【数学】2020届一轮复习苏教版几何证明选讲学案 19页

选修4－1　几何证明选讲A 第1讲　相似三角形的判定及有关性质 ‎[最新考纲]‎ 了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．‎ 知 识 梳 理 ‎1．平行截割定理 ‎(1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．‎ ‎(2)平行线分线段成比例定理 ‎①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ ‎②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ ‎2．相似三角形的判定与性质 ‎(1)相似三角形的判定定理 ‎①两角对应相等的两个三角形相似．‎ ‎②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．‎ ‎③三边对应成比例的两个三角形相似．‎ ‎(2)相似三角形的性质定理 ‎①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．‎ ‎②相似三角形周长的比等于相似比．‎ ‎③相似三角形面积的比等于相似比的平方．‎ ‎3．直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．‎ 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，‎ 则有CD2＝AD·BD，‎ AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.‎ ‎ 诊 断 自 测 ‎1. 如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，‎ 如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.‎ 解析　由平行线等分线段定理可直接得到答案．‎ 答案　 ‎2.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于________．‎ 解析　∵△ABC∽△AFE，‎ ‎∴＝.‎ 又EF＝8，∴BC＝12.‎ 答案　12‎ ‎3. (2018·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC＝________.‎ 解析　在Rt△ADB中，‎ DB＝＝，‎ 依题意得，△ADB∽△ACE，‎ ‎∴＝，可得EC＝＝2.‎ 答案　2 ‎4.如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．‎ 解析　∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB，‎ 又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为＝.‎ 故△ADE与△ABC的相似比为1∶.‎ ‎ 答案　1∶ ‎5. (2018·湛江模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则＝________.‎ 解析　如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即 EF为△BDG的中位线，故BF＝FG，因此＝.‎ ‎ 答案　 考点一　平行截割定理的应用 ‎【例1】 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．‎ 解析　由⇒＝＝＝，又DF＝1，‎ 故可解得AF＝2，∴AD＝3，‎ 又＝，∴AB＝.‎ ‎ 答案　 规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．‎ ‎【训练1】 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．‎ 解析　如图，延长AD，BC交于一点O，作OH⊥AB于点H.‎ ‎∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2. ‎ ‎∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h2， ‎ S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，‎ ‎∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.‎ 答案　7∶5‎ 考点二　相似三角形的判定及性质 ‎【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，‎ ED、CB延长线交于一点F.‎ 求证：FD2＝FB·FC.‎ 证明　∵E是Rt△ACD斜边中点，‎ ‎∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，‎ ‎∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，‎ ‎∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，‎ ‎∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，‎ ‎∴＝，∴FD2＝FB·FC.‎ 规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．‎ ‎(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．‎ ‎【训练2】 (2018·陕西卷)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.‎ 解析　∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED，‎ 又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠为公共角，‎ 所以△PDE∽△PEA，‎ ＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.‎ ‎ 答案　 考点三　直角三角形射影定理及其应用 ‎【例3】 如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.‎ 证明　∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，‎ ‎∴△AFH∽△GFB.∴＝，‎ ‎∴AF·BF＝GF·HF.‎ 因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，‎ 所以DF2＝GF·HF.‎ 规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．‎ ‎(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．‎ ‎【训练3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， AD＝4，sin∠ACD＝，则CD＝______，BC＝______.‎ 解析　在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC＝5，CD＝＝3，‎ 又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝＝.‎ ‎∴BD＝AB－AD＝－4＝，‎ 由射影定理BC2＝BD·AB＝×，∴BC＝.‎ ‎ 答案　3　 三角形相似与圆的交汇问题 ‎【典例】 如图所示，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E，证明：‎ ‎(1)AC·BD＝AD·AB；‎ ‎(2)AC＝AE.‎ ‎[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB，△DAB中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD∽△ABD，再结合第(1)问结论得证．