2018届二轮复习圆锥曲线的综合问题学案（江苏专用） 8页

专题 12：圆锥曲线的综合问题(两课时) 班级 姓名 ． 一、前测训练 1．(1)点 A 是椭圆x2 36 ＋y2 20 ＝1 的左顶点，点 F 是右焦点，若点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方， 满足 PA⊥PF，则点 P 的坐标为 ． (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP→ · FP→的最大值为 ． 答案：(1)(3 2 ，5 2 3)．(2)6． 2．(1)如图，椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 OP⊥AF， 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q，若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍，则椭圆 C 的离心率为 ． (2)已知椭圆的方程为x2 6 ＋y2 2 ＝1，与右焦点 F 相应的准线 l 与 x 轴相交于点 A，过 点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点．设→AP ＝λ→AQ (λ＞1)，过点 P 且平行于准线 l 的 直线与椭圆相交于另一点 M， 证明：→FM ＝λ→QF ． (3) 过点 M(1，1)作斜率为－1 2 的直线与椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于________． 答案：(1) 2 2 ；(2)略；(3) 2 2 ． 3． (1)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆x2 10 ＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距 离是 ． (2)已知椭圆 C：x2＋2y2＝4，O 为原点．若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，则线段 AB 长度的最小值为 ． 答案：（1）6 2；（2）2 2． 二、方法联想 1．椭圆上一个点问题 方法 1：设点. ①设点(x0,y0)代入方程、列式、消元；②设点(acosθ,bsinθ) 方法 2：求点. 代入方程、列式、求解． 注意 考虑 x0(或 y0)的取值范围． 变式：如图，椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 OP⊥AF. 求证：存在椭圆 C，使直线 AF 平分线段 OP. 答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明) 2．直线与椭圆相交于两点问题 ①已知其中一点坐标(x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另 一根； ②两点均未知 方法 1 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的方 程 Ax2＋Bx＋C＝0，由韦达定理得 x1＋x2＝－B A ，x1x2＝C A ，代入已知条件所得式子消去 x1，x2(其中 y1，y2 通过直线方程化为 x1，x2)． 注意：(1)设直线方程时讨论垂直于 x 轴情况； (2)通过△判断交点个数； (3)根据需要也可消去 x 得关于 y 的方程． 结论：弦长公式 ｜AB｜＝ 1＋k2｜x1－x2｜＝ 1＋ 1 k2 ｜y1－y2｜． 方法 2 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得 x12 a2 ＋y12 b2 ＝1， x22 a2 ＋y22 b2 ＝1，通过已知条件建立 x1、y1 与 x2、y2 的关系，消去 x2、y2 解关于 x1、y1 的方程组（或方程）． 方法 3 点差法 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得 x12 a2 ＋y12 b2 ＝1， x22 a2 ＋y22 b2 ＝1，两式相减得y1－y2 x1－x2 ＝－b2 a2 × x1＋x2 y1＋y2 ， 即 kAB＝－b2 a2 ×x0 y0 ，其中 AB 中点 M 为(x0，y0)． 注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题． 变式：(1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为 2 2 ， 长轴长为 4.过椭圆的左顶点 A 作直线 l，分别交椭圆和圆 x2＋y2＝a2 于相异两点 P，Q. ①若直线 l 的斜率为1 2 ，求AP AQ 的值； ②若PQ→ ＝λAP→，求实数λ的取值范围． 答案：①5 6 ；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知， 求另一点) (2)设椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F，离心率为 3 3 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线 被椭圆截得的线段长为4 3 3 .设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与 椭圆交于 C，D 两点．若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求 k 的值． 答案： 8 6 3 . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率) 3. 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问 题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有 几何意义)化为函数进行处理． (2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围 问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 变式：已知椭圆 C：x2 6 ＋y2 2 ＝1 设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x＝－3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q. ①证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)； ②当|TF| |PQ| 最小时，求点 T 的坐标． 