2020届二轮复习等差数列及其前项和课件（32张）（全国通用） 32页

知 识 梳 理 1. 等差数列的概念 (1) 如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差 是 ______________ ，那么这个数列就 为 等差数列 . 数学语言表达式： a n ＋ 1 － a n ＝ d ( n ∈ N + ， d 为常数 ). 同一个常数 2. 等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1) 若等差数列 { a n } 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则其通项公式为 a n ＝ _______________ . a 1 ＋ ( n － 1) d (2) 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A ，使 a ， A ， b 成 ___________ ，那么 A 叫作 a 与 b 的等 差中项，即 A ＝ . 等差数列 3. 等差数列的性质 (1) 通项公式的推广： a n ＝ a m ＋ ____________ ( n ， m ∈ N + ). (2) 若 { a n } 为等差数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N + ) ，则 ____________________. (3) 若 { a n } 是等差数列，公差为 d ，则 a k ， a k ＋ m ， a k ＋ 2 m ， … ( k ， m ∈ N + ) 是公差为 _______ 的等差数列 . (4) 若 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，则数列 S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， … 也是等差数列 . ( n － m ) d a k ＋ a l ＝ a m ＋ a n md [ 微点提醒 ] 1. 已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ pn ＋ q ( 其中 p ， q 为常数 ) ，则数列 { a n } 一定是等差数列，且公差为 p . 2. 在等差数列 { a n } 中， a 1 ＞ 0 ， d ＜ 0 ，则 S n 存在最大值；若 a 1 ＜ 0 ， d ＞ 0 ，则 S n 存在最小值 . 3. 等差数列 { a n } 的单调性：当 d ＞ 0 时， { a n } 是递增数列；当 d ＜ 0 时， { a n } 是递减数列；当 d ＝ 0 时， { a n } 是常数列 . 4. 数列 { a n } 是等差数列 ⇔ S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数 ). 基 础 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是对任意 n ∈ N + ，都有 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 .( 　　 ) (2) 等差数列 { a n } 的单调性是由公差 d 决定的 .( 　　 ) (3) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数 .( 　　 ) (4) 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 .( 　　 ) 解析　 (3) 若公差 d ＝ 0 ，则通项公式不是 n 的一次函数 . (4) 若公差 d ＝ 0 ，则前 n 项和不是二次函数 . 答案 　 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 必修 5P17 练习 1T3（2） 改编 ) 设数列 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ，若 a 6 ＝ 2 且 S 5 ＝ 30 ，则 S 8 等于 ( 　　 ) A.31 B.32 C.33 D.34 答案　 B 3. ( 必修 5P38A6（2） 改编 ) 在等差数列 { a n } 中，若 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＝ 450 ，则 a 2 ＋ a 8 ＝ ________. 解析　 由等差数列的性质，得 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＝ 5 a 5 ＝ 450 ， ∴ a 5 ＝ 90 ， ∴ a 2 ＋ a 8 ＝ 2 a 5 ＝ 180. 答案　 180 4. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 3 S 3 ＝ S 2 ＋ S 4 ， a 1 ＝ 2 ，则 a 5 ＝ ( 　　 ) A. － 12 B. － 10 C.10 D.12 又 a 1 ＝ 2 ， ∴ d ＝－ 3 ， ∴ a 5 ＝ a 1 ＋ 4 d ＝ 2 ＋ 4 × ( － 3) ＝－ 10. 答案 　 B 5. (2019· 皖南八校模拟 ) 已知等差数列 { a n } 中， a 2 ＝ 1 ，前 5 项和 S 5 ＝－ 15 ，则数列 { a n } 的公差为 ( 　　 ) 解析　 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 答案　 D 6. (2019· 江西赣中南五校联考 ) 在等差数列 { a n } 中，已知 a 3 ＋ a 8 >0 ，且 S 9 <0 ，则 S 1 ， S 2 ， … ， S 9 中最小的是 ______. 