【数学】2018届一轮复习人教A版　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案 15页

第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎ [学生用书P68]‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β；‎ cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos__α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎3．三角公式关系 ‎1．两角差余弦公式的推导过程 如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则 ＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)．‎ 由向量数量积的坐标表示，有 ·＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)‎ ‎＝cos αcos β＋sin αsin β.‎ 设与的夹角为θ，则 ·＝||·||cos θ＝cos θ ‎＝cos αcos β＋sin αsin β.‎ 另一方面，由图(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ；‎ 由图(2)可知，α＝2kπ＋β－θ.‎ 于是α－β＝2kπ±θ，k∈Z.‎ 所以cos(α－β)＝cos θ.‎ 即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.‎ ‎2．辨明两个易误点 ‎(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．‎ ‎(2)在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．‎ ‎3．有关公式的逆用及变形用 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.‎ ‎4．角的变换技巧 α＝(α＋β)－β；‎ α＝β－(β－α)；‎ α＝[(α＋β)＋(α－β)]；‎ β＝[(α＋β)－(α－β)]；‎ ＋α＝－.‎ ‎1. 已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ ‎　A　[解析] 因为cos α＝－，α是第三象限的角，‎ 所以sin α＝－＝－ ‎＝－，‎ 所以cos＝cos cos α－sin sin α ‎＝×－×＝.‎ ‎2. 化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎　B　[解析] 法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.‎ 法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°‎ ‎＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.‎ ‎3．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎　D　[解析] tan(α＋β)＝tan ‎＝＝＝1.‎ ‎4．已知sin＝，则sin 2x＝________．‎ ‎[解析] 因为sin＝，所以cos x－sin x＝，所以cos x－sin x＝，则1－sin 2x＝ ‎，‎ 所以sin 2x＝.‎ ‎[答案] ‎5．sin 15°＋sin 75°的值是________．‎ ‎[解析] sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ ‎[答案] ‎　三角函数公式的直接应用[学生用书P69]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2017·贵阳市监测考试)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　　　B. C. D．－ ‎(2)(2017·广州市综合测试(一))已知f(x)＝sin，若sin α＝，则f＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【解析】　(1)因为α∈，所以cos α＝－，所以tan α＝－，所以tan＝＝＝.‎ ‎(2)因为sin α＝，所以cos α＝－，所以f＝sin＝sin＝sin α＋cos α＝－.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．‎ ‎ [通关练习]‎ ‎1．(2017·湖南省东部六校联考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎　B　[解析] 因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝＝，所以sin＝2sincos＝，故选B.‎ ‎2．已知tan＝，则tan＝(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－4 D．4‎ ‎　C　[解析] 因为tan＝＝，‎ 所以tan＝＝＝－4.故选C.‎ ‎　三角函数公式的活用(高频考点)[学生用书P70]‎ 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，解答题中研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．‎ 高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；‎ ‎(2)二倍角公式的活用．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝2tan，则＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎(2)求值：＝________．‎ ‎【解析】　(1)因为cos＝cos ‎＝sin，‎ 所以原式＝＝ ‎＝.‎ 又因为 tan α＝2tan，所以原式＝＝3.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－4.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)－4 三角函数公式的应用技巧 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ 公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　两角和与差公式的逆用及变形应用 ‎1．已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．‎ ‎[解析] 由cos＋sin α＝，可得cos α＋sin α＋sin α＝，即sin α＋cos α＝，所以sin＝，sin＝，‎ 所以sin＝－sin＝－.‎ ‎[答案] － ‎2．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．‎ ‎[解析] －1＝tan＝tan(α＋β)＝，‎ 所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β.‎ 所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，‎ 即(1－tan α)(1－tan β)＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎ 角度二　二倍角公式的活用 ‎3．化简·sin 2α－2cos2α＝(　　)‎ A．cos2α B．sin2α C．cos 2α D．－cos 2α ‎　D　[解析] 原式＝·sin αcos α－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.‎ ‎　角的变换[学生用书P70]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C.或－ D.或 ‎(2)(2017·六盘水质检)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【解析】　(1)因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，所以sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A.‎ ‎(2)因为α∈，所以2α∈(0，π)．