2018届二轮复习等差数列、等比数列学案（全国通用） 9页

突破点 4 等差数列、等比数列 [核心知识提炼] 提炼 1 等差数列、等比数列的运算 (1)通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn－1. (2)求和公式 等差数列：Sn＝na1＋an 2 ＝na1＋nn－1 2 d； 等比数列：Sn＝a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q (q≠1)． (3)性质 若 m＋n＝p＋q， 在等差数列中 am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中 am·an＝ap·aq. 提炼 2 等差数列、等比数列的判定与证明 数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 ①利用定义，证明 an＋1－an(n∈N*)为同一常数； ②利用中项性质，即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法 ①利用定义，证明an＋1 an (n∈N*)为同一常数； ②利用等比中项，即证明 a2n＝an－1an＋1(n≥2). 提炼 3 数列中项的最值的求法 (1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数 f(n)＝an，利用求解函 数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须 是正整数． (2)利用数列的单调性求解，利用不等式 an＋1≥an(或 an＋1≤an)求解出 n 的取 值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值． (3)转化为关于 n 的不等式组求解，若求数列{an}的最大项，则可解不等式 组 an≥an－1， an≥an＋1； 若求数列{an}的最小项，则可解不等式组 an≤an－1， an≤an＋1， 求出 n 的取值范围之后，再确定取得最值的项． [高考真题回访] 回访 1 等差数列基本量的运算 1．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8＝4S4，则 a10＝( ) A.17 2 B．19 2 C．10 D．12 B [∵公差为 1， ∴S8＝8a1＋8×8－1 2 ×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4， ∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝1 2 ， ∴a10＝a1＋9d＝1 2 ＋9＝19 2 .故选 B.] 2．(2015·全国卷Ⅱ)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5 ＝( ) A．5 B．7 C.9 D．11 A [法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1， ∴S5＝5a1＋a5 2 ＝5a3＝5，故选 A. 法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1， ∴S5＝5a1＋5×4 2 d＝5(a1＋2d)＝5，故选 A.] 3．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则{an} 的前 n 项和 Sn＝( ) A．n(n＋1) B．n(n－1) C.nn＋1 2 D.nn－1 2 A [由 a2，a4，a8 成等比数列，得 a24＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)， ∴a1＝2，∴Sn＝2n＋nn－1 2 ×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．] 回访 2 等比数列基本量的运算 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝1 4 ，a3a5＝4(a4－1)，则 a2＝( ) A．2 B．1 C.1 2 D.1 8 C [法一：∵a3a5＝a24，a3a5＝4(a4－1)，∴a24＝4(a4－1)， ∴a24－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝a4 a1 ＝2 1 4 ＝8， ∴q＝2，∴a2＝a1q＝1 4 ×2＝1 2 ，故选 C. 法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)， 将 a1＝1 4 代入上式并整理，得 q6－16q3＋64＝0， 解得 q＝2， ∴a2＝a1q＝1 2 ，故选 C.] 5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝________. 6 [∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 又∵Sn＝126，∴21－2n 1－2 ＝126，∴n＝6.] 热点题型 1 等差、等比数列的基本运算 题型分析：以等差(比)数列为载体，考查基本量的求解，体现方程思想的应 用是近几年高考命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小． 【例 1】(1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，设 bn＝1 ＋log3an，那么数列{bn}的前 15 项和为( ) 【导 号：04024053】 A．152 B．135 C．80 D．16 (2)设{an}是首项为 a1，公差为－1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 S1，S2， S4 成等比数列，则 a1＝( ) A．2 B．－2 C.1 2 D．－1 2 (1)B (2)D [(1)设等比数列{an}的公比为 q， 由 a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－(a1＋a3)＝90， 所以公比 q＝a2＋a4 a1＋a3 ＝3，首项 a1＝ 30 1＋q2 ＝3， 所以 an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n， 则数列{bn}是等差数列，前 15 项的和为15×2＋16 2 ＝135， 故选 B. (2)由题意知 S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，因为 S1，S2，S4 成等比数列， 所以 S22＝S1·S4，即(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得 a1＝－1 2 ，故选 D.] [方法指津] 在等差(比)数列问题中最基本的量是首项 a1 和公差 d(公比 q)，在解题时往 往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其 他问题也就会迎刃而解．这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法， 这其中蕴含着方程的思想． 