2020届二轮复习微专题7　解析几何中定点与定值问题课件（20张）（江苏专用） 20页

微专题 7 解析几何中定点与定值问题 微专题7　解析几何中定点与定值问题 题型一　定点问题 例1     (2019北京文,19,14分)已知椭圆 C :   +   =1的右焦点为(1,0),且经过点 A (0,1). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为原点,直线 l : y = kx + t ( t ≠ ± 1)与椭圆 C 交于两个不同点 P , Q ,直线 AP 与 x 轴 交于点 M ,直线 AQ 与 x 轴交于点 N .若| OM |·| ON |=2,求证:直线 l 经过定点. 解析 　本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点,考查学 生用方程思想、数形结合思想、分类讨论思想解决综合问题的能力,体现了 逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. (1)由题意得, b =1, c =1. 所以 a 2 = b 2 + c 2 =2. 所以椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. (2)设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 则直线 AP 的方程为 y =   x +1. 令 y =0,得点 M 的横坐标 x M =-   . 又 y 1 = kx 1 + t ,从而| OM |=| x M |=   . 同理,| ON |=   . 由   得(1+2 k 2 ) x 2 +4 ktx +2 t 2 -2=0. 则 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   . 所以| OM |·| ON |=   ·   =   =   =2   . 又| OM |·| ON |=2,所以2   =2. 解得 t =0,所以直线 l 经过定点(0,0). 【方法归纳】　证明直线过定点,要弄清直线方程与哪个量无关,再整理为关 于这个量的恒等式,由其系数和常数项等于0求解. 与圆有关的定值问题,可以直接计算或证明,还可以先猜出定值,再给出证明. 这里采用的方法是先设出定值,再通过根据已知条件中的“恒成立”列方程 组进行求解. 与圆有关的定点问题,最终可以化为含有参数的动直线或动圆过定点问题.解 这类问题的关键是引入参数,求出动直线或动圆的方程. 圆锥曲线中定点问题的两种常用解法:①引进参数法,用动点的坐标或动直线 中系数为参数表示变化量,再研究变化量与参数之间的关系,找到定点.②特 殊到一般法,根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量 无关. 1-1 　已知圆 O : x 2 + y 2 =9,点 A (-5,0),直线 l : x -2 y =0. (1)求与圆 O 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; (2)若在直线 OA 上存在定点 B (不同于点 A ),满足:对于圆 O 上任一点 P ,都有   为一常数,试求所有满足条件的点 B 的坐标. 解析 　(1)设所求直线方程为 y =-2 x + b ,即2 x + y - b =0. 因为该直线与圆 O 相切,所以   =3.解得 b = ± 3   . 所以所求直线方程为 y =-2 x +3   或 y =-2 x -3   . (2)设 B ( t ,0), P ( x , y ),且   为常数 λ ,则| PB | 2 = λ 2 | PA | 2 . 所以( x - t ) 2 + y 2 = λ 2 [( x +5) 2 + y 2 ]①.将 y 2 =9- x 2 代入①, 得 x 2 -2 xt + t 2 +9- x 2 = λ 2 ( x 2 +10 x +25+9- x 2 ), 即2(5 λ 2 + t ) x +34 λ 2 - t 2 -9=0对 x ∈[-3,3]恒成立. 所以   解得   或   (舍去). 故满足题意的点 B 的坐标为   . 题型二　椭圆中的定值问题 例2     (2019镇江期末,18)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的长轴长为4,两准线间的距离为4   .设 A 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过点 D (1,0),且与椭圆 C 相交于 E , F 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若△ AEF 的面积为   ,求直线 l 的方程; (3)已知直线 AE , AF 分别交直线 x =3于点 M , N ,线段 MN 的中点为 Q ,设直线 l 和 QD 的斜率分别为 k ( k ≠ 0), k ',求证: k · k '为定值. 解析 　(1)由题意可知,2 a =4,   =2   , 解得 a =2, c =   ,因为 a 2 = b 2 + c 2 , 所以 b =   , 所以椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)因为 AD =3, 所以 S △ AEF = S △ ADE + S △ ADF =   | y E - y F |=   , 所以| y E - y F |=   . 设直线 l : x = my +1,代入椭圆 C , 整理得( m 2 +2) y 2 +2 my -3=0, 所以 y E , F =   , 则| y E - y F |=   =   , 解得 m 2 =1,即 m = ± 1, 所以直线 l 的方程为 x ± y -1=0. (3)证明:设直线 l : y = k ( x -1),代入椭圆 C ,整理得(2 k 2 +1) x 2 -4 k 2 x +2 k 2 -4=0, 设 E ( x 1 , k ( x 1 -1)), F ( x 2 , k ( x 2 -1)), 所以 x 1 + x 2 =   , x 1 · x 2 =   , 直线 AE 的方程为 y =   ( x +2), 令 x =3,得 M 点的坐标为   , 同理可得 N 点的坐标为   . 因为 Q 为 MN 的中点, 所以 y Q =     =5 k -   ·   , 将 x 1 + x 2 =   , x 1 · x 2 =   代入上式, 整理得 y Q =   , 所以 k '=   , 所以 k · k '=-   ,为定值. 【方法归纳】　定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解方法:先 用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导并结合已知条件,消去变量,得 到定值. 2-1     (2018南通高三第二次调研)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, B 1 , B 2 是椭圆   +   =1( a > b >0)的短轴端点, P 是椭圆上异于点 B 1 , B 2 的一动点,当直线 PB 1 的 方程为 y = x +3时,线段 PB 1 的长为4   . (1)求椭圆的标准方程; (2)设点 Q 满足: QB 1 ⊥ PB 1 , QB 2 ⊥ PB 2 .求证:△ PB 1 B 2 与△ QB 1 B 2 的面积之比为定 值. 解析 　设 P ( x 0 , y 0 ), Q ( x 1 , y 1 ). (1)在 y = x +3中,令 x =0,得 y =3,从而 b =3. 由   得   +   =1. 所以 x 0 =-   .因为| PB 1 |=   =   | x 0 |, 所以4   =   ·   ,解得 a 2 =18. 所以椭圆的标准方程为   +   =1. (2)设直线 PB 1 , PB 2 的斜率分别为 k , k ', 则直线 PB 1 的方程为 y = kx +3. 又 QB 1 ⊥ PB 1 ,所以直线 QB 1 的方程为 y =-   x +3. 将 y = kx +3代入   +   =1,得(2 k 2 +1) x 2 +12 kx =0. 因为 P 是椭圆上异于点 B 1 , B 2 的点,所以 x 0 ≠ 0, 从而 x 0 =-   . 因为点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆   +   =1上,所以   +   =1, 从而   -9=-   . 所以 k · k '=   ·   =   =-   , k '=-   . 又 QB 2 ⊥ PB 2 ,所以直线 QB 2 的方程为 y =2 kx -3. 联立   解得 x =   ,即 x 1 =   . 所以   =   =   =2.