意知10时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1，2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是00时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．
所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．
4. 若函数f(x)＝x2＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a的取值范围是________．
答案：a≥0
解析：因为f(x)＝x2＋|x－a|＋b＝
由图象知，若函数f(x)＝x2＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则应有a≥0.
5. 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，f(2)＝1，且 f(xy)＝f(x)＋f(y)，求满足不等式f(x)＋f(x－3)≤2的x的取值范围．
解：由题意可知f(x)＋f(x－3)＝f(x2－3x)，
又 2＝2f(2)＝f(2)＋f(2)＝f(4)，
于是不等式 f(x)＋f(x－3)≤2可化为 f(x2－3x)≤f(4)，
因为函数在(0，＋∞)上为增函数，所以不等式可转化为解得3f(2x)的x的范围是__________．
答案：(－1，－1)
解析：x∈(－1，－1)．
2. 若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
答案：
解析：设x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝>0，则2a－1>0，故a＞.
3. 设00时，00；
(3) 求证：f(x)在R上是减函数；
(4) 若f(x)·f(x－x2)>1，求x的范围．
(1) 证明：取m＝0，n＝，则f＝ff(0)．
因为f>0，所以f(0)＝1.
(2) 证明：设x<0则－x>0，由条件可知f(－x)>0，又1＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)>0，所以f(x)>0，所以x∈R时，恒有f(x)>0.
(3) 证明：设x10，所以f(x2－x1)<1，即1－f(x2－x1)>0.
因为f(x1)>0，所以f(x1)[1－f(x2－x1)]>0.
所以f(x1)－f(x2)>0，即该函数在R上是减函数．
(4) 解：因为f(x)·f(x－x2)>1，所以f(x)·f(x－x2)＝f(2x－x2)>f(0)，所以2x－x2<0，所以x的范围为x>2或x<0.
1. 求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是定义域的子集，常用方法有：定义法、图象法、导数法、复合函数法等．
2. 函数单调性的应用
(1) 比较函数值的大小；
(2) 解不等式；
(3) 求函数的值域或最值等．
注意利用定义都是充要性命题，即若函数f(x)在区间D上递增(减)且f(x1)x2)(x1、x2∈D)．
请使用课时训练(B)第3课时(见活页)．
第4课时 函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)17～18页)
① 函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等.② 能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题．
① 了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.② 掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.③ 了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题．
1. (必修1P43练习7改编)函数f(x)＝|x|(|x－1|－|x＋1|)的奇偶性是____________．
答案：奇函数
解析：f(－x)＝|x|(|－x－1|－|－x＋1|)＝|x|(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴ f(x)为奇函数．
2. (必修1P43练习5改编)若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则f，f(－1)，f(2)的大小顺序是__________．
答案：f(2)时，f(x)min＝f＝a＋， 当a≤时，f(x)min＝f(a)＝a2＋1；当x≥a时，f(x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋， 当a>－时，f(x)min＝f(a)＝a2＋1, 当a≤－时，f(x)min＝f＝－a＋.
变式训练
(1) 已知函数f(x)＝是奇函数，求a＋b的值；
(2) 已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减．若f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围．
解：(1) 当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx.
从而a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0.
(2) 由f(x)的定义域是[－2，2]，
知解得－1≤m≤.
因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m2)，即f(1－m)m2－1，解得－20)，在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
答案：－8
解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．
因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，
所以函数是以8为周期的周期函数．又f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4.不妨设x10，则f(119)＝________．
答案：1
解析：由f(x＋2)·f(x)＝1得f(x＋2)＝，从而得f(x＋4)＝f(x)，可见f(x)是以4为周期的函数，从而f(119)＝f(4×29＋3)＝f(3)．由已知等式得f(3)＝，又由f(x)是R上的偶函数得f(1)＝f(－1)，在已知等式中令x＝－1得f(1)·f(－1)＝1，即f(1)＝1，所以f(119)＝1.
, 4. 不能利用奇偶性转化关系式)
典例 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，求不等式f(x－3)＋f(x2－3)<0的解集．
易错分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，利用奇函数的性质将关系式f( )＋f( )<0转化为 f( )3－x2，即x2＋x－6>0，解得x>2或x<－3.
综上得23时，f(x)>0.因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以当－30；当x<－3时，f(x)<0，可见xf(x)<0的解集是{x|－34
解析：要使原式有意义，需满足解得2≤a<4或a>4.
2. (必修1P63习题2改编)三个数，，从小到大的排列顺序是__________．
答案：<<
解析：＝2，＝2，＝2，所以<<.
3. (必修1P76练习5改编)lg22＋lg 2lg 5＋lg 5＝__________．
答案：1
解析：由lg 2＋lg 5＝lg 10＝1化简lg22＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5＝1.
4. (必修1P70习题7改编)方程4x－2x＋1－3＝0的解是__________．
答案：log23
解析：原方程可化为(2x)2－2·2x－3＝0，解得2x＝3，或2x＝－1(舍去)，∴ x＝log23.
5. (必修1P80习题7改编)已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是__________．
答案：a－2
解析：log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
1. 根式
(1) 根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根
n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数
0的n次实数方根是0
当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数
±
负数没有偶次方根
(2) 两个重要公式
① ＝
② ()n＝a(注意a必须使有意义)．
2. 有理指数幂
(1) 分数指数幂的表示
① 正数的正分数指数幂是a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；
② 正数的负分数指数幂是a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；
③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．
(2) 有理指数幂的运算性质
① asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；
② (as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；
③ (ab)t＝atbt(a>0，b＞0，t∈Q)．
3. 对数的概念
(1) 对数的定义
如果ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2) 几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
logaN
常用对数
底数为10
lg_N
自然对数
底数为e
ln_N
4. 对数的性质与运算法则
(1) 对数的性质
① alogaN＝N；② logaaN＝N(a>0且a≠1)．
(2) 对数的重要公式
① 换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
② logab＝.
(3) 对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
① loga(MN)＝logaM＋logaN；
② loga＝logaM－logaN；
③ logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④ logamMn＝logaM.[备课札记]
1 指数幂的运算
, 1) 化简、求值：
(1) 1.5－×0＋80.25×＋(×)6－；
(2) (a>0)．
解：(1) 原式＝×1＋2×2＋－＝2＋4×27＝110.
(2) ＝＝a3－－＝a.
变式训练
已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，则＝__________．
答案：
解析：∵ a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴
＝＝＝，
∵ a>b>0，∴ >，∴ ＝＝.
(1) (0.027)－－＋－(－1)0；
(2) a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
解：(1) 原式＝－(－1)－2＋－1＝－49＋－1＝－45. (2) －.
, 2 对数的运算)
, 2) 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log ＝____________．
答案：4
解析：由已知得lg(xy)＝lg(x－2y)2，从而有xy＝(x－2y)2，整理得x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，∴ x＝y或x＝4y.
但由x>0，y>0，x－2y>0，得x>2y>0.
∴ x＝y应舍去，故＝4.∴ log＝log4＝4.
变式训练
已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，则a的值为__________．
答案：－
解析：原函数式可化成f(x)＝lg a－＋4lg a．由已知，f(x)有最大值3，所以lg a<0，并且－＋4lg a＝3，整理得4(lg a)2－3lg a－1＝0，解得lg a＝1，或lg a＝－.又lg a<0，∴ lg a＝－，∴ a＝10－.
计算：|1＋lg 0.001|＋＋lg 6－lg 0.02＝________．
答案：6
解析：原式＝|1－3|＋|lg 3－2|＋lg 300＝2＋2－lg 3＋lg 3＋2＝6.
, 3 指数与对数的混合运算)
, 3) 已知实数x，y，z满足3x＝4y＝6z＞1.
(1) 求证：＋＝；
(2) 试比较3x，4y，6z的大小．
(1) 证明：令k ＝3x＝4y＝6z＞1，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
于是＝logk3，＝logk4，＝logk6，从而＋＝2logk3＋logk4＝logk32＋logk4＝logk36＝2logk6，等式成立．
(2) 解：由于k＞1，故x，y，z＞0.
＝＝＝＝＝＜1；
＝＝＝＝＝＜1，
故3x＜4y＜6z.
变式训练
已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则x，y，z的大小关系是____________．
答案：y1，y＝log52＝<，z＝e－＝，<<1，所以y1，log25>log24>2>，所以log25最大．
4. 设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝________．
答案：9
解析：由已知得f(－2)＝1＋log24＝3，又log212＞1，所以f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.
5. 已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1 (m 为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为____________．
答案：c＜a＜b
解析：因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，所以m＝0，即f(x)＝2|x|－1，所以a＝f(log0.53)＝f＝2log2－1＝2log23－1＝3－1＝2，b＝f＝2log25－1＝4，c＝f(2m)＝f(0)＝20－1＝0.
