【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 15页

‎2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 ‎ 1、函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知正数，满足，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 3、实数，，满足，则的最大值为__________．‎ ‎4、设实数，，，满足，，那么的最大值是__________．‎ ‎5、已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则的最大值为________．‎ ‎6、已知，若，则的最小值为__________；若，则的最大值为__________． 7、已知x，y，z是正实数，且满足.‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)求证：‎ ‎8、已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-3，3]．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=m，求证：p2+q2+r2≥3.‎ ‎9、已知，且.‎ ‎(I)试利用基本不等式求的最小值；‎ ‎(Ⅱ)若实数满足，求证：.‎ ‎10、已知，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对一切实数，，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎11、已知，求证．‎ ‎12、（1）已知，证明：；‎ ‎（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎13、若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．‎ ‎14、若正数，，满足，求的最小值.‎ ‎15、已知函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）设，且，求证：.‎ ‎16、已知.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求函数的零点个数.‎ ‎17、已知，且，求的最大值．‎ ‎18、已知.若函数的最小值为4.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎19、设a，b，c都是正数，求证：‎ ‎20、已知，，，设函数，‎ Ⅰ若，求不等式的解集；‎ Ⅱ若函数的最小值为1，证明：‎ 参考答案 ‎1、答案：B 分析：直接利用柯西不等式求函数的最大值.‎ 详解：由柯西不等式得，‎ 所以 （当且仅当即x=时取最大值）‎ 故答案为：B.‎ 名师点评：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则 ‎，其中等号当且仅当时成立.‎ ‎2、答案：C 分析：结合对进行搭配，利用柯西不等式求解即可.‎ 详解：正数满足，‎ 则，‎ ‎，‎ 故，‎ 的最大值为，故选C.‎ 名师点评：本题主要考查柯西不等式求最值，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 ‎3、答案：3‎ 分析：由，可得，换元后利用柯西不等式求解即可.‎ 详解：，‎ 可得，‎ 设，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，时，的最大值为，‎ 此时，‎ 由此可得的最大值为，故答案为.‎ 名师点评：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.‎ ‎4、答案：.‎ 分析：直接利用柯西不等式求解即可.‎ 详解：,‎ ‎，‎ 的最大值是，故答案为.‎ 名师点评：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 ‎5、答案：‎ 分析：根据柯西不等式，将原式进行配凑，并结合已知条件加以计算，即可得到的最大值.‎ 详解：根据柯西不等式，可得 ‎ ，‎ 当且仅当，即时，的最大值为18，‎ 因此的最大值为.‎ 名师点评：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果.‎ ‎6、答案：8 ‎ 根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x+2y≥2，变形可得2xy，进而可得x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，x，y∈R+，且x+2y＝4，则有4＝x+2y≥2，变形可得2xy，（当且仅当x＝2y时等号成立）‎ x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，‎ 又由4xy，则有x2+4y2，‎ 即x2+4y2的最小值为8；‎ 若，则由柯西不等式得 ‎（）（1+），（当且仅当x＝4y时等号成立），‎ 所以4‎ 即的最大值为，‎ 故答案为：(1). 8 (2). ．‎ 名师点评：‎ 本题考查基本不等式的性质以及应用，考查了柯西不等式，属于中档题．‎ ‎7、答案：试题分析：(1)利用“乘1法”，根据基本不等式可求的最小值；‎ ‎(2)由柯西不等式即可得证.‎ 详解：‎ ‎(1)∵x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，‎ ‎∴＋＋＝(x＋2y＋3z)‎ ‎＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，‎ 当且仅当＝且＝且＝时取等号．‎ ‎(2)由柯西不等式可得 ‎1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，‎ ‎∴x2＋y2＋z2≥，‎ 当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．‎ 故x2＋y2＋z2≥‎ 名师点评：本题考查基本不等式及柯西不等式，属基础题. 8、答案：（1）3（2）见解析 试题分析：分析：（1）根据的解析式得出的单调性和奇偶性，根据解集得出，故而求出的值.‎ ‎（2）利用柯西不等式即可证得结果.‎ 详解：(1)‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 又是偶函数，的解集是，‎ 所以，即.‎ ‎（2）证明：由（1）知,p+q+r=3,又p,q,r为正实数,‎ ‎∴由柯西不等式得,‎ 即 名师点评：该题考查的是有关不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有根据绝对值的意义取绝对值符号，不等式的解集的端点值的特点，柯西不等式，需要对基础知识牢固掌握. 9、答案：(Ⅰ)3；(Ⅱ)证明见解析.‎ 试题分析：（I）由条件根据，利用基本不等式求得m的最小值t；‎ ‎（Ⅱ）由条件利用柯西不等式求得当且仅当时，，从而证得结论.‎ ‎(I)由三个数的均值不等式得：‎ ‎(当且仅当即时取“=”号)，故有.‎ ‎（Ⅱ），由柯西不等式得：‎ ‎（当且仅当即时取“=”号）‎ 整理得：，即.‎ 名师点评：利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法 ‎（1）在运用基本不等式求函数的最大(小)值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．‎ ‎（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题． 10、答案：(1)证明见解析.