答案： T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． (求取最值时的条件) 4.定值问题 方法 1 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 方法 2 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点问题 方法 1 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程 与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； 方法 2 从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 三、例题分析 例 1：椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，P 为椭圆 C 上任意一点． 已知PF1 →•PF2 → 的最大值为 3，最小值为 2． (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于点 M，N 两点（M，N 不是左、右顶点），且AM → •AN →＝0， 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标． 答案：（1）椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1． （2）直线 l 过定点（2 7 ，0）． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．与椭圆上动点有关的最值问题，动点的坐标满足方程，且该点的横、纵坐标有范围． 2．建立目标函数，研究给定定义域的二次函数的值域． 3．解二元二次方程组，二次函数的零点式． 4．以已知两点为直径的圆的方程（渗透求圆方程的另一种方法）． 5．向量数量积的应用，定义法、坐标法和基底法． 6．研究动直线过定点的方法，待定系数法探求和特殊化探究证明． 二、方法选择与优化建议： 1．直角坐标系下研究向量问题，往往坐标形式比较简单． 2．由于直接求 M，N 两点的坐标比较困难（求也可以，由于方程中字母较多，运算较 为复杂），所以将条件AM → •AN →＝0 理解成点 A 在以 MN 为直径的圆上，从而找到 m 与 k 的关系． 例 2：在平面直角坐标系 xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2， 右准线 l：x＝m＋1 与 x 轴的交点为 B，BF2＝m. (1) 已知点 6 2 ，1 在椭圆 C 上，求实数 m 的值； (2) 已知定点 A(－2，0)． ① 若椭圆 C 上存在点 T，使得 TA TF1 ＝ 2，求椭圆 C 的离心率的取值范围； ② 当 m＝1 时，记 M 为椭圆 C 上的动点，直线 AM、BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P、Q，若AM→ ＝λAP→，BM→ ＝μBQ→ ，求证：λ＋μ为定值． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．求椭圆方程，椭圆的几何性质． 2．轨迹方程，圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)． 3．离心率取值范围． 4．向量的运算． A1 A2O P Q M N B C x y 5．直线与椭圆的位置关系． 6．定值问题． 二、方法选择与优化建议： ①根据第(1)问可知 c＝1，且椭圆方程为 x2 m＋1 ＋y2 m ＝1，为此，求离心率的取值范围只 要求出 m 的范围则可．由 A，F1 是两个定点，且 TA TF1 ＝ 2，可知点 T 是圆上的点，再根据 点 T 在椭圆上，可求出点 T 的坐标，根据椭圆中 x，y 的范围，可得到 m 的范围，进而求出 离心率的取值范围． ②分析 1：由向量条件AM→ ＝λAP→，BM→ ＝μBQ→ ，联想到向量的坐标表示，将点 M，P，Q 的坐标设出来，利用点 M，P，Q 在椭圆上，可得到点 M，P，Q 的坐标与λ，μ的关系，通 过点 M 来联系点 P，Q，就可得到λ＋μ的值． 分析 2：设点 M 的坐标，以此作为“已知量”，由直线 AM 与椭圆方程联立成方程组， 解出点 P 的坐标，再根据AM→ ＝λAP→，将λ表示为点 M 的坐标形式，同理，将μ表示为点 M 的 坐标形式，这样λ＋μ就可表示为 M 的坐标形式，利用点 M 在椭圆上来化简得到答案． 例 3：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的离心率 e＝ 3 2 ， A1，A2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点，圆 A2 的半径为 a，过点 A1 作圆 A2 的切线，切 点为 P，在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q． (1)求直线 OP 的方程； (2)求 PQ QA1 的值； (3)设 a 为常数．过点 O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于 E 点 B，C，分别交圆 A2 于点 M，N，记△OBC 和△OMN 的面积分别为 S1，S2，求 S1·S2 的最大值． 答案：(1)直线 OP 的方程为 y＝ 3x． (2) PQ QA1 ＝3 4 ． (3)S1·S2 的最大值为a4 5 ． 一、主要问题归类与方法： 1．椭圆的基本量及基本概念． 2．圆的切线的平面几何性质，解直角三角形． 3．求两直线的交点，直线与椭圆的交点，直线与圆的交点，已知一个交点的情况下求 另一个交点． 4．同一直线上的两条线段之比转化为相关点的某一坐标之比． 5．基本不等式求最值的函数类型，并会用基本不等式求最值． 二、方法选择与优化建议： 1．解析几何特别是与圆有关的研究结合平面几何的相关性质，往往可以简化运算过程． 2．将同一直线上的两条线段之比转化为相关点的某一坐标之比． 3．理性思考计算中的一些技巧，避免重复计算． 4．掌握基本不等式求最值的函数类型的本质特征． 四、反馈练习 1．已知点 A(－2，3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于 点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为 ． 答案：4 3 (考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题) 2．已知 a＞b＞0，椭圆 C1 的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1，双曲线 C2 的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1，C1 与 C2 的离 心率之积为 3 2 ，则 C2 的渐近线方程为 ． 