1. 若函数f(x)＝则f(log43)＝________．
答案：3
解析：∵ 01，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于________．
答案：－2
解析：∵ a>1，b<0，∴ 01.又(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴ a2b＋a－2b＝6，∴ (ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ ab－a－b＝－2.
3. 已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．
答案：2
解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2.
4. 已知m，n为正整数，a＞0且a≠1，且logam＋loga＋loga＋…＋loga＝logam＋logan，求m，n的值．
解：左边＝logam＋loga＋loga＋…＋loga＝loga
＝loga(m＋n)，
∴ 已知等式可化为loga(m＋n)＝logam＋logan＝logamn.
比较真数得m＋n＝mn，即(m－1)(n－1)＝1.
∵ m，n为正整数，∴ 解得
1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．
2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，
在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形．
3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．
请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．
[备课札记]
第6课时 指数函数(对应学生用书(文)、(理)21～22页)
高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质，以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．
① 了解指数函数模型的实际背景.② 理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.③ 知道指数函数是一类重要的函数模型．
1. (必修1P110复习9改编)函数y＝ax－3＋3恒过定点________．
答案：(3，4)
解析：当x＝3时，y＝a3－3＋3＝4，所以y＝ax－3＋3恒过定点(3，4)．
2. (必修1P110复习3改编)函数y＝的定义域是________．
答案：
解析：因为8－16x≥0，所以24x≤23，即4x≤3，定义域是.
3. (必修1P67练习3)函数f(x)＝(a2－1)x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．
答案：(－，－1)∪(1，)
解析：由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a|＜，即－＜a＜－1或1＜a＜.
4. (必修1P70习题5改编)函数y＝ax在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a＝__________．
答案：2
解析：当01.当x＝0时，ymin＝a0＝1；当x＝1时，ymax＝a1＝a.∵ 1＋a＝3，∴ a＝2.
5. (必修1P70习题8改编)设23－2x<0.53x2－4，则实数x的取值范围是__________．
答案：－0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R．
2. 指数函数的图象与性质
a>1
0f(c)，求证：2a＋2c<4.
(1) 解：f(x)＝其图象如图所示．
(2) 证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，所以2a＋2c<4.
综上，2a＋2c<4.
变式训练
已知函数y＝.
(1) 作出函数的图象(简图)；
(2) 由图象指出其单调区间；
(3) 由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．
解：(1) (解法1)由函数解析式可得
y＝＝
其图象由两部分组成：
一部分是y＝(x≥0)
y＝(x≥－1)；
另一部分是y＝3x(x<0)y＝3x＋1(x<－1)．
如图所示．
(解法2)① 由y＝可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝的图象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y＝(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y＝的图象；② 将y＝向左移动1个单位，即可得y＝的图象，如图所示．
(2) 由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．
(3) 由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．
画出函数y＝的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程＝k无解？有一个解？有两个解？
解：.
由图知，当k<0时，方程无解；当k＝0或k≥1时，方程有一个解；当00且a≠1)．
(1) 判断f(x)的奇偶性；
(2) 讨论f(x)的单调性；
(3) 当x∈[－1，1]时f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
【思维导图】 根据题中ax特征确定分类讨论→分a>1、01时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数；
当00，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
(3) 由(2)知f(x)在R上是增函数，
所以f(x)在区间[－1，1]上为增函数，所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，
所以f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1.
所以要使f(x)≥b在[－1，1]上恒成立，则只需b≤－1，
故b的取值范围是(－∞，－1]．
【精要点评】 本例第(2)(3)问是难点，讨论f(x)的单调性对参数a如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．在(2)中，函数的单调性既与ax－a－x有关，还与的符号有关，若没考虑的符号就会出错．
●总结归纳
讨论含参函数的单调性需要对参数进行分类，分类的标准和依据要根据函数类型的特征灵活把握．分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，给出一个总结性的表达，在表达时需要呈现参数相应的范围．
●题组练透
1. 若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a的值为__________．
答案：
解析：当a>1时，f(2)＝2，∴ a2－1＝2，a＝，经验证符合题意；当00且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a＝__________．
答案：3或
解析：设t＝ax，则y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
(1) 当a>1时，t∈[a－1，a]，∴ ymax＝f(a)＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，满足 a>1；
(2) 当00且a≠1)．
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 讨论函数f(x)的奇偶性；
(3) 求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
解：(1) 由于ax－1≠0，则ax≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2) 对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(3) ① 当a>1时，对x>0，ax>1，即ax－1>0，所以＋>0；又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．
② 当00时，00，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．
综上可知，所求a的取值范围是a>1.
1. (2016·苏州期中)定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝__________．
答案：－2
解析：由函数f(x)在R上是奇函数，则f(0)＝0，又x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(3)＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.
2. 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x＋2，则不等式f(x)－x2≥0的解集为________．
答案：[－1，1]
解析：当x≥0时，f(x)＝－x＋2，则不等式f(x)－x2≥0，∴ －x＋2－x2≥0，解得0≤x≤1.令x＜0，则－x＞0，∴ f(－x)＝－(－x)＋2.∵ f(－x)＝f(x)，∴ f(x)＝x＋2(x＜0)．当x＜0时，f(x)－x2≥0，∴ x＋2－x2≥0，解得－1≤x＜0.∴ 不等式f(x)－x2≥0的解集为－1≤x≤1.
3. (2016·南京二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是__________．
答案：[－1，3]
解析：当x≥0时，f(x)＝2x－2，f(x)为偶函数，所以当x＜0时，f(x)＝2－x－2.不等式f(x)≤2得－2≤x≤2，则不等式f(x－1)≤2得－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3.
4. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x>0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为________．
答案：2－2
解析：0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，当1≤x≤2时，f(x)＝f(x－1)＋f(1)＝(x－1)2＋1.
∵ f(x)是定义在R上的奇函数，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，
∴ x＞0时，两个函数的图象只有2个交点，如图．
设切点为(a，f(a))，f′(x)＝2x－2，则
＝2a－2，解得a＝，∴ k＝2－2.此时有两个交点，x＜0时，也有两个交点，x＝0也是交点，∴ k＝2－2时有5个交点．
5. (2016·南京、盐城期末)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，设g(x)＝若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是__________．
答案：
解析：f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，由f(0)＝0，得m＝－1，作出y＝g(x)的图象，再作直线y＝t，可以发现当t∈时，y＝g(x)的图象与直线y＝t有且只有一个交点，即函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，所以实数t的取值范围是.
1. 已知函数f(x)＝a－是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．
答案：∪
解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a＝－，所以f(x)＝－－，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x∈[1，＋∞)时，f(x)∈.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是∪.
2. 已知f(x)＝(ex－1)2＋(e－x－1)2，则f(x)的最小值为________．
答案：－2
解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(ex＋e－x)2－2(ex＋e－x)－2，令t＝ex＋e－x，则g(t)＝t2－2t－2＝(t－1)2－3，t∈ [2，＋∞)，所以，最小值为－2.
3. 若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则f(3)，g(0)，f(2)的大小关系为________．
答案：g(0)0知f(x)>g(x)，因此f(0)>g(0)，所以g(0)0，∴ m≥－(22t＋1)．
∵ t∈[1，2]，∴ －(1＋22t)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．
1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是高考必考内容．本部分知识在高考中主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．
2. 将指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象进行平移、翻折，可作出y－y0＝f(x－x0)，y＝|f(x)|，y＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．
3. 对可转化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]
第7课时 对数函数 (对应学生用书(文)、(理)24～25页)
对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现，目的是结合其他章节的知识，综合进行考查．
① 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.② 知道对数函数是一类重要的函数模型.
1. 函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是________．
答案：(1，0)
解析：当x＝1时y＝0.故定点A的坐标为(1，0)．
2. (必修1P85练习2改编)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是__________．
答案：(－1，1)∪(1，＋∞)
解析：要使函数有意义，则有即函数的定义域为 (－1，1)∪(1，＋∞)．
3. (必修1P111习题15改编)函数f(x)＝ln是________(选填“奇”或“偶”)函数．
答案：奇
解析：因为f(－x)＝ln ＝ln＝－ln ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
4. (必修1P87习题3改编)已知a＝log20.3，b＝20.1，c＝0.21.3，则a，b，c的大小关系是____________．
答案：a1，c＝0.21.3<1.
5. (必修1P87习题13改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为__________．
答案：(0，＋∞)
解析：3x>03x＋1>1log2(3x＋1)>log21＝0.
1. 对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2. 对数函数的图象与性质
a>1
0＋m恒成立，求实数m的取值范围．
(1) 解：f(x)为奇函数，
∴ f(－x)＋f(x)＝0恒成立，
∴ log＋log＝log＝0恒成立，
∴ ＝1，
∴ a2＝1，∴ a＝±1，经检验a＝1不合题意，
∴ a＝－1.