‎ ‎(2)‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；‎ ‎(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.‎ 试题 ‎(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,‎ ‎,的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)由柯西不等式得.‎ 若不等式对一切实数恒成立,‎ 则,其解集为,‎ 即实数的取值范围为. 11、答案：试题分析：根据（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0则()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋，然后利用基本不等式可证明不等式．‎ 证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，‎ 所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋‎ ‎≥5＋2＝9.‎ 而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．‎ 证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得 ‎()[(2a＋1)＋(2b＋1)]‎ ‎≥(＋)2‎ ‎＝(1＋2)2＝9.‎ 由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，‎ 所以．‎ 名师点评：本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，解题的关键 ‎[（2a+1）+（2b+1）]=1的运用，属于中档题． 12、答案：(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ 试题分析：（Ⅰ）利用条件运用基本不等式，将原式化为，再应用条件，即可得结果；（Ⅱ）“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”，只需求出的最小值即可得结果.‎ 试题（Ⅰ）证明：因为，‎ 所以.‎ 所以要证明，‎ 即证明.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.‎ 当时，‎ 此时，‎ 要使恒成立，必须，解得.‎ 当时，不可能恒成立.‎ 当时，‎ 此时，‎ 要使恒成立，必须，解得.‎ 综上可知，实数的取范为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法③求得的范围. 13、答案：4‎ 试题分析：分析：根据柯西不等式可得结果.‎ 详解：证明：由柯西不等式，得．‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时，不等式取等号，此时，‎ 所以的最小值为4.‎ 名师点评：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋＋a)(b＋b＋＋b)≥(a1b1＋a2b2＋＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． 14、答案：.‎ 试题分析：由a+2b+4c＝3，可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）＝10，由柯西不等式可得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为正数，，满足，所以，‎ 所以，‎ 即.‎ 当且仅当，，时，取最小值.‎ 名师点评：‎ 本题考查三元柯西不等式及其应用，考查基本的运算能力，属于基础题． 15、答案：（1）；（2）证明见解析.‎ 试题分析：‎ ‎（1）法1：零点分段可得函数的最大值.‎ 法2：由三角不等式的性质可得函数的最大值为.‎ 法3：由绝对值不等式的几何意义知可得函数的最大值为.‎ ‎（2）法1：由题意可知.当且仅当，，时取等号，题中的命题得证.‎ 法2：由题意结合柯西不等式有，即，命题得证.‎ 试题 ‎（1）法1：由知，即.‎ 法2：由三角不等式得，即.‎ 法3：由绝对值不等式的几何意义知，即.‎ ‎（2）法1：∵，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当，即，，时取等号，‎ 即.‎ 法2：∵，‎ ‎∴由柯西不等式得 ‎，‎ 整理得，‎ 当且仅当，即，，时取等号.‎ 名师点评：绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 16、答案：(1)见解析;(2)见解析.‎ 试题分析：由柯西不等式得，再次代入得时，取等号由（1）知，时，，此时仅有一个零点；当不全相等时，，此时零点个数为 ‎（1）由柯西不等式得 ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号.‎ ‎（2）对于二次函数，‎ 由（1）知，时，，此时仅有一个零点；‎ 当不全相等时，，此时零点个数为. 17、答案：.‎ 试题分析：分析：利用柯西不等式求的最大值.‎ 详解：因为(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1·＋1·‎ ‎＋1·)2，‎ 即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)．‎ 因为a＋b＋c＝1，所以(＋＋)2≤9，‎ 所以＋＋≤3，‎ 当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立．‎ 所以＋＋的最大值为3.‎ 名师点评：本题主要考查利用柯西不等式求最大值，利用柯西不等式求最值时，先要把式子配成柯西不等式的形式，(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，再利用柯西不等式. 18、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）由,结合函数的最小值为，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得，再根据基本不等式即可求得的最小值.‎ 试题(1),‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 的最小值为.‎ ‎(2)法一（基本不不等式处理理）：‎ ‎.‎ 当.等号成立.‎ 法二（柯？西不不等式处理理）‎ ‎：. 19、答案：试题分析：由，利用柯西不等式，即可作出证明。‎ ‎【详解】‎ 证：因为 所以.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了利用柯西不等式的证明问题，其中解答中合理化简，利用柯西不等式证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。 20、答案：（1）（2）见证明 试题分析：（I）根据的取值，得到绝对值不等式，利用零点讨论法进行求解；（II）通过绝对值不等式的性质得到，将式子化成符合柯西不等式的形式，利用柯西不等式求得结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（I），不等式，即 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 解集为 ‎（II）‎ 名师点评：‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法和性质。难点在于对于柯西不等式形式的构造，要巧用数字构造符合题意的形式。 ‎