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- 2021-05-21 发布
第六章 不等式、推理与证明
第一节
不等式的性质及一元二次不等式
【
知识梳理
】
1.
不等式的基本性质
(1)
对称性
:a>b⇔____.
(2)
传递性
:a>
b,b
>c⇒____.
(3)
可加性
:a>
b⇒a+c
>
b+c
.
(4)
可乘性
:a>
b,c
>0⇒______;a>
b,c
<0⇒______.
bc
ac>
bc
ac<
bc
(5)
加法法则
:a>
b,c
>d⇒________.
(6)
乘法法则
:a>b>0,c>d>0⇒______.
(7)
乘方法则
:a>b>0⇒_____(n∈N,n≥1).
(8)
开方法则
:a>b>0⇒ (n∈N,n≥2).
a+c
>
b+d
ac>
bd
a
n
>
b
n
n
n
2.
不等式的倒数性质
(1)a>b,ab>0⇒
(2)a<0b>0,00⇔a__b.
(2)a-b=0⇔a__b.
(3)a-b<0⇔a__b.
>
=
<
4.
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ=b
2
-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax
2
+bx+c(a>0)
的图象
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0(a>0)
的根
有两个相异实根
x
1
,x
2
(x
1
0
Δ=0
Δ<0
ax
2
+bx+c>0(a>0)
的解集
_______
_______
_________
R
ax
2
+bx+c<0(a>0)
的解集
___________
∅
__
{x|x
x
2
}
{x|x≠x
1
}
{x|x
1
0(a≠0)
中
,
如果二次项系数
a<0,
则可根据不等式的性质
,
将其转化为正数
,
再对照上表求解
.
5.
一元二次不等式恒成立的条件
(1)
不等式
ax
2
+bx+c>0
对任意实数
x
恒成立
⇔
(2)
不等式
ax
2
+bx+c<0
对任意实数
x
恒成立
⇔
【
特别提醒
】
1.
不等式两边同乘数
c
时
,
要特别注意乘数
c
的符号
.
2.
当不等式中含
x
2
项的系数含有参数时
,
不要忘记讨论其等于
0
的情况
.
【
小题快练
】
链接教材 练一练
1.(
必修
5P74
练习
T3
改编
)
下列四个结论
,
正确的是
(
)
①a>b,cb-d
;
②a>b>0,cbd
;
③a>b>0⇒
④a>b>0⇒
A.①② B.②③ C.①④ D.①③
【
解析
】
选
D.
利用不等式的同向可加性可知①正确
;
对
②根据不等式的性质可知
acb>0
可知
a
2
>b
2
>0,
所以 所以④不正确
.
2.(
必修
5P81
习题
3.2B
组
T2
改编
)
若函数
y=
的定义域为
R
，则
m
的取值范围是
_____.
【
解析
】
要使
y=
有意义，
即
mx
2
-(1-m)x+m≥0
对
∀
x∈R
恒成立，则
解得
m≥
答案：
m≥
感悟考题 试一试
3.(2016·
广州模拟
)
已知
<0,
给出下面四个不等
式
:
①|a|>|b|;②ab
3
.
其中不正确的不
等式的个数是
(
)
A.0 B.1 C.2 D.3
【
解析
】
选
C.
由
<0
可得
bb,②
不正确
;a+b
<0,ab>0,
则
a+bb
3
,④
正确
.
故不正确的不等式的个数为
2.
4.(2016·
漳州模拟
)
当
x>0
时
,
若不等式
x
2
+ax+1≥0
恒成立
,
则
a
的最小值为
(
)
A.-2 B.-3 C.-1 D.-
【
解析
】
选
A.
当
Δ=a
2
-4≤0,
即
-2≤a≤2
时
,
不等式
x
2
+ax+1≥0
对任意
x>0
恒成立
,
当
Δ=a
2
-4>0,
则需 解得
a>2.
所以使不等式
x
2
+ax+1≥0
对任意
x>0
恒成立的实数
a
的最小值是
-2.
5.(2015·
广东高考
)
不等式
-x
2
-3x+4>0
的解集为
.(
用区间表示
)
【
解析
】
由
-x
2
-3x+4>0
得
x
2
+3x-4<0,
解得
:-40
的解集为
(-4,1).
答案
:
(-4,1)
考向一
比较大小及不等式性质的应用
【
典例
1】
(1)(2016·
黄冈模拟
)
已知
x>y>z,x+y+z
=0,
则下列不等式中成立的是
(
)
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y
|
(2)(2016·
合肥模拟
)
设
a>1,
且
m=log
a
(a
2
+1),n=
log
a
(a-1), p=log
a
(2a),
则
m,n,p
的大小关系为
(
)
A.n>m>p B.m
>p>n
C.m>n>p D.p
>m>n
【
解题导引
】
(1)
根据已知条件可判断出
x
和
z
的符号
,
然后由不等式的性质便可求解
.
(2)
根据不等式性质和函数单调性求解
.