(2) 证明：由(1)知，f(x)＝log，
设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝log－log＝log.
∵ (1＋x1)(x2－1)－(x1－1)(1＋x2)＝x2＋x1x2－1－x1－x1＋1－x1x2＋x2＝2(x2－x1)＜0，
且(1＋x1)(x2－1)>0，(x1－1)(1＋x2)>0，
∴ ＜1，∴ f(x1)－f(x2)>0，
∴ f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
(3) 解：由(2)知函数h(x)＝f(x)－在[3，4]上单调递增，∴ h(x)的最小值为h(3)＝f(3)－＝－，∴ 使f(x)>＋m恒成立的m的取值范围是m<－.
变式训练
(1) 设loga＜1，则实数a的取值范围是________；
(2) 已知函数f(x)＝lg(x2＋a)的值域为R，则实数a的取值范围是________；
(3) 若函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a的取值范围是________．
答案：(1) 0＜a＜或a＞1 (2) a≤0 (3) [1，2)
解析：(1) 分a＞1与0＜a＜1两种情形进行讨论．
(2) 值域为R等价于x2＋a可以取一切正实数．
(3) 令g(x)＝x2－2ax＋3，则解得1≤a<2.
已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为________．
答案：
解析：因为2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)．而3＋log23>4，所以f(3＋log23)＝＝×＝×＝.
, 2 对数函数的图象)
, 2) 作出函数y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．
解：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．
由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．
变式训练
已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是____________．
答案：(10，12)
解析：作出f(x)的大致图象．
由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围是________．
答案： ≤a<
解析：不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解集为{2，3，4}，
则应满足解得 ≤a<.
, 3 对数函数的综合应用)
, 3) 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1) 求k的值；
(2) 设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
解：(1) 由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，
∴ log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.
log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，
∴ k＝－.
(2) 函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．
①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意；若a＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.
综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．
变式训练
已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小．
解：易知f(x)，g(x)的定义域均为(0，1)∪(1，＋∞)，
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx.
(1) 当x>1时，若>1，则x>，
这时f(x)>g(x)；
若<1，则10，
这时f(x)>g(x)．
故由(1)(2)可知，当x∈(0，1)∪时，f(x)>g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当x∈时，f(x)k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1) h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．
故函数h(x)的值域为[0，2]．
(2) 由f(x2)·f()>k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
① 当t＝0时，k∈R；
② 当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15恒成立，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．
1. (2016·南通二模)函数f(x)＝的定义域为__________．
答案：(1，]
解析：由≥2，即02，解得04，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．
3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)＜0的解集是____________．
答案：(－2，0)∪(2，＋∞)
解析：由x＞0时，f(x)＝1－log2x，则作出图象，再由f(x)是定义在R上的奇函数，利用对称性作出x＜0的图象，由图象可得不等式f(x)＜0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞)．
4. (2016·南通一模)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是__________．
答案：
解析：函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1，b∈R)的图象过(－3，0)，(0，－2)，代入解析式得解得a＝，b＝4，则a＋b＝.
5. (2016·苏锡常镇一模)已知函数f(x)＝若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f(x1)＝f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是__________．
答案：
解析：函数f(x)的图象如图所示，因为存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤6，f(x1)＝f(x2)，所以1≤x1≤3，故x1f(x2)＝x1f(x1)＝－x＋4x.令g(x1)＝－x＋4x，x1∈[1，3]，则g′(x1)＝－3x＋8x1.由g′(x1)>0得x1∈，由g′(x1)<0得x1∈，所以g(x1)min＝g(1)＝3，g(x1)max＝g＝.所以x1f(x2)的取值范围是.
, 5. 忽视对数的意义致误)
典例 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1) 当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2) 是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
易错分析：对数的底数和真数都有明确的范围要求，要保证对数有意义，本题易忽视该点从而导致错误结果．
解：(1) ∵ a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
∴ 3－2a>0.∴ a<.
又a>0且a≠1，∴ a∈(0，1)∪.
(2) t(x)＝3－ax，∵ a>0，∴ 函数t(x)为减函数．
∵ f(x)在区间[1，2]上为减函数，
∴ y＝logat为增函数，
∴ a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴ 即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
特别提醒：
解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质．
(1) 要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2) 确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3) 如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
1. 若不等式(x－1)21时，如图，
要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，所以15 时，f(x)∈[0，1]，log5x>1, y＝f(x)与 y＝log5x 的图象不再有交点．
4. 已知 y＝loga(2－ax)在[0，1]上是关于 x 的减函数，则 a的取值范围是________．
答案：(1，2)
解析：∵ y＝loga(2－ax)是由 y＝logau，u＝2－ax 复合而成，又 a＞0，∴ u＝2－ax 在[0，1]上是 x 的减函数．由复合函数关系知 y＝logau 应为增函数，∴ a＞1.由于 x 在[0，1]上时 y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax 又是减函数，∴ 只要当 x＝1 时，u＝2－ax 取最小值umin＝2－a>0即可，∴ a＜2.∴ a的取值范围是(1，2)．
与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤
(1) 确定定义域；
(2) 把复合函数分解为几个初等函数；
(3) 确定各个基本初等函数的单调区间；
(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性．
请使用课时训练(B)第7课时(见活页)．
第8课时 二次函数与幂函数(对应学生用书(文)、(理)26～27页)
① 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题.
② 以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点.
③ 幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点．
① 掌握二次函数的概念、图象特征.
② 掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值.
③ 掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力.
④ 了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的图象，了解它们的变化情况．
1. 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(4，0)，且过点(0，2)，则abc＝__________．
答案：－
解析：∵ f(x)图象过点(0，2)，∴ c＝2.又顶点为(4，0)，∴ －＝4，＝0.解得b＝－1，a＝，∴ abc＝－.
2. 若f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是__________．
答案：(－∞，－2]
解析：∵ 对称轴为直线x＝，又开口向上，在(－∞，1]上是减函数，∴ ≥1，∴ a≤－2.
3. (必修1P89练习3改编)幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)的解析式是__________．
答案：f(x)＝
解析：设f(x)＝xα，图象过点(3，)，3α＝＝3，α＝.
4. (必修1P90习题3改编)若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则这个函数是f(x)＝__________．
答案：
解析：设f(x)＝xα，则α＝－1.
5. (必修1P90习题5改编)函数y＝x－2在区间上的最大值是____________．
答案：4
解析：y＝，函数在区间上递减，ymax＝y|x＝＝4.
1. 二次函数
(1) 二次函数的解析式的三种形式
① 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
② 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
③ 零点式(两根式)：若二次函数的图象与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2) 二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
[，＋∞)
单调性
在x∈(－∞，－]上单调递减；在x∈[－，＋∞)上单调递增
在x∈上单调递增；在x∈[－，＋∞)上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
2. 幂函数
(1) 定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2) 幂函数的图象比较
(3) 幂函数的性质比较
特征 函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，减
[备课札记]
, 1 二次函数)
, 1) 根据下列条件，求二次函数的解析式．
(1) 图象过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点；
(2) 图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)；
(3) 图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且过点.
解：(1) 设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由已知函数的图象经过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点，
得解得
∴ 函数的解析式为y＝－2x2＋3x＋1.
(2) 设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k，其顶点的坐标是(h，k)．
∵ 顶点的坐标是(－2，3)，∴ y＝a(x＋2)2＋3.
∵ 图象过点(－1，5)，∴ 5＝a(－1＋2)2＋3.
∴ a＝2，∴ y＝2(x＋2)2＋3，∴ y＝2x2＋8x＋11.
即函数的解析式为y＝2x2＋8x＋11.
(3) 设二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，
∵ 二次函数的图象交x轴于(－2，0)，(4，0)两点，
且过点，设y＝a(x＋2)(x－4)，
则有－＝a(1＋2)(1－4)，∴ a＝.
∴ 所求的函数解析式为y＝(x＋2)(x－4)，
即y＝x2－x－4.
变式训练
设f(x)＝x2＋ax＋3－a，且f(x)在区间[－2，2]上恒取非负数，求a的取值范围．
解：f(x)＝＋3－a－，f(x)≥0在x∈[－2，2]恒成立的充分条件是f(x)在x∈[－2，2]上的最小值非负．
① 当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2，2]上是增函数，最小值为f(－2)＝7－3a，由7－3a≥0，得a≤，这与a>4矛盾，此时a不存在．
② 当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)在[－2，2]上的最小值为f＝3－a－，3－a－≥0a2＋4a－12≤0，∴ －6≤a≤2.结合－4≤a≤4，可知此时－4≤a≤2.