解析　 在等差数列 { a n } 中， ∵ a 3 ＋ a 8 >0 ， S 9 <0 ， ∴ a 5 <0 ， a 6 >0 ， ∴ S 1 ， S 2 ， … ， S 9 中最小的是 S 5 . 答案　 S 5 考点一　等差数列基本量的运算 【例 1 】 (1) ( 一题多解 )(2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 a 4 ＋ a 5 ＝ 24 ， S 6 ＝ 48 ，则 { a n } 的公差为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2) (2019· 西安 检测 ) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S 11 ＝ 22 ， a 4 ＝－ 12 ，若 a m ＝ 30 ，则 m ＝ ( 　　 ) A.9 B.10 C.11 D.15 解析　 (1) 法一　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ， (2) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ， ∴ a m ＝ a 1 ＋ ( m － 1) d ＝ 7 m － 40 ＝ 30 ， ∴ m ＝ 10. 答案　 (1)C 　 (2)B 规律方法 　 1. 等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a 1 ， a n ， d ， n ， S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题 . 2. 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 . 【训练 1 】 (1) 等差数列 log 3 (2 x ) ， log 3 (3 x ) ， log 3 (4 x ＋ 2) ， … 的第四项等于 ( 　　 ) A.3 B.4 C.log 3 18 D.log 3 24 (2) ( 一题多解 ) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S 3 ＝ 6 ， S 4 ＝ 12 ，则 S 6 ＝ ________. 解析　 (1) ∵ log 3 (2 x ) ， log 3 (3 x ) ， log 3 (4 x ＋ 2) 成等差数列， ∴ log 3 (2 x ) ＋ log 3 (4 x ＋ 2) ＝ 2log 3 (3 x ) ， ∴ log 3 [2 x (4 x ＋ 2)] ＝ log 3 (3 x ) 2 ，则 2 x (4 x ＋ 2) ＝ 9 x 2 ， 解之得 x ＝ 4 ， x ＝ 0( 舍去 ). ∴ 等差数列的前三项为 log 3 8 ， log 3 12 ， log 3 18 ， (2) 法一 　 设数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 所以 S 6 ＝ 6 a 1 ＋ 15 d ＝ 30. 法二 　 由 { a n } 为等差数列，故可设前 n 项和 S n ＝ An 2 ＋ Bn ， 答案　 (1)A 　 (2)30 考点二　等差数列的判定与证明 　 典例迁移 (1) 证明　 当 n ≥ 2 时，由 a n ＋ 2 S n S n － 1 ＝ 0 ， 【迁移探究 1 】 本例条件不变，判断数列 { a n } 是否为等差数列，并说明理由 . 解 　因为 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) ， a n ＋ 2 S n S n － 1 ＝ 0 ， 所以 S n － S n － 1 ＋ 2 S n S n － 1 ＝ 0( n ≥ 2). 所以当 n ≥ 2 时， a n ＋ 1 － a n 的值不是一个与 n 无关的常数， 故数列 { a n } 不是一个等差数列 . 规律方法 　 1. 证明数列是等差数列的主要方法： (1) 定义法：对于 n ≥ 2 的任意自然数，验证 a n － a n － 1 为同一常数 . (2) 等差中项法：验证 2 a n － 1 ＝ a n ＋ a n － 2 ( n ≥ 3 ， n ∈ N + ) 都成立 . 2. 判定一个数列是等差数列还常用到结论： (1) 通项公式： a n ＝ pn ＋ q ( p ， q 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (2) 前 n 项和公式： S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . 问题的最终判定还是利用定义 . 【训练 2 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 2 ＝ 2 ， S 3 ＝－ 6. (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 求 S n ，并判断 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 是否成等差数列 . 解　 (1) 设 { a n } 的公比为 q ，由题设可得 故 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ( － 2) n . 故 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 成等差数列 . 