‎ 证明　(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，‎ 同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.‎ 从而＝，‎ 即AC·BD＝AD·AB.‎ ‎(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.‎ 从而＝，即AE·BD＝AD·AB.‎ 综合(1)的结论知，AC＝AE.‎ ‎[反思感悟]　1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD∽△ABD，从而无法解答．‎ ‎(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立．‎ ‎2．防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．‎ ‎(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用．‎ ‎【自主体验】‎ ‎(2018·江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.‎ 求证：AC＝2AD 证明　连接OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，‎ 所以∠ADO＝∠ACB＝90°.‎ 又因为∠A＝∠A，‎ 所以Rt△ADO ∽Rt△ACB.‎ 所以＝.‎ 又BC＝2OC＝2OD，‎ 故AC＝2AD.‎ ‎第2讲　直线与圆 ‎[最新考纲]‎ ‎1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．‎ ‎2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.‎ 知 识 梳 理 ‎1．圆周角定理与圆心角定理 ‎(1)圆周角定理及其推论 ‎①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．‎ ‎(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．‎ ‎2．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．‎ ‎3．圆的切线的性质及判定定理 ‎(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎(2)推论：‎ ‎①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ ‎②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ ‎4．与圆有关的比例线段 定理 名称 基本图形 条件 结论 应用 相交 弦定 理 弦AB、CD相交于圆内点P ‎(1)PA·PB＝‎ PC·PD ‎(2)△ACP∽△BDP ‎(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一 ‎(2)求弦长及角 割线 定理 PAB、PCD是⊙O的割 线 ‎(1)PA·PB＝‎ PC·PD ‎(2)△PAC∽△PDB ‎(1)求线段PA、PB、PC、PD ‎(2)应用相似求AC、BD 切割 线定 理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割 线 ‎(1)PA2＝PB·PC ‎(2)△PAB∽△PCA ‎(1)已知PA、PB、PC知二可求一 ‎(2)求解AB、AC 切线 长定 理 PA、PB是⊙O的切线 ‎(1)PA＝PB ‎(2)∠OPA＝∠OPB ‎(1)证线段相等，已知PA求PB ‎(2)求角 ‎5.圆内接四边形的性质与判定定理 ‎(1)圆内接四边形的性质定理 ‎①定理1：圆内接四边形的对角互补．‎ ‎②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．‎ ‎(2)圆内接四边形的判定定理及推论 ‎①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 诊 断 自 测 ‎1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．‎ 解析　连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.‎ 答案　6.4‎ ‎2.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝______.‎ 解析　连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，‎ ‎∴∠BDC＝∠BOC＝50°.‎ 答案　50°‎ ‎3.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交 于点P.若PB＝1，PD＝3，则的值为________．‎ 解析　∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴＝＝.‎ 答案　 ‎4. (2018·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.‎ 解析　连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.‎ 答案　125°‎ ‎5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径r＝________.‎ 解析　设⊙O的半径为r(r＞0)，‎ ‎∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.‎ 延长PO交⊙O于点C，‎ 则PC＝PO＋r＝3＋r.‎ 设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.‎ 由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，‎ ‎∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则r＝.‎ 答案　 考点一　圆周角、弦切角及圆的切线问题 ‎【例1】 如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.‎ ‎(1)求∠DAC的度数；‎ ‎(2)求线段AE的长．‎ 解　(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，‎ 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，‎ 由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，‎ 知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.‎ ‎(1)‎ ‎(2)法一　连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，‎ 则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.‎ 法二　连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，‎ ‎(2)‎ 又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，‎ 由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，‎ 又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.‎ 规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．‎ ‎(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．‎ ‎【训练1】 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.‎ ‎ (1)证明：△ABE∽△ADC；‎ ‎ (2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．