③ 当－>2，即a<－4时，f(x)在[－2，2]上是减函数，最小值为f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，得a≥－7.因为a<－4，所以－7≤a<－4.
由①②③可知，a的取值范围是[－7，2]．
当x∈[0，1]时，求函数f(x)＝x2＋(2－6a)x＋3a2的最小值．
解：对称轴为直线x＝3a－1，
当3a－1<0，即a<时，[0，1]是f(x)的递增区间，f(x)min＝f(0)＝3a2；
当3a－1>1，即a>时，[0，1]是f(x)的递减区间，f(x)min＝f(1)＝3a2－6a＋3；
当0≤3a－1≤1，即≤a≤时，f(x)min＝f(3a－1)＝－6a2＋6a－1.
, 2 幂函数)
, 2) 已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点.
(1) 求f(x)，g(x)的解析式；
(2) 求当x为何值时：① f(x)>g(x)；② f(x)＝g(x)；③ f(x)1或x<－1时，f(x)>g(x)；
② 当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③ 当－1f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1) m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m与m＋1中必有一个为偶数，∴ m(m＋1)为偶数．
∴ 函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2) ∵ 函数f(x)经过点(2，)，
∴ ＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.
∴ m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
∵ m∈N*，∴ m＝1.
由f(2－a)>f(a－1)得解得1≤a<.
∴ a的取值范围是.
, 3 二次函数、幂函数的综合应用)
, 3) 已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0，1]内有一最大值－5，求实数a的值．
解：对称轴为直线x＝，当<0，即a<0时，[0，1]是f(x)的递减区间，则f(x)max＝f(0)＝－4a－a2＝－5，得a＝1或a＝－5，而a<0，故a＝－5；当>1，即a>2时，[0，1]是f(x)的递增区间，则f(x)max＝f(1)＝－4－a2＝－5，得a＝1或a＝－1，而a>2，故a不存在；当0≤≤1，即0≤a≤2时，则f(x)max＝f＝－4a＝－5，即a＝.综上，a＝－5 或 .
已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1，2]上的值域为？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．
解：(1) ∵ f(2)0，解得－10满足题设，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1，2]．
∵ g(2)＝－1，∴ 两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点处取得．
而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，
∴ g(x)max＝＝，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴ 存在q＝2满足题意．
1. 已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2，3)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
答案：a≤2或a≥3
解析：由于二次函数的开口向上，对称轴为直线x＝a，若其在区间(2，3)上是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2或a≥3.
2. 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0c>b
解析：∵ y＝x在x∈(0，＋∞)上单调递增，∴ >，即a>c.∵ y＝在x∈(－∞，＋∞)上单调递减，
∴ >，即c>b.∴ a>c>b.
5. 已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f(x＋t)≤x恒成立，则实数m的最大值是________．
答案：4
解析：依题意，应将函数f(x)向右平行移动得到f(x＋t)的图象，为了使得在[1，m]上，f(x＋t)的图象都在直线y＝x的下方，并且让m取得最大，则应取t＝－2，这时m取得最大值4.
1. 已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．
答案：(2－，2＋)
解析：易知，f(a)＝ea－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b－3>－1，解得2－
解析：f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1是由函数f(x)＝－x2＋(2a－1)x＋1变化得到，第一步保留y轴右侧的图象，再作关于y轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f(x)＝－x2＋(2a－1)x＋1的对称轴在y轴的右侧，使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间. 由>0，即a>.
3. 已知函数f(x)＝xα(0<α<1)，对于下列命题：① 若x>1，则f(x)>1；② 若00时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④ 若0，故④错误．
4. y＝xa2－4a－9是偶函数，且在(0，＋∞)是减函数，则整数a的值是___________．
答案：1，3，5或－1
解析：a2－4a－9应为负偶数，即a2－4a－9＝(a－2)2－13＝－2k(k∈N*)，(a－2)2＝13－2k.当k＝2时，a＝5或－1；当k＝6时，a＝3或1.
方法与技巧
1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：
(1) 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
(2) 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．
2. 幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
失误与防范
1. 对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
2. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
请使用课时训练(A)第8课时(见活页)．
[备课札记]
第9课时 函数的图象(对应学生用书(文)、(理)28～30页)
① 图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据，预测在今后的高考中还将加大对函数图象考查的力度.
② 主要考查形式有：知图选式、知式选图、图象变换以及自觉地运用图象解题，因此要注意识图读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用．
① 掌握基本函数图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题.② 掌握图象的作法：描点法和图象变换法．
1. (必修1P53复习14)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于________对称．
答案：y轴
2. (必修1P64练习6)函数y＝2－x的图象是________．(填序号)
答案：①
3. (必修1P85例3改编)为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2的图象向________平移3个单位．
答案：上
解析：g(x)＝log2＝log2x－3＝f(x)－3，因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)＝log2x的图象．
4. 函数y＝x|x|的图象大致是________．(填序号)
答案：①
解析：∵ y＝∴ ①正确．
5. 若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是____________．
答案：(0，＋∞)
解析：由题意a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝图象如图所示，
故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0.
1. 基本初等函数及其图象
(1) 一次函数y＝ax＋b(a≠0)
(2) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
(3) 反比例函数y＝(k≠0)
(4) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)
(5) 对数函数y＝logax(a>0，a≠1)
2. 图象变换
(1) 平移变换
原图象对应的函数
图象变换过程(a>0，b>0)
变换后图象对应的函数
y＝f(x)
向左平移a个单位
y＝f(x＋a)
y＝f(x)
向右平移a个单位
y＝f(x－a)
y＝f(x)
向上平移b个单位
y＝f(x)＋b
y＝f(x)
向下平移b个单位
y＝f(x)－b
(2) 对称变换
函数A
函数B
A与B图象间的对称关系
y＝f(x)
y＝f(－x)
关于y轴对称
y＝f(x)
y＝－f(x)
关于x轴对称
y＝f(x)
y＝－f(－x)
关于原点对称
(3) 翻折变换
原图象对应的函数
图象变换过程
变换后图象对应的函数
y＝f(x)
先把f(x)的图象中不位于x轴下方的部分保留，再将图象中位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方
y＝|f(x)|
y＝f(x)
先把f(x)的图象中不位于y轴左侧的部分保留，再将图象中位于y轴右侧的部分沿y轴翻折到_y轴左侧
y＝f(|x|)
(4) 伸缩变换
原图象对应
的函数
图象变换过程
变换后图象
对应的函数
y＝f(x)
将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标为原来的A倍，横坐标不变而得到
y＝Af(x)
y＝f(x)
将y＝f(x)图象上所有点的横坐标为原来的倍，纵坐标不变而得到
y＝f(ax)
[备课札记]
, 1 画函数图象)
, 1) 作出下列函数的图象．
(1) y＝2－2x；
(2) y＝|log(1－x)|；
(3) y＝.
解：(1)由函数y＝2x的图象关于x轴对称可得到y＝－2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y＝2－2x的图象．如图甲．
(2) 由y＝logx的图象关于y轴对称，可得y＝log(－x)的图象，再将图象向右平移1个单位，即得到y＝log(1－x)．然后把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y＝|log(1－x)|的图象．如图乙．
(3) y＝＝2－.先作出y＝－的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移1个单位，向上平移2个单位，即得到所求图象．如图丙所示的实线部分．
变式训练
作出下列函数的图象．
(1) y＝|x－x2|；
(2) y＝.
解：(1) y＝
即y＝
其图象如图所示．
(2) 作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象．
作出下列函数的图象．
(1) y＝2x＋1－1；
(2) y＝|log2(x＋1)|.
解：(1) y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图．
(2) 首先作出y＝log2x的图象C1，然后将C1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴的对称图象，即为所求图象C3：y＝|log2(x＋1)|.如图(实线部分)．
, 2 函数图象的变换)
, 2) (1) 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，请根据已知图象作出下列函数的图象：
①y＝f(x＋1)；②y＝f(x)＋2；
(2) 作出函数y＝2－x－3＋1的图象．
答案：(1)
解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到y＝f(x＋1)的图象(如图①所示)；将函数y＝f(x)的图象向上平移两个单位得到y＝f(x)＋2的图象(如图②所示)．
(2) 由于y＝＋1，只需将函数y＝的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y＝2－x－3＋1的图象，如图所示．
变式训练
定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1，0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，的取值范围是____________．
答案：
解析：因函数y＝f(x－1)的图象关于(1，0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于(0，0)对称，所以y＝f(x)是奇函数．又y＝f(x)是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，图象的对称轴为直线x＝1，
当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，
当t≥1时，有s≥t≥1，所以≤≤1；
当t<1时，即s－1≥1－t，即s＋t≥2，
问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t<1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.为可行域内的点到原点连线的
斜率，易知－≤<1.
