2019届二轮复习第1讲　空间几何体中的计算与位置关系课件（45张）（全国通用） 45页

第 1 讲　空间几何体中的计算与位置关系 高考定位　 1. 以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积，难度中档偏下； 2. 以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第 (1) 问 . 1. (2018· 浙江卷 ) 已知平面 α ，直线 m ， n 满足 m  α ， n  α ，则 “ m ∥ n ” 是 “ m ∥ α ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 　若 m  α ， n  α ， m ∥ n ，由线面平行的判定定理知 m ∥ α . 若 m ∥ α ， m  α ， n  α ，不一定推出 m ∥ n ，直线 m 与 n 可能异面，故 “ m ∥ n ” 是 “ m ∥ α ” 的充分不必要条件 . 故选 A. 真 题 感 悟 答案 　 A 2. (2018· 浙江卷 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该几何体的体积 ( 单位： cm 3 ) 是 ( 　　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 　 C 3. (2016· 浙江卷 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该几何体的表面积是 ________cm 2 ，体积是 ________cm 3 . 解析　 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为 4 cm 、 2 cm 、 2 cm ，其直观图如下：其体积 V ＝ 2 × 2 × 2 × 4 ＝ 32(cm 3 ) ，由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形，所以表面积为 S ＝ 2(2 × 2 × 2 ＋ 2 × 4 × 4) － 2 × 2 × 2 ＝ 2 × (8 ＋ 32) － 8 ＝ 72(cm 2 ). 答案　 72 　 32 4. (2016· 浙江卷 ) 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 2 ， ∠ ABC ＝ 120°. 若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD ＝ DA ， PB ＝ BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 ________. 1. 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系 . 考 点 整 合 4. 直线、平面平行的判定及其性质 (1) 线面平行的判定定理： a  α ， b  α ， a ∥ b  a ∥ α . (2) 线面平行的性质定理： a ∥ α ， a  β ， α ∩ β ＝ b  a ∥ b . (3) 面面平行的判定定理： a  β ， b  β ， a ∩ b ＝ P ， a ∥ α ， b ∥ α  α ∥ β . (4) 面面平行的性质定理： α ∥ β ， α ∩ γ ＝ a ， β ∩ γ ＝ b  a ∥ b . 5. 直线、平面垂直的判定及其性质 (1) 线面垂直的判定定理： m  α ， n  α ， m ∩ n ＝ P ， l ⊥ m ， l ⊥ n  l ⊥ α . (2) 线面垂直的性质定理： a ⊥ α ， b ⊥ α  a ∥ b . (3) 面面垂直的判定定理： a  β ， a ⊥ α  α ⊥ β . (4) 面面垂直的性质定理： α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l ， a  α ， a ⊥ l  a ⊥ β . (2) (2018· 舟山模拟 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ________ ，表面积为 ________. (3) (2018· 绍兴质量调测 ) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ________ ，体积为 ________. 探究提高 　 截割体、三棱锥的三视图是高考考查的热点和难点，解题的关键是由三视图还原为直观图，首先确定底面，再根据正视图、侧视图确定侧面 . [ 考法 2] 　求多面体的体积 【例 1 － 2 】 (1) (2018· 天津卷 ) 如图，已知正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ，则四棱 锥 A 1 BB 1 D 1 D 的体积为 ________. (2) 如图，正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， E ， F 分别为线段 AA 1 ， B 1 C 上的点，则三棱锥 D 1 EDF 的体积为 ________. 探究提高 　 (1) 求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上 . (2) 若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解 .   探究提高 　 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点 ( 一般为接、切点 ) 或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径 ( 直径 ) 与该几何体已知量的关系，列方程 ( 组 ) 求解 . 【训练 1 】 (1) (2018· 江苏卷 ) 如图所示，正方体的棱长为 2 ，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ________. (2) (2018· 温州期末联考 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 __________ ，其表面积为 ________. (3) (2016· 北京卷 ) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( 　　 ) 热点二　空间中的平行与垂直 [ 考法 1] 　空间线面位置关系的判断 【例 2 － 1 】 (1) (2016· 浙江卷 ) 已知互相垂直的平面 α ， β 交于直线 l . 若直线 m ， n 满足 m ∥ α ， n ⊥ β ，则 ( 　　 ) A. m ∥ l B. m ∥ n C. n ⊥ l D. m ⊥ n (2) (2017· 镇海中学高三模拟 ) 对于两条不同的直线 m ， n 和两个不同的平面 α ， β ，以下结论正确的是 ( 　　 ) A. 若 m  α ， n ∥ β ， m ， n 是异面直线，则 α ， β 相交 B. 若 m ⊥ α ， m ⊥ β ， n ∥ α ，则 n ∥ β C. 若 m  α ， n ∥ α ， m ， n 共面于 β ，则 m ∥ n D. 若 m ⊥ α ， n ⊥ β ， α ， β 不平行，则 m ， n 为异面直线 探究提高 　 长方体 ( 或正方体 ) 是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系 . 因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体 ( 或正方体 ) ，把点、线、面的位置关系转移到长方体 ( 或正方体 ) 中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解 . [ 考法 2] 　平行、垂直关系的证明 【例 2 － 2 】 (2018· 北京卷 ) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， PA ⊥ PD ， PA ＝ PD ， E ， F 分别为 AD ， PB 的中点 . 探究提高 　 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 . (1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行 . (2) 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直 . (3) 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直 . (4) 证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直 . 【训练 2 】 如图，在三棱锥 ABCD 中， AB ⊥ AD ， BC ⊥ BD ，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，点 E ， F ( E 与 A ， D 不重合 ) 分别在棱 AD ， BD 上，且 EF ⊥ AD . 求证： (1) EF ∥ 平面 ABC ； (2) AD ⊥ AC . (2) ∵ BC ⊥ BD ，平面 ABD ∩ 平面 BCD ＝ BD ，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， BC  平面 BCD ， ∴ BC ⊥ 平面 ABD . ∵ AD  平面 ABD ， ∴ BC ⊥ AD . 又 AB ⊥ AD ， BC ， AB  平面 ABC ， BC ∩ AB ＝ B ， ∴ AD ⊥ 平面 ABC ，又因为 AC  平面 ABC ， ∴ AD ⊥ AC . 1. 求解几何体的表面积或体积 (1) 对于规则几何体，可直接利用公式计算 . (2) 对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解 . (3) 求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用 . (4) 求解几何体的表面积时要注意 S 表 ＝ S 侧 ＋ S 底 . 5. 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1) 证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法： ① 利用等腰三角形底边中线即高线的性质； ② 勾股定理； ③ 线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可， l ⊥ α ， a  α  l ⊥ a . 6. 解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变 “ 性 ” 与 “ 量 ” ，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等 .