提醒：应用等比数列前 n 项和公式时，务必注意公比 q 的取值范围． [变式训练 1] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，Sn 为{an}的前 n 项和， 若 Sn＝51，则 n＝__________. (2)(2017·东北三省四市联考)等比数列{an}中各项均为正数，Sn 是其前 n 项 和，且满足 2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则 S4＝________. (1)6 (2)30 [(1)由 a1＝1，an＋1＝an＋3，得 an＋1－an＝3， 所以数列{an}是首项为 1，公差为 3 的等差数列． 由 Sn＝n＋nn－1 2 ×3＝51， 即(3n＋17)(n－6)＝0， 解得 n＝6 或 n＝－17 3 (舍)． (2)设数列{an}的公比为 q(q＞0)，则 2S3＝2a1＋a1q＋a1q2＝8a1＋3a1q， a1q3＝16， 解得 a1＝2， q＝2， 所以 S4＝21－24 1－2 ＝30.] 热点题型 2 等差、等比数列的基本性质 题型分析：该热点常与数列中基本量的运算综合考查，熟知等差(比)数列的 基本性质，可以大大提高解题效率． 【例 2】(1)(2016·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前 4 项的和为 9，积为 81 4 ，则前 4 项倒数的和为( ) 【导 号：04024054】 A.3 2 B.9 4 C．1 D．2 (2)(2017·中原名校联考)若数列{an}满足 1 an＋1 － 1 an ＝d(n∈N*，d 为常数)，则 称数列{an}为调和数列．已知数列 1 xn 为调和数列，且 x1＋x2＋…＋x20＝200， 则 x5＋x16＝( ) A．10 B．20 C．30 D．40 (1)D (2)B [(1)由题意得 S4＝a11－q4 1－q ＝9，所以1－q4 1－q ＝ 9 a1 .由 a1·a1q·a1q2·a1q3＝(a21q3)2＝81 4 得 a21q3＝9 2. 由等比数列的性质知该数列前 4 项倒数的和为 1 a1 1－ 1 q4 1－1 q ＝ q4－1 a1q3q－1 ＝ 1 a1q3·9 a1 ＝ 9 a21q3 ＝2，故选 D. (2)∵数列 1 xn 为调和数列，∴ 1 1 xn＋1 －1 1 xn ＝xn＋1－xn＝d，∴{xn}是等差数列， ∵x1＋x2＋…＋x20＝200＝20x1＋x20 2 ，∴x1＋x20＝20，又∵x1＋x20＝x5＋x16， ∴x5＋x16＝20.] [方法指津] 1．若{an}，{bn}均是等差数列，Sn 是{an}的前 n 项和，则{man＋kbn}， Sn n 仍为 等差数列，其中 m，k 为常数． 2．若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m 为常 数，m≠0)，{a2n}， 1 an 仍为等比数列． 3．公比不为 1 的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变， 即 a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比数列，且公比为a3－a2 a2－a1 ＝a2－a1q a2－a1 ＝q. 4．(1)等比数列(q≠－1)中连续 k 项的和成等比数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，… 成等比数列，其公比为 qk. (2)等差数列中连续 k 项的和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等 差数列，公差为 k2d. 5．若 A2n－1，B2n－1 分别为等差数列{an}，{bn}的前 2n－1 项的和，则an bn ＝A2n－1 B2n－1 . [变式训练 2](1)已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a2－a27＋2a12＝0，数列{bn} 是等比数列，且 b7＝a7，则 b3b11 等于( ) A．16 B．8 C.4 D．2 (2)(2017·武汉二模)等比数列{an}的各项均为正数，且 a5a6＋a4a7＝18，则 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( ) A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 (1)A (2)B [(1)∵{an}是等差数列，∴a2＋a12＝2a7， ∴2a2－a27＋2a12＝4a7－a27＝0.又 a7≠0，∴a7＝4. 又{bn}是等比数列，∴b3b11＝b27＝a27＝16. (2)由等比数列的性质知 a5a6＝a4a7＝9， 所以 log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10) ＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故选 B.] 热点题型 3 等差、等比数列的证明 题型分析：该热点在考查数列的通项公式，前 n 项和公式的同时，考查 生 的推理论证能力． 【例 3】 (2017·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．已知 S2＝2，S3＝ －6. (1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn＋1，Sn，Sn＋2 是否成等差数列． [解] (1)设{an}的公比为 q.由题设可得 a11＋q＝2， a11＋q＋q2＝－6. 2 分 解得 q＝－2，a1＝－2． 4 分 故{an}的通项公式为 an＝(－2)n． 6 分 (2)由(1)可得 Sn＝a11－qn 1－q ＝－2 3 ＋(－1)n2n＋1 3 ． 8 分 由于 Sn＋2＋Sn＋1＝－4 3 ＋(－1)n2n＋3－2n＋2 3 ＝2 －2 3 ＋－1n2n＋1 3 ＝2Sn， 10 分 故 Sn＋1，Sn，Sn＋2 成等差数列． 12 分 [方法指津] 判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、 等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断． 提醒：利用 a2n＝an＋1·an－1(n≥2) 证明数列{an}为等比数列时，要注意数列中 的各项均不为 0. [变式训练 3] (2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． [解] (1)证明：由题设知 anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得 an ＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 2 分 由于 an＋1≠0，所以 an＋2－an＝λ． 4 分 (2)由题设知 a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得 a2＝λ－1. 5 分 由(1)知，a3＝λ＋1． 6 分 令 2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 7 分 故 an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1＝4n－3. 9 分 {a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n＝4n－1. 11 分 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 12 分