‎ 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，‎ 所以sin 2α＝＝，‎ 而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，‎ 所以sin(α＋β)＝＝，‎ 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)D ‎ 若本例(2)条件不变，求cos 2β的值．‎ ‎[解] 因为cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，‎ 所以sin α＝，sin(α＋β)＝，‎ cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ 所以cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝.‎ 角的变换技巧 ‎(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；‎ ‎(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎ [通关练习]‎ ‎1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan 的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎　B　[解析] tan＝tan＝＝＝.‎ ‎2．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎　A　[解析] 因为β∈，sin β＝，‎ 所以cos β＝.‎ 又因为α－β∈(0，π)，cos(α－β)＝，‎ 所以sin(α－β)＝，‎ 所以sin α＝sin[(α－β)＋β]‎ ‎＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ‎＝.‎ ‎ [学生用书P276(独立成册)]‎ ‎1．(2017·陕西西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　B. C. D．－ ‎　B　[解析] sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.‎ ‎2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎　C　[解析] cos2＝＝＝＝，故选C.‎ ‎3．(2017·武汉市武昌区调研)已知cos(π－α)＝，且α为第三象限角，则tan 2α的值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎　C　[解析] 因为cos α＝－，且α为第三象限角，所以sin α＝－，tan α＝，tan 2α＝＝＝，故选C.‎ ‎4．(2017·兰州市实战考试)sin 2α＝，0<α<，则cos的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎　D　[解析] cos＝＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，0<α<，所以sin α＋cos α＝，故选D.‎ ‎5．(2017·东北四市联考(二))已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D．0‎ ‎　D　[解析] 因为sin＝cos，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝－cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.‎ ‎6．已知sin＝，则cos的值是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎　D　[解析] 因为sin＝，‎ 所以cos＝cos ‎＝1－2 sin2＝，‎ 所以cos＝cos ‎＝cos＝－cos＝－.‎ ‎7．已知cos＝sin，则tan α＝________．‎ ‎[解析] 因为cos＝sin，‎ 所以cos αcos －sin αsin＝sin αcos－cos αsin，‎ 所以tan α＝1.‎ ‎[答案] 1‎ ‎8．已知sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，则cos α＝________．‎ ‎[解析] 因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，‎ 所以cos(α－45°)＝＝，‎ 所以cos α＝cos[(α－45°)＋45°]‎ ‎＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°‎ ‎＝.‎ ‎[答案] ‎9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________．‎ ‎[解析] 依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.‎ 又β是第三象限角，因此有cos β＝－.‎ sin＝－sin(β＋)＝－sin βcos －cos βsin ＝.‎ ‎[答案] ‎10．(2017·河北衡水中学二调)若tan α＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．‎ ‎[解析] 因为tan α＋＝，‎ 所以(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或.‎ 因为α∈，所以tan α>1，所以tan α＝3，‎ sin＋2coscos2α＝sin 2α＋cos 2α＋＝(sin 2α＋2cos 2α＋1)‎ ‎＝＝＝0.‎ ‎[答案] 0‎ ‎11．(2015·高考广东卷)已知tan α＝2.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎[解] (1)tan＝＝＝－3.‎ ‎(2)＝‎ ＝＝＝1.‎ ‎12．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求cos θ的值．‎ ‎[解] (1)f＝Asin＝Asin ＝A＝，‎ 所以A＝3.‎ ‎(2)f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin ‎＝3 ‎＝6sin θcos ＝3sin θ＝，‎ 所以sin θ＝.又因为θ∈，‎ 所以cos θ＝＝＝.‎ ‎13．(2017·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为(　　)‎ A. B. C. D．与a0有关的一个值 ‎　A　[解析] 集合相对a0的“正弦方差”‎ ω＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎14．(2017·郑州第一次质量预测)△ABC的三个内角为A、B、C，若＝tan，则tan A＝___________________________.‎ ‎[解析] ＝＝‎ ‎－＝－tan＝tan ‎＝tan，所以－A－＝－，所以A＝－＝＝，所以tan A＝tan＝1.‎ ‎[答案] 1‎ ‎15．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α和tan 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值．‎ ‎[解] (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，‎ 即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.‎ 又2α∈，所以cos 2α＝＝，‎ 所以tan 2α＝＝.‎ ‎(2)因为β∈，β－∈，‎ sin＝，‎ 所以cos＝，‎ 于是sin 2＝2sin·cos＝.‎ 又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，‎ 又2β∈，所以sin 2β＝，‎ 又cos2α＝＝，α∈，‎ 所以cos α＝，sin α＝.‎ 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ‎＝×－× ‎＝－.‎ ‎16．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值．‎ ‎(2)若f＝－，α∈，求sin的值．‎ ‎[解] (1)因为y＝a＋2cos2x是偶函数，所以g(x)＝cos(2x＋θ)为奇函数，而θ∈(0，π)，故θ＝，所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin 2x，代入得a＝－1.所以a＝－1，θ＝.‎ ‎(2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin 2x＝－cos 2xsin 2x＝－sin 4x，因为f＝－，‎ 所以f＝－sin α＝－，故sin α＝，又α∈，所以cos α＝－，sin＝×＋×＝.‎