综上，的取值范围是.
若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为________．(填序号)
答案：③
解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确．
, 3 函数图象的综合应用)
●典型示例
, 3) 已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【思维导图】 作函数y＝的图象→利用函数y＝kx－2图象过(0，－2)运动→观察与y＝图象的两个交点→确定k的范围
【规范解答】 解析：根据绝对值的意义，y＝＝
在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．
根据图象可知，
当04x>1，∴ 0loga1x0，
∴ 要使当00，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内．
3. 根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
答案：(1，2)
解析：设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1，2)．
4. 函数y＝的定义域为____________．
答案：
解析：由得0≤x＜.
5. (必修1P97习题8改编)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(k，k＋1)，则k＝________．
答案：0
解析：∵ f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)·f(1)<0，∴ 由零点定理知，该函数零点在区间(0，1)内，即k＝0.
1. 函数零点的定义
(1) 方程f(x)＝0的实数根又叫y＝f(x)的零点．
(2) 方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)＝0有零点．
2. 函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间上有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是函数f(x)＝0的零点．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
3. 与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点个数
两个交点
一个交点
无交点
零点个数
2
1
0
4. 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；
第二步，求区间(a，b)的中点x1；
第三步，计算f(x1)；
① 若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
② 若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))；
③ 若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))；
第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步.
, 1 函数的零点的判定)
, 1) (1) 函数f(x)＝2x＋3x的零点个数为__________；
(2) 若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是__________．
答案：(1) 1 (2) (1，＋∞)
解析：(1) 因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，所以f(x)在区间(－1，0)上存在零点．又f(x)在R上单调递增，所以f(x)只有1个零点．
(2) 当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不合题意；当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1；若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不合题意．所以a∈(1，＋∞)．
变式训练
(1) 指出方程x3－2x－1＝0的正根所在的大致区间；
(2) 求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0，1)内，还有一个在区间(1，2)内．
(1) 解：方程x3－2x－1＝0，即x3＝2x＋1，令F(x)＝x3－2x－1，f(x)＝x3，g
(x)＝2x＋1.在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)和g(x)的图象如图，显然它们在第一象限只有1个交点，两函数图象交点的横坐标就是方程的解．
∵ F(1)＝－2<0，F(2)＝3>0，
∴ 方程的正根在区间(1，2)内．
(2) 证明：令G(x)＝x3－3x＋1，它的图象是连续的．
又G(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，
G(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，
∴ 方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．
同理可以验证G(0)·G(1)＝1×(－1)＝－1<0，
G(1)·G(2)＝(－1)×3＝－3<0，
∴ 方程的另两根分别在(0，1)和(1，2)内．
(1) 求数f(x)＝x－的零点的个数；
(2) 已知函数f(x)＝求数y＝f(f(x))＋1的零点的个数．
解：(1) 在同一平面直角坐标系内作出y1＝x与y2＝的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x－只有1个零点．
(2) 由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，又由f(－2)＝f＝－1，可得f(x)＝－2或f(x)＝.若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；若f(x)＝，则x＝－或x＝.综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．
, 2 函数零点的运用)
, 2) 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．
解：(1) 由条件可知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如下图所示．
由此可得不等式组
即－时，
即
解得a≥1，∴ a的取值范围是[1，＋∞)., 3 函数与方程思想的综合应用)
●典型示例
, 3) 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1) 若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
(2) 确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
【思维导图】 (1) 作y＝g(x)的图象→移动y＝m的图象并判断→有交点即y＝g(x)－m有零点；
(2) g(x)－f(x)＝0有两个相异实根→y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点→作它们的图象→观察并求解．
【规范解答】 解：(1) (解法1)∵ g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．
(解法2)作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图．
可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.
(2) g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图．
∵ f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
∴ 其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴ m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
【精要点评】
1. 求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．
2. 本题的易错点是确定g(x)的最小值和f(x)的最大值时易错，要注意函数最值的求法．
●总结归纳
1. 研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
2. 转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
3. 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
●题组练透
1. 方程2x＝2－x的解的个数为__________．
答案：1
解析：分别作出函数y＝2x与y＝2－x的图象如图所示，易得两图象只有一个交点，即原方程只有一个解．
2. 若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是____________．
答案：(1，＋∞)
解析：令y1＝ax，y2＝x＋a，则f(x)＝ax－x－a有两个零点，即函数y1＝ax与y2＝x＋a有两个交点．
(1) 当a>1时，如图1，y1＝ax过(0，1)点，而y2＝x＋a过(0，a)点，而(0，a)点在(0，1)点上方，∴ 一定有两个交点．
(2) 当00)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0 (*)，
原方程有实根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
① 若方程(*)有两个正实根t1，t2，
则解得－10)，则a＝－＝－＝2－，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
1. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
答案：(1，2]
解析：函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，即为f(x)＝2x恰有三个不同的零点，就是函数f(x)＝与y＝2x的图象恰有三个不同的交点．由图象可知实数m的取值范围为(1，2]．
2. 已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点的个数为________．
答案：2
解析：当x＜0时，f(2－x)＝x2，此时函数f(x)－g(x)＝－1＋x＋x2的零点为x＝－；当0≤x≤2时，f(2－x)＝2－|2－x|＝x，函数f(x)－g(x)＝2－x－(3－x)＝－1无零点；当x＞2时，f(2－x)＝2－|2－x|＝4－x，函数f(x)－g(x)＝(x－2)2－3＋(4－x)＝x2－5x＋5有一个零点为x＝，故共有2个零点．
3. 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是________．
答案：a<－2
解析：显然a＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a≠0时，由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，又f(0)＝1，所以函数f(x)存在小于0的零点，不符合题意；当a<0时，函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，所以只需f>0，解得a<－2.
4. 已知f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：问题等价于方程x3＝b(x≤a)与方程x2＝b(x＞a)的根的个数和为2，若两个方程各有一个根，则可知关于b的不等式组有解，从而a＞1；若方程x3＝b(x≤a)无解，方程x2＝b(x＞a)有2个根，则可知关于b的不等式组有解，从而a＜0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
5. 已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
答案：4
解析：由题意得，求函数y＝f(x)与y＝1－g(x)交点个数以及函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)交点个数之和，因为y＝1－g(x)＝所以函数y＝f(x)与y＝1－g
(x)有两个交点．又y＝－1－g(x)＝所以函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)有两个交点．因此共有4个 交点．
1. 已知a，b，c依次是方程2x＋x＝0，log2x＝2－x和logx＝x的实数根，则a，b，c的大小关系是________．
答案： a0和k<0作出函数f(x)的图象．当01或k<0时，没有交点．故当00且a≠1)；
(6) (ex)′＝ex；
(7) (logax)′＝logae＝__(a>0，且a≠1)；
(8) (ln x)′＝.
6. 导数的四则运算法则
若u(x)，v(x)的导数都存在，则
(1) (u±v)′＝u′±v′；
(2) (uv)′＝u′v＋uv′；
(3) ′＝；
(4) (mu)′＝mu′ (m为常数)．
[备课札记]
, 1 平均变化率与瞬时变化率)
, 1) 一质点运动的方程为s＝8－3t2.
(1) 求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2) 求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．
解：(1) ∵ s＝8－3t2，
∴ Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，＝＝－6－3Δt.
(2) (解法1：定义法)质点在t＝1时的瞬时速度v＝ ＝ (－6－3Δt)＝－6.
(解法2：导数公式法)质点在t时刻的瞬时速度v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.
当t＝1时，v＝－6×1＝－6.
变式训练
某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(取g＝10 m/s2)，求当t＝2 s时，它的加速度是多少？
解：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
利用导数的定义求函数的导数：
(1) f(x)＝在x＝1处的导数；
(2) f(x)＝.
解：(1) ＝＝
＝＝
＝＝，
从而，当Δx→0时，→－，∴ f′(1)＝－.
(2) ＝＝
＝＝，
从而，当Δx→0时，→－，
∴ f′(x)＝－.
, 2 利用导数公式、求导法则求导)
, 2) 求下列函数的导数．
(1) y＝＋x3；
(2) y＝exln x；
(3) y＝tan x；
(4) y＝x.
解：(1) y′＝－x－＋3x2；(2) y′＝ex；
(3) y′＝；(4) y′＝3x2－.
变式训练
求下列函数的导数．
(1) y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(2) y＝；
(3) y＝＋；
(4) y＝x－sin cos ；
解：(1) y′＝18x2－8x＋9；(2) y′＝；(3) y′＝；(4) y′＝1－cos x.
求下列函数的导数：
(1) y＝x2sin x；
(2) y＝3xex－2x＋e；
(3) y＝.
解：(1) y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2) y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2.
