2018届二轮复习（理）回扣7　立体几何课件（全国通用） 53页

回扣 7 　 立体几何 考前回扣 基础回归 易错提醒 回归训练 Ⅰ 基础回归 1. 概念理解 (1) 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系 . (2) 三视图 ① 三视图的正 ( 主 ) 视图、侧 ( 左 ) 视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线 . 画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高 . ② 三视图排列规则：俯视图放在正 ( 主 ) 视图的下面，长度与正 ( 主 ) 视图一样；侧 ( 左 ) 视图放在正 ( 主 ) 视图的右面，高度和正 ( 主 ) 视图一样，宽度与俯视图一样 . 2. 柱、锥、台、球体的表面积和体积 3. 平行、垂直关系的转化示意图 (1) (2) 两个结论 4. 用空间向量证明平行垂直 设直线 l 的方向向量为 a ＝ ( a 1 ， b 1 ， c 1 ) ，平面 α ， β 的法向量分别为 μ ＝ ( a 2 ， b 2 ， c 2 ) ， v ＝ ( a 3 ， b 3 ， c 3 ). 则有： (1) 线面平行 l ∥ α ⇔ a ⊥ μ ⇔ a · μ ＝ 0 ⇔ a 1 a 2 ＋ b 1 b 2 ＋ c 1 c 2 ＝ 0. (2) 线面垂直 l ⊥ α ⇔ a ∥ μ ⇔ a ＝ k μ ⇔ a 1 ＝ ka 2 ， b 1 ＝ kb 2 ， c 1 ＝ kc 2 . (3) 面面平行 α ∥ β ⇔ μ ∥ v ⇔ μ ＝ λ v ⇔ a 2 ＝ λa 3 ， b 2 ＝ λb 3 ， c 2 ＝ λc 3 . (4) 面面垂直 α ⊥ β ⇔ μ ⊥ v ⇔ μ · v ＝ 0 ⇔ a 2 a 3 ＋ b 2 b 3 ＋ c 2 c 3 ＝ 0. 5. 用向量求空间角 (1) 直线 l 1 ， l 2 的夹角 θ 有 cos θ ＝ |cos 〈 l 1 ， l 2 〉 |( 其中 l 1 ， l 2 分别是直线 l 1 ， l 2 的方向向量 ). (2) 直线 l 与平面 α 的夹角 θ 有 sin θ ＝ |cos 〈 l ， n 〉 |( 其中 l 是直线 l 的方向向量， n 是平面 α 的法向量 ). (3) 平面 α ， β 的夹角 θ 有 cos θ ＝ |cos 〈 n 1 ， n 2 〉 | ，则 α — l — β 二面角的平面角为 θ 或 π － θ ( 其中 n 1 ， n 2 分别是平面 α ， β 的法向量 ). Ⅱ 易错提醒 1. 混淆 “ 点 A 在直线 a 上 ” 与 “ 直线 a 在平面 α 内 ” 的数学符号关系，应表示为 A ∈ a ， a ⊂ α . 2. 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线 . 在还原空间几何体实际形状时一般是以正 ( 主 ) 视图和俯视图为主 . 4. 不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错 . 如由 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l ， m ⊥ l ，易误得出 m ⊥ β 的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m ⊂ α 的限制条件 . 5. 注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系 . 对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量 关系 . 6. 几种角的范围 两条异面直线所成的角 0°< α ≤ 90° ； 直线与平面所成的角 0° ≤ α ≤ 90° ； 二面角 0° ≤ α ≤ 180° ； 两条相交直线所成的角 ( 夹角 )0°< α ≤ 90° ； 直线的倾斜角 0° ≤ α <180° ； 两个向量的夹角 0° ≤ α ≤ 180° ； 锐角 0°< α <90°. 7. 空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错 . III 回归训练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.(2017· 重庆外国语学校月考 ) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 √ 答案 解析 2. 直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 的直观图及三视图如图所示， D 为 AC 的中点，则下列命题是假命题的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. AB 1 ∥ 平面 BDC 1 B. A 1 C ⊥ 平面 BDC 1 C. 直三棱柱的体积 V ＝ 4 D . 直三棱柱的外接球的表面积为 4 π √ 解析　 由三视图可知，直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 的侧面 B 1 C 1 CB 是边长为 2 的正方形，底面 ABC 是等腰直角三角形， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝ 2. 连接 B 1 C 交 BC 1 于点 O ，连接 OD . 在 △ CAB 1 中， O ， D 分别是 B 1 C ， AC 的中点， ∴ OD ∥ AB 1 ， 又 OD ⊂ 平面 BDC 1 ， AB 1 ⊄ 平面 BDC 1 ， ∴ AB 1 ∥ 平面 BDC 1 . 