- 1.82 MB
- 2021-05-20 发布
www.ks5u.com
高一年级期末考试
数学试题（理） 2019.7
一、选择题：(每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的).
1.若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可．
【详解】A: =（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．
B:== 与n有关系，因此不是等差数列.
C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；
D: 当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；
故选：C
【点睛】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.已知，若，则下列不等式成立的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.
【详解】解：选项A：取，此时满足条件，则，显然，所以选项A错误；
选项B：取，此时满足条件，则，显然，所以选项B错误；
选项C：因为，所以，因为，所以，
选项C正确；
选项D：取，当，则，所以，所以选项D错误；
故本题选C.
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.
3.等边三角形的边长为1，，，，那么等于（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在等边三角形中，得到，且向量的两两夹角都为，利用数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，在等边三角形中，，，，
则，且向量两两夹角都为，
所以，
故选D.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.在中，已知， 那么一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简sin Acos B＝sin C=，即得三角形形状.
【详解】由sin Acos B＝sin C得
所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），
所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,
所以三角形是直角三角形.
故答案为：A
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5.若满足不等式组，则的最小值是（ ）
A. -2 B. -3 C. -4 D. -5
【答案】D
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．
【详解】画出x，y满足不等式组表示的平面区域，
如图所示：
平移目标函数z＝2x﹣3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）
当目标函数过点A时，z取得最小值，
∴z的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．
6.等差数列中，则（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，根据题意，求解，进而可求得，即可得到答案.
【详解】由题意，设等差数列的公差为，
则，即，
又由，故选D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时
的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求得数列的通项公式为，令，解得，即可得到答案.
【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得，即
又由，即，
所以等差数列的公差为，
又由，解得，
所以数列的通项公式为，
令，解得，
所以使得取得最大值时的值为8，故选D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8.我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
【答案】B
【解析】
【分析】
首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出,进而求出立春”时日影长度为.
【详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，
且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．
，
解得，
“立春”时日影长度为：分．
故选B．
【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．
9.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．
考点：余弦定理．
10.已知角A满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将等式两边平方，利用二倍角公式可得出的值。
【详解】，在该等式两边平方得，
即，解得，故选：A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角正弦公式的应用，一般地，解三角函数有关问题时，遇到，常用平方法来求解，考查计算能力，属于中等题。
11.将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
将函数向左平移个单位后，得到函数解析式为：
图象关于点对称
则对称中心在函数图象上，可得：
解得，
，
，
则函数在上的最小值为
故选
12.已知各项均为正数数列的前项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由得到an=n，任意的，恒成立等价于，利用作差法求出的最小值即可.
【详解】当n=1时，，又∴
∵an+12=2Sn+n+1，∴当n≥2时，an2=2Sn﹣1+n，两式相减可得：an+12﹣an2=2an+1，
∴an+12=（an+1）2，
∵数列{an}是各项均为正数的数列，∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，
显然n=1时，适合上式
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴an=1+（n﹣1）=n．
任意的，恒成立，
即恒成立
记
，
，
∴为单调增数列，即的最小值为
∴，即
故选：C
【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
二、填空题.
13.若，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出，将展开即可得解。
【详解】因为，，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了三角恒等式及两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题。
14.已知向量，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
把平方，将代入，化简即可得结果.
【详解】因为，
所以，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
15.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，
∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），
∴S△ABC＝bcsinA
＝×2sinB×2sin（﹣B）×
＝sinB（cosB+sinB）
＝sin（2B﹣）+，
∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，
∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．
故答案为：（1，]．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.若正实数满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由得，将转化为，
整理，利用基本不等式即可求解。
【详解】因为，所以.
所以
当且仅当，即：时，等号成立
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查了构造法及转化思想，考查基本不等式的应用及计算能力，属于基础题。
三、解答题。
17.在等差数列中，已知．
（1）求通项；
（2）求的前项和．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）设出等差数列的基本量，首项和公差，根据条件列出方程组，解出和，写出的通项.
（2）由（1）中求出的基本量，根据等差数列的求和公式，写出
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
，解得
（2）由（1）可知，
【点睛】本题考查等差数列基本量计算，等差数列通项和求和的求法，属于简单题.
18.已知不等式.
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围．
【答案】（1） ； （2）
【解析】
【分析】
（1）不等式为，解得
（2）不等式的解集非空，则，求解即可
【详解】（1）当时，不等式，解得，
故不等式的解集为；
（2）不等式的解集非空，则，
即，解得，或，
故实数的取值范围是．
【点睛】二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想。
19.在中，角所对的边分别为．且．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；
（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】（1）因为，
由正弦定理，
得，
∴；
（2）∵，
由余弦定理得，
即，
所以，
解得或（舍去），
所以
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．
20.已知为数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，(2)根据错位相减法求结果.
【详解】(1)因为，所以当时， ,相减得 ， ，当时， ，因此数列 为首项为，2为公比的等比数列，
(2),所以，
则2，
两式相减得
.
【点睛】本题考查错位相减法求和以及由和项求通项，考查基本求解能力，属中档题.
21.如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角
（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？
（2）若当变化时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）3≤x≤4．
【解析】
试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求最值，最后根据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据a的范围确定范围，最后解不等式得的取值范围.
试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，
则，且，
由已知观察者离墙米，且，
则，
所以， ，
当且仅当时，取“”．
又因为在上单调增，所以，当观察者离墙米时，视角最大．
（2）由题意得，，又，
所以，
所以，
当时，，所以，
即，解得或，
又因为，所以，
所以的取值范围为．
22.已知数列满足，令
（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得
，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
又，
∴数列是首项为8，公比为3等比数列，
∴．
（2）当为正偶数时，
．
当为正奇数时，
．
∴．
【点睛】（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项，这一点容易忽视．
（2）数列求和时要根据数列通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，求解时要注意确定数列的项数．