(3) y′＝
＝＝.
, 3 利用导数几何意义解题)
●典型示例
, 3) 设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．
(1) 求a，b之间的关系；
(2) 求ab的最大值．
【思维导图】 设C1与C2的交点为(x0，y0)→两切线的斜率互为负倒数→交点(x0，y0)适合解析式→注意隐含条件方程同解
【规范解答】 解：(1) 对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，
设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直．
∴ (2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0 ①.
又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x－(a＋2)x0＋2－b＝0 ②.
由①②消去x0，可得a＋b＝.
(2) 由(1)知b＝－a，∴ ab＝a＝－＋.
∴ 当a＝时，(ab)最大值＝.
【精要点评】 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P(x0，y0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程．
●总结归纳
1. 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
2. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
●题组练透
1. 已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__________．
答案：2
解析：设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，又y′|x＝x0＝＝1，解得x0＝－1，y0＝0，a＝2.
2. 设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__________．
答案：(1，1)
解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，曲线y＝ (x>0)在点P处的切线斜率k2＝－ (m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．
3. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是____________．
答案：－3
解析：y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.
4. 已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1) 求P0的坐标；
(2) 若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1) 由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
∵ 点P0在第三象限，∴ 切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2) ∵ 直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴ 直线l的斜率为－.
∵ l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴ 直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
1. (2016·苏州期中)已知函数f(x)＝ax＋(a，b∈R，b＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，且函数f(x)在区间上单调递增，则b的最大值等于__________．
答案：
解析：函数f(x)＝ax＋(a，b∈R，b＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2，f′(1)＝2，得a－b＝2，由函数f(x)在区间上单调递增，即f′(x)≥0在区间上恒成立，得≥b，又a＝2＋b，则b≤.
2. 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．
答案：8
解析：由y′＝1＋可得曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x－1，与y＝ax2＋(a＋2)x＋1联立得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0a＝8.
3. 在平面直角坐标系xOy中，记曲线y＝2x－(m∈R，m≠－2)在x＝1处的切线为直线l.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则m的值为________．
答案：－3或－4
解析：y＝2x－(m∈R，m≠－2)在x＝1处的切线斜率为m＋2，切点为(1，2－m), 切线方程为(m＋2)x－y－2m＝0，在两坐标轴上的截距之和为－2m＝12，化简得m2＋7m＋12＝0，m的值为－3或－4.
4. (2016·南通期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x＞0)和y＝x3(x＞0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值为__________．
答案：
解析：设直线l的斜率为k，则k＝2x1＝3x＝，解得x1＝，x2＝，则＝.
5. (2016·无锡期末)过曲线y＝x－(x＞0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点．若△OAB的面积为，则x0＝__________．
答案：
解析：P(x0，y0)处的切线斜率为1＋，则切线方程为y－＝(x－x0)，当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＝.
S△OAB＝××＝，则x0＝.
1. 设曲线y＝(ax－1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y＝在点B(x0，y2)处的切线为l2.若存在x0∈，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：由y＝(ax－1)ex，y′＝(ax＋a－1)ex，所以曲线y＝(ax－1)ex在点A(x0，y1)处的切线斜率为k1＝(ax0＋a－1)ex0；由y＝，y′＝(x－2)e－x，所以曲线y＝在点B(x0，y2)处的切线斜率为k2＝(x0－2)e－x0.由l1⊥l2k1k2＝－1a＝，令t＝x0－3∈[－3，－]，x0＝t＋3，则a＝＝，∵ t＋＋5∈， ∴ a∈.
2. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋b，其中a，b为常数．
(1) 当a＝－1时，若函数f(x)在[0，1]上的最小值为，求b的值；
(2) 若曲线y＝f(x)上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．
解：(1) 当a＝－1时，f′(x)＝x2－2x－1，所以函数f(x)在[0，1]上单调递减．
由f (1)＝，即－1－1＋b＝，解得b＝2.
(2) 设P(x1，f(x1))，则P点处的切线斜率m1＝x＋2ax1－1，又设过P点的切线与曲线y＝f(x)相切于点Q(x2，f(x2))，x1≠x2，则Q点处的切线方程为y－f(x2)＝(x＋2ax2－1)(x－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝(x＋2ax2－1)(x1－x2)，化简，得x1＋2x2＝－3a.因为两条切线相互垂直，所以(x＋2ax1－1)(x＋2ax2－1)＝－1，即(4x＋8ax2＋3a2－1)(x＋2ax2－1)＝－1.
令t＝x＋2ax2－1≥－(a2＋1)，则关于t的方程t(4t＋3a2＋3)＝ －1在t∈[－(a2＋1)，0)上有解，所以3a2＋3＝－4t－≥4(当且仅当t＝－时取等号)，解得a2≥，
故a的取值范围是∪.
3. 已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．
答案：
解析：设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，
所以切线的斜率为k＝3t2－a，①
所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．②
将点(1，0)代入②式得，－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，
解得t＝0或t＝.
分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，
由题意得它们互为相反数得a＝.
4. 若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a的值为________．
答案：－1或－
解析：设过点(1，0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又(1，0)在切线上，则x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切得a＝－1.
所以a＝－1或－.
1. 求函数的导数有两种方法，一是利用导数定义，这种方法虽然比较复杂，但需要了解；二是利用导数公式和运算法则求导数，这是求函数导数的主要方法，其关键是记住公式和法则，并适当进行简便运算．
2. 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：
(1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2) 切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．
(3) 与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化．
请使用课时训练(B)第11课时(见活页)．
[备课札记]
第12课时 导数在研究函数中的运用(对应学生用书(文)、(理)37～40页)
①
① 理解函数的单调性与导数的关系
导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视.② 以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用．
，能利用导数研究函数的单调性.② 掌握利用导数求函数极值与最值的方法.③ 会利用导数解决某些实际问题．
1. 函数y＝＋2ln x的单调减区间为________．
答案：
解析：定义域为{x|x>0}，令y′＝－<0，解得0a，则实数a的取值范围是____________．
答案：
解析：f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－，又f(1)＝，f＝，f(－1)＝，f(2)＝7，故f(x)min＝，所以a<.
1. 函数的单调性与导数
在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；
如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．
2. 函数的极值与导数
(1) 函数极值的定义
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f
(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．
(2) 求函数极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
① 如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值．
② 如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值．
3. 函数的最值
(1) 最大值与最小值的概念
如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．
(2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
① 求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
② 将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．
4. 生活中的优化问题
解决优化问题的基本思路：
1 利用导数研究函数的单调性
, 1) 已知曲线f(x)＝ln(2－x)＋ax在点(0，f(0))处的切线斜率为.[提示：ln(2－x)的导数是]
(1) 求f(x)的极值；
(2) 设g(x)＝f(x)＋kx，若g(x)在(－∞，1]上是增函数，求实数k的取值范围．
解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f′(x)＝＋a.
由题知f′(0)＝－＋a＝，
所以a＝1，所以f′(x)＝＋1＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，1)
1
(1，2)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
1
所以f(x)在x＝1处取得极大值1，无极小值．
(2) g(x)＝ln(2－x)＋(k＋1)x，
g′(x)＝＋(k＋1)，
由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立，
即k≥－1在(－∞，1]上恒成立，
因为x≤1，所以2－x≥1，所以0＜≤1，
所以－1＜－1≤0，所以k≥0.
故实数k的取值范围是[0，＋∞)．
变式训练
设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1) 当a＝1时，求函数满足f(x)≤1时的x的集合；
(2) 求a的取值范围，使f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
解：(1) 当a＝1时，f(x)≤1≤1，化为≤0x＋1>0，即x>－1.故满足条件的x的集合为{x|x>－1}．
(2) f′(x)＝＝，要使f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，必须有f′(x)≤0，即a≤－1，但a＝－1时，f(x)为常函数，所以a<－1.
讨论函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
故当x∈时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减．
, 2 利用导数研究函数的极值)
, 2) 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．
(1) 求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；
(2) 若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．
解：(1) 由函数f(x)图象过点(－1，－6)，
得m－n＝－3 ①.
由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，
得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，
则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.
而g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0.
所以m＝－3，代入①，得n＝0.
于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
由f′(x)>0，得x>2或x<0，
故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
由f′(x)<0，得00，求f(x)在[m，m＋2]上的最大值．
(1) 证明：∵ f′(x)＝－1 ，令f′(x)＝0得x2＝1－ln x.
显然x＝1是方程f′(x)＝0的解，
令g(x)＝x2＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2x＋>0，
∴ 函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴ x＝1是方程f′(x)＝0的唯一解．
(2) 解：∵ 当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴ 函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
(3) 解：由(2)知函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
故当00，∴ t>0，经检验得x＋的最大值为－1.