考点三　等差数列的性质及应用　 多维探究 角度 1 　等差数列项的性质 【例 3 － 1 】 (2019· 九江 一模 ) 在等差数列 { a n } 中， a 1 ＋ 3 a 8 ＋ a 15 ＝ 120 ，则 a 2 ＋ a 14 的值为 ( 　　 ) A.6 B.12 C.24 D.48 解析　 ∵ 在等差数列 { a n } 中， a 1 ＋ 3 a 8 ＋ a 15 ＝ 120 ， 由等差数列的性质， a 1 ＋ 3 a 8 ＋ a 15 ＝ 5 a 8 ＝ 120 ， ∴ a 8 ＝ 24 ， ∴ a 2 ＋ a 14 ＝ 2 a 8 ＝ 48. 答案　 D 角度 2 　等差数列和的性质 【例 3 － 2 】 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 ＝ 9 ， S 6 ＝ 36 ，则 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 等于 ( 　　 ) A.63 B.45 C.36 D.27 解析　 由 { a n } 是等差数列，得 S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 为等差数列， 即 2( S 6 － S 3 ) ＝ S 3 ＋ ( S 9 － S 6 ) ， 得到 S 9 － S 6 ＝ 2 S 6 － 3 S 3 ＝ 45 ， 所以 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ 45. 答案　 B 规律方法 　 1. 项的性质：在等差数列 { a n } 中，若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N + ) ，则 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q . 2. 和的性质：在等差数列 { a n } 中， S n 为其前 n 项和，则 (1) S 2 n ＝ n ( a 1 ＋ a 2 n ) ＝ … ＝ n ( a n ＋ a n ＋ 1 ) ； (2) S 2 n － 1 ＝ (2 n － 1) a n . ∴ S 2 019 ＝ 3 × 2 019 ＝ 6 057. (2) 由 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 3 及等差数列的性质， ∴ 3 a 4 ＝ 3 ，则 a 4 ＝ 1. 又 a 4 ＋ a 12 ＝ 2 a 8 ，得 1 ＋ a 12 ＝ 2 × 8. ∴ a 12 ＝ 16 － 1 ＝ 15. 答案　 (1)6 057 　 (2)A 　 (3)A 考点四　等差数列的前 n 项和及其最值 【例 4 】 (2019· 衡水中学质检 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 ≠ 0 ，常数 λ >0 ，且 λa 1 a n ＝ S 1 ＋ S n 对一切正整数 n 都成立 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 两式相减得 2 a n － 2 a n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2). 所以 a n ＝ 2 a n － 1 ( n ≥ 2) ， 所以数列 { b n } 是单调递减的等差数列，公差为－ lg 2 ， 规律方法 　 求等差数列前 n 项和 S n 的最值的常用方法： (1) 函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S n ＝ an 2 ＋ bn ( a ≠ 0) ，通过配方或借助图象求二次函数的最值 . (2) 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求 S n 的最值 . A.3 B.3 或 4 C.4 或 5 D.5 (2) 已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 ＝ 20 ，公差 d ＝－ 2 ，则前 n 项和 S n 的最大值为 ________. 由 d ≠ 0 ，解得 a 1 ＝－ 3 ， d ＝ 2 ， 则 n － 4 ≥ 0 ，得 n ≥ 4 ， (2) 因为等差数列 { a n } 的首项 a 1 ＝ 20 ，公差 d ＝－ 2 ， 又因为 n ∈ N + ，所以 n ＝ 10 或 n ＝ 11 时， S n 取得最大值，最大值为 110. 答案　 (1)B 　 (2)110 [ 思维升华 ] 1 . 证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前 n 项和 S n ＝ An 2 ＋ Bn 及通项 a n ＝ pn ＋ q 来判断一个数列是否为等差数列 . 2. 等差数列基本量思想 (1) 在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于 a 1 ， d 的方程组进行求解 . (2) 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 a － d ， a ， a ＋ d . 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 a － d ， a ＋ d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 . (3) 灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量 .