【数学】2020届一轮复习人教A版第54课平面向量的基本定理与坐标运算作业（江苏专用） 5页

随堂巩固训练(54)‎ ‎ 1. 已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，则实数m的值为　2　.‎ 解析：由题意得2a＋b＝2(1，2)＋(m，4)＝(2＋m，8).因为a∥(2a＋b)，所以8－2(2＋m)＝0，解得m＝2.‎ ‎ 2. 在平行四边形ABCD中，＝(2，8)，＝(－3，4)，则＝　(－1，12)　.‎ 解析：＝＋＝(－3，4)＋(2，8)＝(－1，12).‎ ‎ 3. 已知向量a＝，b＝(x－1，1)，则|a＋b|的最小值是　　.‎ 解析：a＋b＝＝，故|a＋b|＝≥，当且仅当x＝±1时，等号成立，故|a＋b|的最小值是.‎ ‎ 4. 设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，且a＋2b＝(5，－3)，则x＋y＝　－1　.‎ 解析：由题意得a＋2b＝(x，1)＋2(2，y)＝(x＋4，1＋2y)＝(5，－3)，所以解得所以x＋y＝－1.‎ ‎ 5. 已知a＝(5，4)，b＝(3，2)，则与2a－3b平行的单位向量为　或　.‎ 解析：2a－3b＝(1，2)，设与2a－3b平行的单位向量为(x，y)，则解得或故单位向量为或.‎ ‎ 6. 已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，点C在第二象限，∠AOC＝60°，＝λ＋，则实数λ的值是　　.‎ 解析：因为＝λ＋，所以＝(－3λ，0)＋(0，)＝(－3λ，).又因为∠AOC＝60°，所以tan60°＝＝，所以λ＝.‎ ‎ 7. 已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为60°，若p＝＋，则|p|＝　　.‎ 解析：因为p＝＋，所以p2＝1＋2×＋1.又因为a与b的夹角为60°，所以＝cos60°＝，所以p2＝1＋2×＋1＝3，所以|p|＝.‎ ‎ 8. 设i，j是x轴、y轴正方向上的单位向量，且＝4i－2j，＝7i＋4j，＝3i＋6j，则四边形ABCD的面积是　30　.‎ 解析：因为＋＝7i＋4j＝，所以四边形ABCD是平行四边形，则＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则·＝(4，－2)·(3，6)＝0，即⊥，所以平行四边形ABCD是矩形.||＝2，||＝3，四边形ABCD的面积为2×3＝30.‎ ‎ 9. 已知a＝(1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝　　.‎ 解析：因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sin θ)－1×＝0，整理得cos2θ＝，所以cosθ＝±.又因为θ为锐角，所以θ＝.‎ ‎10. 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的　重心　.(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)‎ 解析：设D为BC的中点，则＝＋λ(＋)＝＋2λ，所以＝2λ，所以点A，P，D共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心.‎ ‎11. 设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，求＋的最小值.‎ 解析：由题意得，＝(a－1，1)，＝(－b－a，1).‎ 因为A，B，C三点共线，‎ 所以a－1＝－b－a，即2a＋b＝1，‎ 所以＋＝(2a＋b)＝2＋＋＋2＝4＋＋≥4＋2＝8，‎ 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，‎ 所以＋的最小值为8.‎ ‎12. 已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.　‎ ‎(1) 求3a＋b－3c的值；‎ ‎(2) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；‎ ‎(3) 求点M，N的坐标及的坐标.‎ 解析：由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).‎ ‎(1) 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(6，－42).‎ ‎(2) 因为a＝mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ 所以解得 ‎(3) 设O为坐标原点，‎ 因为＝－＝3c，‎ 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以点M(0，20).又因为＝－＝－2b，‎ 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以点N(9，2)，‎ 所以＝(9，－18).‎ ‎13. 在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.‎ ‎(1) 试用a和b表示向量.‎ ‎(2) 在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设＝λ， ＝μ，当点E，F在线段AC，BD上运动时，求＋的值.‎ 解析：(1) 因为B，M，C三点共线，‎ 所以∃x∈R，使＝x＋(1－x)＝xb＋(1－x)·a＝2x·＋·a＝2x·＋·.‎ 因为A，M，D三点共线，‎ 所以2x＋＝1，解得x＝，‎ 即＝a＋b. ‎ ‎(2) 因为E，M，F三点共线，‎ 所以∃n∈R，使＝n＋(1－n)＝nλa＋(1－n)μb＝4nλ·＋(1－n)μb＝nλa＋2(1－n)·μ·.‎ 而B，M，C三点共线，A，M，D三点共线，‎ 所以解得 所以＋＝7.‎