【
规范解答
】
(1)
选
C.
因为
x>y>z,x+y+z
=0,
所以
x>0,
z<0.
所以由 可得
xy>xz
.
(2)
选
B.
因为
a>1,
所以
a
2
+1-2a=(a-1)
2
>0,
即
a
2
+1>2a,
又
2a>a-1,
所以由对数函数的单调性可知
log
a
(a
2
+1)>log
a
(2a)>log
a
(a-1),
即
m>p>n.
【
规律方法
】
比较大小的策略
(1)
简单的代数式之间比较大小
:
往往利用不等式的性质求解
.
(2)
指数型及对数型的代数式之间比较大小
:
一般采取构造函数
,
利用函数的单调性求解
.
(3)
其他复杂的多项式之间比较大小
:
可以采取作差或作商来解决
.
易错提醒
:
1.
利用不等式性质比较大小
,
一定要弄清参数的符号
,
明确什么情况下不等号方向改变
.
2.
构造函数
,
用函数单调性比较大小
,
要注意函数是递增还是递减
.
【
变式训练
】
若
a>0,b>0,
则不等式
-b< 0>a
，②
0>a>b
，
③
a>0>b
，④
a>b>0
，能推出 成立的有
( )
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
【
解析
】
选
C.
运用倒数性质，
由
a>b
，
ab
>0
可得
②④正确．又正数大于负数，①正确，③错误
.
2.
如果
a,b,c
满足
cac B.c(b
-a)>0
C.cb
2
0,
则
A
一定正确
;B
一定正确
;D
一定正确
;
当
b=0
时
C
不正确
.
考向二
一元二次不等式的解法
【
典例
2】
(1)(2015·
山东高考
)
已知集合
A={x|x
2
-4x+ 3<0},B={x|20}
，则
A∩B=______.
【
解析
】
解不等式
x
2
-4x+3>0
得
x<1
或
x>3,
所以
A∩B=(3,4).
答案
:
(3,4)
2.
若本例题
(1)
条件
A={x|x
2
-4x+3<0}
改为
A={x|x
2
-4x +3≥0}
，则
A∪B=______.
【
解析
】
解不等式
x
2
-4x+3≥0
得
x≤1
或
x≥3,
则
A∪B=(-∞,1]∪(2,+∞)
答案：
(-
∞,1]∪(2,+∞)
【
易错警示
】
解答本例题
(2)
时
,
在利用指数函数的性质把原不等式转化为一元二次不等式时容易把大于号和小于号弄反
,
导致解集出错
.
【
规律方法
】
1.
解一元二次不等式的方法和步骤
(1)
化
:
把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式
.
(2)
判
:
计算对应方程的判别式
.
(3)
求
:
求出对应的一元二次方程的根
,
或根据判别式说明方程有没有实根
.
(4)
写
:
利用“大于取两边
,
小于取中间”写出不等式的解集
.
2.
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)
二次项中若含有参数应讨论是等于
0,
小于
0,
还是大于
0,
然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式
.
(2)
当不等式对应方程的根的个数不确定时
,
讨论判别式
Δ
与
0
的关系
.
(3)
确定无根时可直接写出解集
,
确定方程有两个根时
,
要讨论两根的大小关系
,
从而确定解集形式
.
【
变式训练
】
已知不等式
x
2
-2x-3<0
的解集为
A,
不等式
x
2
+x-6<0
的解集为
B,
不等式
x
2
+ax+b<0
的解集为
A∩B,
则
a+b
等于
(
)
A.-3 B.1
C.-1 D.3
【
解析
】
选
A.
由题意得
,A={x|-10).
【
解析
】
(1)
原不等式可化为
3x
2
+2x-8≤0,
即
(3x-4)(x+2)≤0.
解得
-2≤x≤
所以原不等式的解集为
借助于数轴
,
如图所示
,
原不等式的解集为
{x|-2≤x<-1
或
20,
所以
(x-1)<0,
所以当
a>1
时
,
解为
1
时
,
不等式的解集为
考向三
一元二次不等式恒成立问题
【
考情快递
】
命题方向
命题视角
形如
f(x)≥0(f(x)
≤0)(x∈R)
的不等
式确定参数的范围
主要考查一元二次不等式
,
一元二次函数和一元二次方程的关系
,
利用开口方向和判别式解题
形如
f(x)≥0(x∈
[a,b])
的不等
式确定参数范围
考查一元二次不等式的解法
命题方向
命题视角
形如
f(x)≥0
(
参数
m∈[a,b
])
的不等式确定
x
的范围
考查主元转换思想
,
通过主元转换来求自变量范围
,
同时考查一元二次不等式的解法
【
考题例析
】
命题方向
1:
形如
f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)
的不等式确
定参数的范围
【
典例
3】
(2016·
郑州模拟
)
不等式
a
2
+8b
2
≥λb(a+b)
对于任意的
a,b∈R
恒成立
,
则实数
λ
的取值范围为
.