答案：x± 2y＝0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程) 3．由椭圆x2 2 ＋y2＝1 的左焦点作倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A、B 两点．则OA→·OB→ ． 答案：－1 3 (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积) 4．已知动圆圆心在抛物线 y2＝4x 上，且动圆恒与直线 x＝－1 相切，则此动圆必过定 点 ． 答案：(1，0) (考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题) 5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A，B 两点，左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双 曲线的离心率的取值范围为 ． 答案：(1， 2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题) 6．椭圆C：x2 4 ＋y2 3 ＝1的左右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围为[－2， －1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是 ． 答案：[3 8 ，3 4] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域) O l x y A B F·M 7．已知点 A(0，2)，抛物线 y2＝2px (p＞0)的焦点为 F，准线为 l，线段 FA 交抛物线于点 B， 过 B 做 l 的垂线，垂足为 M，若 AM⊥MF，则 p＝_________． 答案： 2 (考查平面图形的几何性质，抛物线的定义、方程) 8．如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a＜b)， 原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y2＝2px(p＞0)经过 C，F 两点，则b a ＝____ __． 答案：1＋ 2 (考查抛物线的几何性质，抛物线的定义、方程) 9．在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a)，P 是函数 y＝1 x (x＞0)图象上一动点,若点 PA 之间的最短距离为 2 2，则满足条件的实数 a 的所有值为_______. 答案：－1 或 10 (考查两点距离，函数的最值问题) 10．如图，双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的两顶点为 A1，A2， 虚轴两端点为 B1，B2，两焦点为 F1，F2．若以 A1A2 为直径 的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A，B，C，D． 则菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值S1 S2 ＝ ． 答案：2＋ 5 2 (考查双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面 积计算) 11．已知抛物线 C：y2＝2px (p＞0)的准线为 l，焦点为 F，⊙M 的圆心在 x 轴的正半轴上， 且与 y 轴相切． 过原点 O 作倾斜角为π 3 的直线 n，交 l 于点 A，交⊙M 于另一点 B，且 AO＝OB＝2． （1）求⊙M 和抛物线 C 的方程； （2）若 P 为抛物线 C 上的动点，求PM→· PF→的最小值； （3）过 l 上的动点 Q 向⊙M 作切线，切点为 S，T． 求证：直线 ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标． 答案：(1)⊙M 的方程为(x－2)2＋y2＝4，抛物线 C 的方程为 y2＝4x； (2) PM→· PF→的最小值为 2； (3) 定点坐标为(2 3 ，0)． (考查求圆与抛物线的方程，最值与曲线过定点问题) A O B C D E FGy x A A y B B A O B C D F F x 12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为 2 2 ，直线 l：y ＝1 2x 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，AB＝2 5，C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 的两点，且直线 AC，BD 相交于点 M，直线 AD，BC 相交于点 N，连结 MN. (1) 求 a，b 的值； (2) 求证：直线 MN 的斜率为定值． 答案：(1) 6， 3;(2)－1 (考查求直线与椭圆的位置关系，定值问题) 13．设椭圆x2 a2 ＋y2 3 ＝1(a＞ 3)的右焦点为 F，右顶点为 A，已知 1 OA ＋ 1 OF ＝ 3e FA ，其中 O 为原 点， e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H，若 BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线 l 的斜率的取值 范围. 答案：（1）x2 4 ＋y2 3 ＝1 ; （2）(－∞,－ 6 4 ]∪ [ 6 4 ,＋∞) (考查) (考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，取值范围问题) 14．如图，在平面直角坐标系 xOy 中椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，已知点(1,e)和(e, 3 2 )都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率。 （1）求椭圆的方程； （2）设 A、B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直线 BF2 平行， AF2 与 BF1 交于点 P。 （i）若 AF1－BF2＝ 6 2 ,求直线 AF1 的斜率； （ii）求证：PF1＋PF2 是定值。 答案：(1) x2 2 ＋y2＝1; (2)3 2 2. (考查椭圆方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，焦半径，定值问题) A BP O1F 2F x y