5. 如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为4 km.地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)．设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2)．
(1) 求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2) 是否存在点P，使隔离出的△BEF的面积S超过3 km2？并说明理由．
解：(1) 如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为(2，4)．
设边缘线AC所在抛物线的方程为y＝ax2，把(2，4)代入，得4＝a×22，解得a＝1，
所以抛物线的方程为y＝x2.
因为y′＝2x，所以过P(t，t2)的切线EF的方程为y＝2tx－t2.
令y＝0，得E；令x＝2，得F(2，4t－t2)，
故S＝(4t－t2)，
所以S＝(t3－8t2＋16t)，定义域为(0，2]．
(2) S′(t)＝(3t2－16t＋16)＝(t－4)，由S′(t)>0，得00即a>0时，a－＝>0，a>.f(x)的图象大致如图：
易知f(x)的增区间为、[a，＋∞)．要使f(x)在[0，2]上单调递增，只需≥2，a≥3.
综上，a≤0或a≥3.
2. 已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________．
答案： a<－1或a>1
解析：0＝|x3－4x|＋ax－2，则|x3－4x|＝2－ax恰有2个零点，即y＝|x3－4x|与y＝2－ax的图象有两个交点．如图，直线y＝2－ax与y＝|x3－4x|的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则＝3x－4，又y0＝x－4x0，解得x0＝－1，此时k＝－1，而y＝|x3－4x|是偶函数，在y轴右侧相切时k＝1.而两个函数的图象若有两个交点，则k<－1或k>1，而k＝－a，则实数a的取值范围为a<－1，或a>1.
3. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I上单调性相反．若函数f(x)＝x3－2ax与函数g(x)＝x2＋2bx在开区间(a，b)(a＞0)上单调性相反，则b－a的最大值等于________．
答案：
解析：g′(x)＝2x＋2b，在区间(a，b)上恒大于0，所以g(x)＝x2＋2bx在区间(a，b)上为单调增函数，所以f(x)＝x3－2ax在区间(a，b)上单调递减，故x∈(a，b)时f′(x)＝x2－2a≤0，即－≤x≤，又0＜a＜x＜b，∴ b≤，即0＜a≤，得0＜a≤2，所以b－a≤－a＝－＋，当a＝时，取最大值，b－a的最大值为.
4. 已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥kx对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案：[－3，e2]
解析：① 当x＝0时，0≥0，所以k∈R.② 当x<0时，2x2－3x≥kx，同除以x，即k≥2x－3恒成立，所以k≥－3.③ 当x>0时，ex＋e2≥kx，同除以x，即k≤恒成立，令g(x)＝，下面只需求出g(x)的最小值．g′(x)＝，令g′(x)＝0，即(x－1)ex－e2＝0.令h(x)＝(x－1)ex－e2，h′(x)＝xex>0，所以h(x)在x∈(0，＋∞)上是单调递增函数．显然x＝2是方程(x－1)ex－e2＝0的根，
由单调性可知x＝2是唯一实数根．当x∈(0，2)时g(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，g(x)单调递增，所以g(2)是函数g(x)的最小值，且g(2)＝e2，所以k≤e2.综上，实数k的取值范围是[－3，e2]．
1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒为0，则参数范围确定．
2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值．
3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．
请使用课时训练(A)第12课时(见活页)．[备课札记]
第13课时 函数模型及其应用(对应学生用书(文)、(理)41～43页)
函数模型应用问题的考查是江苏高考比较固定的考查题型，要非常重视，复习时应在准确把握各种函数的特征基础上，根据具体实际问题的情境，建立相关函数模型，利用函数知识分析解决问题．
① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.② 了解函数模型(如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1. 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)
答案：①
解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．
2. 某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是____________元．
答案：108
解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
3. 从盛满20 L纯消毒液的容器中倒出1 L，然后用水加满，再倒出1 L，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为____________．
答案：y＝20
解析：所倒次数1次，则y＝19；所倒次数2次，则y＝19×，…，所倒次数x次，则y＝19＝20.
4. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s内列车前进的距离为s＝27t－0.45t2 m，则列车刹车后________s车停下来，期间列车前进了________m.
答案：30 405
解析：s′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝s′(t)＝0得t＝30(s)，期间列车前进了s(30)＝27×30－0.45×302＝405(m)．
5. 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
答案：9
解析：∵ y＝－x3＋81x－234，∴ y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′<0得x>9；令y′>0得01)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度；而y＝logax(a>1)的增长速度会越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，有ax0>x>logax0(比较ax0，x，logax0的大小)．
3. 函数模型的应用实例的基本题型
(1) 给定函数模型解决实际问题．
(2) 建立合适的函数模型解决问题．
(3) 建立拟合函数模型解决实际问题．
4. 函数建模的基本程序
, 1 一次、二次函数模型)
, 1) 设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
(1) 若企业要成为不亏损企业，则每月至少要生产多少台电机？
(2) 当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
解：(1) 由已知，m－n＝x－－＝x2－x－2.
由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4.
据题意，x>0，所以x≥4.
故若企业要成为不亏损企业，则每月至少要生产4台电机．
(2) 若企业亏损最严重，则n－m取最大值．
因为n－m＝－x2＋5x＋－x＋＝－·[(x－1)2－9]＝－(x－1)2＋.
所以当x＝1时，n－m取最大值，此时m＝－＝.
故当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
变式训练
某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2
＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____________．
答案：45.6万元
解析：依题意，可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴ 总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)．
∴ 当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
某公司现有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造需要投入资金，相应的就要提高产品的售价．假设产品售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：① y与a－x和x的乘积成正比；② x＝时y＝a2；③ 0≤≤t.其中t为常数，且t∈[0，1]．
(1) 试求出函数y＝f(x)的表达式，并求出其定义域；
(2) 求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．
解：(1) 设y＝k(a－x)x，当x＝时y＝a2，可得k＝4，
∴ y＝4(a－x)x.
由0≤≤t得定义域为，t为常数，t∈[0，1]．
(2) y＝4(a－x)x＝－42＋a2.
当≥时，即≤t≤1，x＝时，ymax＝a2；
当<时，即0≤t≤时，y＝4(a－x)x在上为增函数．
∴ 当x＝时，ymax＝.
答：当≤t≤1时，投入x＝时，售价y最大为a2万元；当0≤t<时，投入x＝时，售价y最大为万元．
, 2 指数、对数函数模型)
, 2) 现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？
(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
解：现有细胞100个，先考虑经过1，2，3，4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为
×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为
y＝100×，x∈N*，
由100×>1010，得>108，
两边取以10为底的对数，
得xlg >8，∴ x>，
∵ ＝≈45.45，
∴ x>45.45.
答：经过46小时，细胞总数可以超过1010个．
变式训练
一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
解析：当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴ e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24，所以再经过16 min.
我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．
解：因a′＝a·e－kt，即＝e－kt.
两边取对数，得lg＝－ktlge.①
又知14C的半衰期是5570年，即t＝5570时，＝.
故lg＝－5570klge，即klge＝.
代入①式，并整理，得t＝－.
这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t＝－≈1 036.即古莲子约是1 036年前的遗物．
, 3 分段函数模型)
, 3) 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
解：(1) 当040时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以，W＝
(2) 当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5 760.
综上知，当年产量为32万只时，所获利润最大为6 104万美元．
变式训练
2008年之前，国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为__________元．
答案：3 800
解析：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，
得y＝
如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，
∴ (x－800)×14%＝420，∴ x＝3 800.
甲商店某种商品4月份(30天，4月1日为第一天)的销售价格P(元)与时间t(天)函数关系如图1所示，该商品日销售量Q(件)与时间t(天)函数关系如图2所示．
(1) 写出图1表示的销售价格与时间的函数关系式P＝f(t)，写出图2表示的日销售量与时间的函数关系式Q＝g(t)，及日销售金额M(元)与时间的函数关系M＝h(t)；
(2) 乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N(元)与时间t(天)之间的函数关系为N＝－2t2－10t＋2 750，比较4月份每天两商店销售金额的大小．
解：(1) 设价格函数是y＝kt＋b，过点(0，15)，(30，30)，则
∴ f(t)＝t＋15(00，S单调递增；∴ 当x＝9＋3时，S取得最小值．
故当AN长为9＋3 m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小．
变式训练
挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)．如果截面积为20 m2，当宽为__________时，截面周长最小．
答案：4 m
解析：如图所示，设半圆的半径为r，矩形的高为h，
则截面积S＝2rh＋＝20，
截面周长C＝2r＋2h＋πr＝2r＋＋πr
＝2r＋－＋πr＝r＋.
则C′(r)＝－，
令C′(r)＝0，解得r＝2 .
故当r＝2 m时，截面周长C最小，此时宽为4 m.