故 A 正确 ； 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ⊥ 平面 ABC ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ AA 1 ⊥ BD . 又 AB ＝ BC ＝ 2 ， D 为 AC 的中点， ∴ BD ⊥ AC ， 又 AA 1 ∩ AC ＝ A ， AA 1 ， AC ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ， ∴ BD ⊥ 平面 AA 1 C 1 C . ∴ BD ⊥ A 1 C . 又 A 1 B 1 ⊥ B 1 C 1 ， A 1 B 1 ⊥ B 1 B ， ∴ A 1 B 1 ⊥ 平面 B 1 C 1 CB ， ∴ A 1 B 1 ⊥ BC 1 . ∵ BC 1 ⊥ B 1 C ，且 A 1 B 1 ∩ B 1 C ＝ B 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ BC 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C . ∴ BC 1 ⊥ A 1 C ， 又 BD ∩ BC 1 ＝ B ， BD ， BC 1 ⊂ 平面 BDC 1 ， ∴ A 1 C ⊥ 平面 BDC 1 . 故 B 正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 已知直线 l ， m 和平面 α ，则下列结论正确的是 A. 若 l ∥ m ， m ⊂ α ，则 l ∥ α B . 若 l ⊥ α ， m ⊂ α ，则 l ⊥ m C. 若 l ⊥ m ， l ⊥ α ，则 m ∥ α D . 若 l ∥ α ， m ⊂ α ，则 l ∥ m √ 解析　 若 l ∥ m ， m ⊂ α ，则 l ∥ α 或 l ⊂ α ， 故 A 错误； 若 l ⊥ α ， m ⊂ α ，则 l ⊥ m ， B 正确； 若 l ⊥ m ， l ⊥ α ，则 m ⊂ α 或 m ∥ α ，故 C 错误； 若 l ∥ α ， m ⊂ α ，则 l ∥ m 或 l ， m 异面，故选 B. 解析　 由题意知， α ∩ β ＝ l ， ∴ l ⊂ β ， ∵ n ⊥ β ， ∴ n ⊥ l . 故选 C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 已知互相垂直的平面 α ， β 交于直线 l . 若直线 m ， n 满足 m ∥ α ， n ⊥ β ， 则 A. m ∥ l B. m ∥ n C. n ⊥ l D. m ⊥ n √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 已知 m ， n 为异面直线， m ⊥ 平面 α ， n ⊥ 平面 β . 直线 l 满足 l ⊥ m ， l ⊥ n ， l ⊄ α ， l ⊄ β ，则 A. α ∥ β 且 l ∥ α B. α ⊥ β 且 l ⊥ β C. α 与 β 相交，且交线垂直于 l D. α 与 β 相交，且交线平行于 l √ 解析　 假设 α ∥ β ，由 m ⊥ 平面 α ， n ⊥ 平面 β ，得 m ∥ n ， 这与已知 m ， n 为异面直线矛盾，那么 α 与 β 相交， 设交线为 l 1 ，则 l 1 ⊥ m ， l 1 ⊥ n ，在直线 m 上任取一点作 n 1 平行于 n ， 那么 l 1 和 l 都垂直于直线 m 与 n 1 所确定的平面，所以 l 1 ∥ l . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 如图，正方体 AC 1 的棱长为 1 ，过点 A 作平面 A 1 BD 的垂线，垂足为点 H ，以下四个命题： ① 点 H 是 △ A 1 BD 的垂心； ② AH 垂直于平面 CB 1 D 1 ； ③ 直线 AH 和 BB 1 所成角为 45° ； ④ AH 的延长线经过点 C 1 ，其中假命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ AB ＝ AA 1 ＝ AD ， BA 1 ＝ BD ＝ A 1 D ， ∴ 三 棱锥 A － BA 1 D 为正三棱锥， ∴ 点 H 是 △ A 1 BD 的垂心，故 ① 正确； ∵ 平面 A 1 BD 与平面 B 1 CD 1 平行， AH ⊥ 平面 A 1 BD ， ∴ AH ⊥ 平面 CB 1 D 1 ，故 ② 正确； ∵ AA 1 ∥ BB 1 ， ∴∠ A 1 AH 就是直线 AH 和 BB 1 所成的角， 在 直角三角形 AHA 1 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据正方体的对称性得到 AH 的延长线经过 C 1 ， 故 ④ 正确，故选 B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 将正方体的纸盒展开如图，直线 AB ， CD 在原 正 方 体的位置关系 是 A. 平行 B. 垂直 C. 相交成 60° 角 D. 异面且成 60° 角 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 如图，直线 AB ， CD 异面 . 因为 CE ∥ AB ， 所以 ∠ ECD 即为直线 AB ， CD 所成的角 ， 因为 △ CDE 为等边三角形 ， 故 ∠ ECD ＝ 60°. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 设球的半径为 R ，由题意可得 (2 R ) 2 ＝ 3 2 ＋ 4 2 ＋ 5 2 ＝ 50 ， ∴ 4 R 2 ＝ 50 ，球的表面积为 S ＝ 4π R 2 ＝ 50π . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图，三棱锥 A － BCD 的棱长全相等，点 E 为 AD 的中点，则直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 方法一 　取 AB 中点 G ，连接 EG ， CG . ∵ E 为 AD 中点， ∴ EG ∥ BD . ∴∠ GEC 为 CE 与 BD 所成的角 . 