‎ ‎ (1)证明　由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.‎ ‎ 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角．‎ ‎ 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.‎ ‎(2)解　因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE 又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，‎ 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，‎ 则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，‎ 所以∠BAC＝90°.‎ 考点二　与圆有关的比例线段 ‎【例2】 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求证：‎ ‎(1)AD＝AE；‎ ‎(2)AD2＝DB·EC.‎ 证明　(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，‎ ‎∠ADE＝∠APD＋∠PAB.‎ 因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD.‎ 又PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.‎ 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.‎ ‎(2)⇒△PCE∽△PAD⇒＝；‎ ⇒△PAE∽△PBD⇒＝.‎ 又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒＝.‎ 故＝，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.‎ 规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．‎ ‎【训练2】 (2018·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．‎ 解析　由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.‎ 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.‎ 由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC，‎ 因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形．‎ 所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4，又由题意可得△CAF∽△CBA，所以＝，CF＝＝.‎ 答案　 考点三　圆内接四边形的判定及应用 ‎【例3】 (2018·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ ‎(1)证明：A、P、O、M四点共圆；‎ ‎(2)求∠OAM＋∠APM的大小．‎ ‎(1)证明　连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.‎ 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，‎ 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，‎ 所以A、P、O、M四点共圆．‎ ‎(2)解　由(1)得A、P、O、M四点共圆，‎ 所以∠OAM＝∠OPM，‎ 由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，‎ 所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.‎ 规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎【训练3】 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.‎ 求证：(1)B、D、H、E四点共圆；‎ ‎(2)CE平分∠DEF.‎ 证明　(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠BAC＋∠BCA＝120°.‎ ‎∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠HAC＋∠HCA＝60°，‎ ‎∴∠AHC＝120°.‎ ‎∴∠EHD＝∠AHC＝120°.‎ ‎∴∠EBD＋∠EHD＝180°.‎ ‎∴B，D，H，E四点共圆．‎ ‎(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠EBH＝∠HBD＝30°.‎ 由(1)知B，D，H，E四点共圆，‎ ‎∴∠CED＝∠HBD＝30°，‎ ‎∠HDE＝∠EBH＝30°.‎ ‎∴∠HED＝∠HDE＝30°.‎ ‎∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.‎ 又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°，‎ ‎∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.‎ 关于圆的综合应用 ‎【典例】 如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.‎ ‎(1)求证：AD∥EC；‎ ‎(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．‎ ‎[审题视点]　(1)连接AB，在⊙O1中使用弦切角定理，在⊙O2中使用圆周角定理，即可证明∠D＝∠E；(2)根据切割线定理，只要求出BE的长度即可，在⊙O2中根据相交弦定理可得BP·PE，根据(1)中△ADP∽△CEP，又可得BP，PE的一个方程，解方程组求出BP，PE的长度即可．‎ ‎(1)证明　连接AB，如图所示．‎ ‎∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D.‎ 又∵∠BAC＝∠E.∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.‎ ‎(2)解　设BP＝x，PE＝y，‎ ‎∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①‎ ‎∵根据(1)，可得△ADP∽△CEP，‎ ‎∴＝，即＝，②‎ 由①②，可得或(负值舍去)‎ ‎∴DE＝9＋x＋y＝16.‎ ‎∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16.‎ ‎∴AD＝12.‎ ‎[反思感悟] 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把⊙O2中两条待求的线段联系起来，发挥了相似三角形的桥梁作用．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．‎ ‎【自主体验】‎ 如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.‎ ‎(1)求证：AB2＝AE·BC；‎ ‎(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．‎ ‎(1)证明　∵BE切⊙O于B，‎ ‎∴∠ABE＝∠ACB.‎ 又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，‎ ‎∴△EAB∽△ABC，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴AB2＝AE·BC.‎ ‎(2)解　由(1)△EAB∽△ABC，∴＝.‎ 又AE∥BC，∴＝，∴＝.‎ 又AD∥BC，∴，∴AB＝CD，‎ ‎∴＝，∴＝，‎ ‎∴EF＝＝.‎