【
解题导引
】
可以把
a
看成未知数
,
把
b
看成常数
,
把
λ
看成参数
,
把原不等式化为关于
a
的一元二次不等式
.
【
规范解答
】
因为
a
2
+8b
2
≥λb(a+b)
对于任意的
a,b∈R
恒成立
,
所以
a
2
+8b
2
-λb(a+b)≥0
对于任意的
a,b∈R
恒成立
,
即
a
2
-λba+(8-λ)b
2
≥0
恒成立
,
由二次不等式的性质可得
,
Δ=λ
2
b
2
+4(λ-8)b
2
=b
2
(λ
2
+4λ-32)≤0,
所以
(λ+8)(λ-4)≤0,
解得
-8≤λ≤4.
答案
:
[-8,4]
命题方向
2:
形如
f(x)≥0(x∈[a,b])
的不等式确定参数范围
【
典例
4】
(2016·
南昌模拟
)
已知函数
f(x
)=-x
2
+ax +b
2
-b+1(a∈R,b∈R),
对任意实数
x
都有
f(1-x)=f(1+x)
成立
,
若当
x∈[-1,1]
时
,f(x
)>0
恒成立
,
则
b
的取值范围是
(
)
A.(-1,0) B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.
不能确定
【
解题导引
】
先求出
f(x
)
的最值
,
再列一元二次不等式求解
.
【
规范解答
】
选
C.
由
f(1-x)=f(1+x)
知
f(x
)
的图象
关于直线
x=1
对称
,
即
=1,
解得
a=2.
又因为
f(x
)
开口向下
,
所以当
x∈[-1,1]
时
,f(x
)
为增函数
,
所以
f(x)
min
=f(-1)=-1-2+b
2
-b+1
=b
2
-b-2,
f(x)>0
恒成立
,
即
b
2
-b-2>0
恒成立
,
解得
b<-1
或
b>2.
命题方向
3:
形如
f(x)≥0(
参数
m∈[a,b
])
的不等式确定
x
的范围
【
典例
5】
(2016·
惠州模拟
)
已知
a∈
[-1,1]
时不等式
x
2
+(a-4)x+4-2a>0
恒
成立
,
则
x
的取值范围为
(
)
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
【
解题导引
】
构造关于
a
的参数列不等式组求解
.
【
规范解答
】
选
C.
把不等式的左端看成关于
a
的一次函数
,
记
f(a
)=(x-2)a+x
2
-4x+4,
则由
f(a
)>0
对于任意的
a∈[-1,1]
恒成立
,
所以
f(-1)=x
2
-5x+6>0,
且
f(1)=x
2
-3x+2>0
即可
,
解不等式组 得
x<1
或
x>3.
【
技法感悟
】
恒成立问题求解思路
(1)
形如
f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)
的不等式确定参数的范围时
,
结合一元二次方程
,
利用判别式来求解
.
(2)
形如
f(x)≥0(x∈[a,b])
的不等式确定参数范围时
,
要根据函数的单调性
,
求其最小值
,
让最小值大于等于
0,
从而求参数的范围
.
(3)
形如
f(x)≥0(
参数
m∈[a,b
])
的不等式确定
x
的范围
,
要注意变换主元
,
一般地
,
知道谁的范围
,
就选谁当主元
,
求谁的范围
,
谁就是参数
.
【
题组通关
】
1.(2016·
宿州模拟
)
若关于
x
的不等式
4
x
-2
x+1
-a≥0
在
[1,2]
上恒成立
,
则实数
a
的取值范围为
.
【
解析
】
因为不等式
4
x
-2
x+1
-a≥0
在
[1,2]
上恒成立
,
所以
4
x
-2
x+1
≥a
在
[1,2]
上恒成立
.
令
y=4
x
-2
x+1
=(2
x
)
2
-2×2
x
+1-1=(2
x
-1)
2
-1.
因为
1≤x≤2,
所以
2≤2
x
≤4.
由二次函数的性质可知
:
当
2
x
=2,
即
x=1
时
,
y
取得最小值
0,
所以实数
a
的取值范围为
(-∞,0].
答案
:
(-∞,0]
2.(2016·
唐山模拟
)
设函数
f(x
)=mx
2
-mx-1(m≠0),
若对于
x∈[1,3],f(x)<-m+5
恒成立
,
则
m
的取值范围是
.
【
解题提示
】
可通过构造函数
,
利用函数单调性求解
,
也可通过配方求最值来解决
.
【
解析
】
要使
f(x
)<-m+5
在
[1,3]
上恒成立
,
则
mx
2
-mx+m-6<0,
即
<0
在
x∈[1,3]
上恒成立
.
有以下两种方法
:
方法一
:
令
g(x
)=
x∈[1,3].
当
m>0
时
,g(x
)
在
[1,3]
上是增函数
,
所以
g(x)
max
=g(3)=7m-6<0.
所以
m< ,
则
0