设 AB ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为 2 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平行 而 BD ⊂ 平面 BDC ， MN ⊄ 平面 BDC ， 所以 MN ∥ 平面 BDC . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 已知长方体 ABCD — A ′ B ′ C ′ D ′ ， E ， F ， G ， H 分别是棱 AD ， BB ′ ， B ′ C ′ ， DD ′ 的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面 AB ′ D ′ 平行的有 ____ 条 . 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 如图，连接 EG ， EH ， FG ， ∵ EH 綊 FG ， ∴ EFGH 四点共面，由 EG ∥ AB ′ ， EH ∥ AD ′ ， EG ∩ EH ＝ E ， AB ′∩ AD ′ ＝ A ， 可得平面 EFGH 与平面 AB ′ D ′ 平行， ∴ 符合条件的共有 6 条 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PA ⊥ 平面 ABCD ， PA ＝ AB ，则 PB 与 AC 所成角的大小是 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系， 设正方形 ABCD 的边长为 1 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ① 中平行于同一平面的两平面平行是正确的； ② 中 m ， β 可能平行，相交或直线在平面内； ③ 中由面面垂直的判定定理可知结论正确； ④ 中 m ， α 可能平行或线在面内 . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 如图 (1) ，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， ∠ DAB ＝ 60° ，点 E ， F 分别是边 CD ， CB 的中点， AC ∩ EF ＝ O ，沿 EF 将 △ CEF 翻折到 △ PEF ，连接 PA ， PB ， PD ，得到如图 (2) 所示的五棱锥 P － ABFED ，且 PB ＝ . (1) 求证： BD ⊥ PA ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明　 ∵ 点 E ， F 分别是边 CD ， CB 的中点 ， ∴ BD ∥ EF . ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直， ∴ BD ⊥ AC . ∴ EF ⊥ AC . ∴ EF ⊥ AO ， EF ⊥ PO . ∵ AO ⊂ 平面 POA ， PO ⊂ 平面 POA ， AO ∩ PO ＝ O ， ∴ EF ⊥ 平面 POA ， ∴ BD ⊥ 平面 POA ， 又 PA ⊂ 平面 POA ， ∴ BD ⊥ PA . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 求四棱锥 P － BFED 的体积 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 设 AO ∩ BD ＝ H . 连接 BO ， ∵∠ DAB ＝ 60° ， ∴△ ABD 为等边三角形， ∴ BD ＝ 4 ， BH ＝ 2 ， 在 △ PBO 中， BO 2 ＋ PO 2 ＝ 10 ＝ PB 2 ， ∴ PO ⊥ BO . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ PO ⊥ EF ， EF ∩ BO ＝ O ， EF ⊂ 平面 BFED ， BO ⊂ 平面 BFED ， ∴ OP ⊥ 平面 BFED ， ∴ 四棱锥 P － BFED 的体积 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 如图，四棱锥 S － ABCD 的底面是正方形， SD ⊥ 平面 ABCD ， SD ＝ AD ＝ a ，点 E 是 SD 上的点，且 DE ＝ λa (0 ＜ λ ≤ 1). (1) 求证：对任意的 λ ∈ (0,1] ，都有 AC ⊥ BE ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明　 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 则 A ( a, 0,0) ， B ( a ， a, 0) ， C (0 ， a, 0) ， D (0,0,0) ， E (0,0 ， λa ). 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 若二面角 C － AE － D 的大小为 60° ，求 λ 的值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 显然 n ＝ (0,1,0) 是平面 ADE 的一个法向量，设平面 ACE 的法向量为 m ＝ ( x ， y ， z ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取 z ＝ 1 ，则 x ＝ y ＝ λ ， ∴ m ＝ ( λ ， λ ， 1) ， ∵ 二面角 C － AE － D 的大小为 60° ，