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- 2021-05-20 发布
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
热点题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域
例1、（2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C
【变式探究】(1)在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示图形的面积等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝ x＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数 的值是________。
【解析】(1)不等式组对应的平面区域如图，
(2)区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝ x＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝ x＋1只要经过AB的中点即可。
由方程组解得A(1,0)。
由方程组解得B(2,3)。
所以AB的中点坐标为，代入直线方
程y＝ x＋1得，＝ ＋1，解得 ＝。
【提分秘籍】
平面区域面积问题的解题思路
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。
【举一反三】
已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数 的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．－2
【解析】先作出不等式组
对应的平面区域，如图：
要使阴影部分为直角三角形，
当 ＝0时，此三角形的面积为×3×3＝≠1，
所以不成立，
所以 >0，则必有BC⊥AB，
因为x＋y－4＝0的斜率为－1，
所以直线 x－y＝0的斜率为1，即 ＝1
故选A。
热点题型二 求线性目标函数的最值
例2、（2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】(1). -2 (2). 8
【变式探究】设x，y满足约束条件则 ＝x＋2y的最大值为( )
A．8 B．7 C．2 D．1
【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线y＝－x，平移直线y＝－x，当直线y＝－x＋经过点C时在y轴上的截距取得最大值，即 取得最大值，由得即C(3,2)，代入 ＝x＋2y得 max＝3＋2×2＝7，故选B。 .
【提分秘籍】
利用可行域求线性目标函数最值的方法
首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。
【举一反三】
设x，y满足约束条件且 ＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3
【答案】B
热点题型三 求非线性目标函数的最值
例3、 (1)已知x，y满足约束条件当目标函数 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
(2)已知实数x，y满足约束条件则w＝的最小值是( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2。
(2)作出不等式组对应的平面区域如图：
ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)到定点A(0，－1)之间的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为＝1，故选D。
【提分秘籍】
利用可行域求非线性目标函数最值的方法
画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可求得最值。
【举一反三】
已知，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________。
【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示△ABC的内部(包括边界)，
所以当时x2＋y2取得最大值37，
当时x2＋y2取得最小值0。
热点题型四 线性规划的实际应用
例4、某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
平移直线l：y＝－x到l0过点A(5,12)时，
min＝5×1 600＋2 400×12＝36 800.故选C。
【提分秘籍】
求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号。
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等。
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式。
【举一反三】
某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
1. （2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：，本题选择C选项。
2. （2018年浙江卷）若满足约束条件则
的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8
3. （2018年北京卷）若