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1) 求k的值及f(x)的表达式；
(2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1) 设隔热层厚度为x cm，由题设，
每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2) f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，
即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
1. 水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为
V(t)＝
该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i－10，解得t<4或t>10，又00得0＜x<4，∴ g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．
∴ a≥g(4)＝2ln 4－2＝4ln 2－2.(10分)
由条件③，得f(10)＝10－2ln 10＋a≤8，解得a≤2ln 10－2.
另一方面，由x－2ln x＋a≤x，得a≤2ln x在x∈[2，10]上恒成立，∴ a≤2ln 2.(12分)
综上所述，a的取值范围是[4ln 2－2，2ln 2]，∴ 满足条件的整数a的值为1.(14分)
1. 拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5，3.1]时，函数f(m)的值域是______________．
答案：{1.06，1.59，2.12，2.65}
解析：当0.5≤m<1时，[m]＝0，f(m)＝1.06；
当1≤m<2时，[m]＝1，f(m)＝1.59；
当2≤m<3时，[m]＝2，f(m)＝2.12；
当3≤m≤3.1时，[m]＝3，f(m)＝2.65.
2. 若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2(其中k≠0)．当燃料重量为(－1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s(e为自然对数的底数，e≈2.72)．
(1) 求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x(吨)之间的关系式y＝f(x)；
(2) 已知该火箭的起飞重量是544吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
解：(1) 将x＝(－1)m，y＝4代入y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2，得k＝8.则y＝8[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2.化简得y＝ln8.
(2) 设应装载x吨燃料，将m＝544－x，y＝8，代入y＝ln8，化简ln＝1，整理得x＝344.即应装载3 440吨燃料．
3. 从旅游景点A到B有一条100公里的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3 240元，游轮最大时速为50 km/h，当游轮速度为10 km/h时，燃料费用为每小时60元，若单程票价定为150元/人．
(1) 一艘游轮单程以40 km/h航行，所载游客为180人，轮船公司获得的利润是多少？
(2) 如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？
解：设游轮以v km/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f(v)元，∵ 游轮的燃料费用每小时k·v3元，依题意k·103＝60，则k＝，
∴ f(v)＝v3·＋3 240·＝6v2＋.
(1) 当v＝40 km/h时，f(v)＝6×402＋＝17 700(元)，
轮船公司获得的利润是150×180－17 700＝9 300元．
(2) f′(v)＝12v－＝，
令f′(v)＝0，得v＝30,
当00，此时f(v)单调递增．
故当v＝30时，f(v)有极小值，也是最小值，f(30)＝16 200，
∴ 轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为30 km/h.
4. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)＝1－ax2(a＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t，f(t))．
(1) 将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t)；
(2) 若在t＝处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．
解：(1) y′＝－2ax，∴ 切线斜率是－2at，
∴ 切线方程为y－(1－at2)＝－2at(x－t)．
令y＝0，得x＝，∴ M，
令x＝0，得y＝1＋at2，∴ N(0，1＋at2)，
∴ △OMN的面积S(t)＝.
(2) S′(t)＝＝，
由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at2－1＝0，即t＝.
当3at2－1＞0，即t＞时，S′(t)>0；
当3at2－1<0，即00，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．
答案：
解析：函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m<.若a>1，则函数f(x)在[－1，2]上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当01，即m<－.
[备课札记]
, 1 已知函数解析式研究函数的性质)
, 1) 已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性；
(3) 求函数f(x)的值域．
解：(1) 由得－10，∴ f(1)＝2×(t＋1)＝6，即t＋1＝3，解得t＝2.故f(x)＝∴ f(－2)＝log3[(－2)2＋2]＝log36>0.
f(f(－2))＝f(log36)＝2×3log36＝2×6＝12.
已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|，F(x)＝f(x)－g(x)．
(1) 若a＝2，x∈[0，3]，求F(x)的值域；
(2) 若a>2，解关于x的不等式F(x)≥0.
解：(1) F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－1－2|x－1|
＝
当1≤x≤3时，x2－2x＋1∈[0，4]；当0≤x<1，x2＋2x－3∈[－3，0)．所以F(x)＝f(x)－g(x)的值域为[－3，4]．
(2) F(x)＝
当x≥1时，F(x)≥0，a>2，得x≤1或x≥a－1x≥a－1或x＝1；当x<1时，F(x)≥0，得x≤－a－1或x≥1x≤－a－1.
, 2 函数图象与函数性质的联系)
, 2) 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
(1) 当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2) 讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
解：(1) 由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝，
∴ 当x∈(0，e)，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴ 当x＝e时，f(x)取得极小值．f(e)＝ln e＋＝2，
∴ f(x)的极小值为2.
(2) 由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．
设φ(x)＝－x3＋x(x>0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴ x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴ φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)可得，
① 当m>时，函数g(x)无零点；
② 当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③ 当0时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当00，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.
(1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．
解：(1) ∵ 当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.
∴ 二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－＝－2.
且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.
∴ b＝4，c＝2.
∴ f(x)＝
(2) 记方程①：2＝x＋a(x>0)，
方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．
分别研究方程①和方程②的根的情况：
(ⅰ) 方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.
(ⅱ) 方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不相同的非正实数根．
∴ －2或a＝－.
综上可知，当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不相同的实数根时，－ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
(1) 解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，
单调递增区间是(ln 2，＋∞)，
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，
极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2) 证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，
g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
变式训练
设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为__________．
答案：4
解析：若x＝0，则不论k取何值，f(x)≥0都成立；
当x>0，即x∈(0，1]时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而k≥4；
当x<0即x∈[－1，0)时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≤－，
g(x)＝－在区间[－1，0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而k≤4.综上可得k＝4.
1. 已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，且在[－1，3]内，
关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是_________．
答案：
解析：由题意作出f(x)在[－1，3]上的图象如下图．记y＝k(x＋1)＋1，∴ y＝k(x＋1)＋1图象过定点(－1，1)．由图知，方程有四个根，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1有四个交点，必须有－＜k＜0.
2. 在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
答案：－1，
解析：设P，x>0，则PA2＝(x－a)2＋＝x2＋－2a＋2a2＝－2a＋2a2－2.令t＝x＋，则由x>0，得t≥2，所以PA2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2.由PA取得最小值，得
或解得a＝－1或a＝.
3. 设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是________．
答案：[1，e]
解析：若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则A(b，f(b))，A′(f(b)，b)都在y＝f(x)的图象上．又f(x)＝在[0，1]上单调递增，所以(x′A－xA)(y′A－yA)≥0，即[f(b)－b]·[b－f(b)]≥0，所以[f(b)－b]2≤0，所以f(b)＝b，从
而f(x)＝x在[0，1]上有解，即＝x在[0，1]上有解，所以a＝ex＋x－x2，x∈[0，1]，令φ(x)＝ex＋x－x2，x∈[0，1]，则φ′(x)＝ex－2x＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增．又φ(0)＝1，φ(1)＝e，所以φ(x)∈[1，e]，即a∈[1，e]．
4. (2016·苏锡常镇二模)已知函数f(x)＝x|x2－a|.若存在x∈[1，2]，使得f(x)＜2，则实数a的取值范围是__________．
答案：(－1，5)
解析：∵ x∈[1，2]，f(x)＝x|x2－a|<2，
∴ |x2－a|<，∴ －0，y2在[1，2]上单调递增，x＝2时，(y2)max＝5，∴ (y1)min0时，易得f(x)＝在(－∞，]上是单调增函数，在
上是单调减函数，在上是单调增函数，
当03时，f(x)min＝min{f(2)，f(3)}＝min{a－4，2a－9}≥0，解得a≥.
综上，a≤或a≥.
【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)
已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．
(1) 当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2) 若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；
(3) 若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围．
审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1”转化成|f(x)max－f(x)min|＝f(x)max－f(x)min≥e－1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．
规范解答： (1) 证明：f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)·ln a．(2分)
由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，ln a>0，ax－1>0，所以f′(x)>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)
(2) 解：当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x＝0.(6分)
所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
又函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根．
而t＋1>t－1，所以t－1＝f(x)min＝f(0)＝1，解得t＝2.(10分)
(3) 解：因为存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，
所以当x∈[－1，1]时，|f(x)max－f(x)min|＝f(x)max－f(x)min≥e－1.(12分)
由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}．
而f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－＝a－－2ln a，
记g(t)＝t－－2ln t(t>0)，
因为g′(t)＝1＋－＝≥0(当且仅当t＝1时取等号)，
所以g(t)＝t－－2ln t在t∈(0，＋∞)上单调递增．
而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当01时，f(1)>f(－1)；当01时，由f(1)－f(0)≥e－1a－ln a≥e－1a≥e；
② 当0