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- 2021-05-20 发布
一道三角基础题的12种解法
已知是某三角形的一个内角，满足．
（1）判断该三角形是锐角三角形还是钝角三角形？
（2）求的值．
解：（1）将两边同时平方，
可得，
即有，可有．
由于，故只能，即是钝角，该三角形是钝角三角形．
（2） 解法一：
从三角函数定义出发．可设点是角终边上的一点，令．
则，，．依题意可得．
两边同时平方可整理得，即为，
于是或者，即或．
解法二：从正切函数的定义出发，分别求出和．联立方程组，消去，整理可得方程，即，
解得或．于是有或，
从而或．
解法三：亦可直接求．将两边同时平方，
可得，
整理可得，
即，
可解得或．
解法四：利用配方的思想．将两边同时平方，
可得，可解得．
于是，即．
联立，
可解得或，从而或．
解法五：，可解得，
代入，可解得．于是或，
从而或．
解法六：可利用半角公式．
将两边同时平方，
可得，即．
而的终边可以在第三象限也可在第四象限，
故，
从而或．
解法七：亦可利用二倍角公式．
将化为，
整理可得，即，
可求得或者，于是或者．
解法八：利用万能公式也能得到的值，进而求．
由及代入，
整理可得，以下同解法七．
解法九：亦可利用公式．将两边同时除以将，
可得．两边同时平方，
可得，
即，从而直接解得或．
解法十：利用韦达定理构造一元二次方程．将两边同时平方，
可得，可解得．
于是和是一元二次方程的两根．
解得或，
从而或．
解法十一：亦可直接构造关于的方程．
将两边同时平方，可得，
可解得，
于是，即，
故，
从而化为，
解得或．
解法十二：
设，则．联立方程组，解得．
再由，即得，
整理可得方程，
解得或，即为所求．