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- 2021-05-20 发布
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
1.
解绝对值不等式
.
2.
不等式的证明
.
1.
能利用三个正数的算术平均
—
几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大
(
小
)
值的问题；了解基本不等式的推广形式
(
n
个正数的形式
).
2.
理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式
.
3.
掌握
|
ax
＋
b
|
≤
c
，
|
ax
＋
b
|
≥
c
，
|
x
－
a
|
＋
|
x
－
b
|
≤
c
，
|
x
－
a
|
＋
|
x
－
b
|
≥
c
型不等式的解法
.
4.
了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式
.
5.
能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大
(
小
)
值问题
.
6.
理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题
.
对本章的考查以绝对值不等式的解法、性质为主，解答题往往涉及含两个绝对值的问题，考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法
.
预测
2016
年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查
.
知识点一
解绝对值不等式
1.|
ax
＋
b
|
≤
c
，
|
ax
＋
b
|
≥
c
(
c
>0)
型不等式的解法
(1)
若
c
>0
，则
|
ax
＋
b
|
≤
c
等价于－
c
≤
ax
＋
b
≤
c
，
|
ax
＋
b
|
≥
c
等价于
ax
＋
b
≥
c
或
ax
＋
b
≤
－
c
，然后根据
a
，
b
的值解出即可
.
(2)
若
c
<0
，则
|
ax
＋
b
|
≤
c
的解集为
∅
，
|
ax
＋
b
|
≥
c
的解集为
R.
2.|
x
－
a
|
＋
|
x
－
b
|
≥
c
(
c
>0)
，
|
x
－
a
|
＋
|
x
－
b
|
≤
c
(
c
>0)
型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解
.
(1)
零点分区间法的一般步骤
①
令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②
将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③
由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④
取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集
.
(2)
利用绝对值的几何意义
由于
|
x
－
a
|
＋
|
x
－
b
|
与
|
x
－
a
|
－
|
x
－
b
|
分别表示数轴上与
x
对应的点到
a
，
b
对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如
|
x
－
a
|
＋
|
x
－
b
|<
c
(
c
>0)
或
|
x
－
a
|
－
|
x
－
b
|>
c
(
c
>0)
的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观
.
3.|
f
(
x
)|>
g
(
x
)
，
|
f
(
x
)|<
g
(
x
)(
g
(
x
)>0)
型不等式的解法
(1)|
f
(
x
)|>
g
(
x
)
⇔
f
(
x
)>
g
(
x
)
或
f
(
x
)<
－
g
(
x
).
(2)|
f
(
x
)|<
g
(
x
)
⇔
－
g
(
x
)<
f
(
x
)<
g
(
x
).
知识点二
不等式的证明
1.
证明不等式的常用结论
(1)
绝对值的三角不等式
定理
1
：若
a
，
b
为实数，则
|
a
＋
b
|
≤
|
a
|
＋
|
b
|
，当且仅当
ab
≥
0
，等号成立
.
定理
2
：设
a
，
b
，
c
为实数，则
|
a
－
c
|
≤
|
a
－
b
|
＋
|
b
－
c
|
，当且仅当
(
a
－
b
)(
b
－
c
)
≥
0
时，等号成立
.
推论
1
：
||
a
|
－
|
b
||
≤
|
a
＋
b
|.
推论
2
：
||
a
|
－
|
b
||
≤
|
a
－
b
|.
2.
证明不等式的常用方法
(1)
比较法
一般步骤：作差
—
变形
—
判断
—
结论
.
为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负
.
(2)
综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法
.
即
“
由因导果
”
的方法
.
(3)
分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法
.
即
“
执果索因
”
的方法
.
(4)
反证法和放缩法
①
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件
(
或已证明的定理、性质、明显成立的事实等
)
矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法
.
②
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法
.
【
名师助学
】
1
.
|
a
＋
b
|
与
|
a
|
－
|
b
|
，
|
a
－
b
|
与
|
a
|
－
|
b
|
，
|
a
|
＋
|
b
|
之间的关系
(1)|
a
＋
b
|
≥
|
a
|
－
|
b
|
，
当且仅当
a
>
－
b
>0
时
，
等号成立
.
(2)|
a
|
－
|
b
|
≤
|
a
－
b
|
≤
|
a
|
＋
|
b
|
，
当且仅当
|
a
|
≥
|
b
|
且
ab
≥
0
时
，
左边等号成立
，
当且仅当
ab
≤
0
时
，
右边等号成立
.
2
.
证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法
.
如果已知条件与待证结论直接联系不明显
，
可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以
“
至少
”“
至多
”
等方式给出的
，
则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关
，
则考虑用数学归纳法等
.
在必要的情况下
，
可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明
.
方法
1
含绝对值不等式的性质与解法
(1)
基本性质法：对
a
∈
R
＋
，
|
x
|<
a
⇔
－
a
<
x
<
a
，
|
x
|>
a
⇔
x
<
－
a
或
x
>
a
.
(2)
平方法：两边平方去掉绝对值符号
.
(3)
零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式
(
组
)
求解
.
(4)
几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解
.
(5)
数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解
.
【
例
1
】
不等式
|2
x
＋
1|
－
2|
x
－
1|>0
的解集为
________
.
[
点评
]
解决本题的关键是去绝对值号
，
转化为一元一次不等式求解
.
方法
2
不等式的证明与应用
证明不等式的常用方法：
(1)
比较法；
(2)
综合法；
(3)
分析法；
(4)
反证法和放缩法；
(5)
数学归纳法
.
[
点评
]
均值不等式的应用
方法
3
求解与绝对值不等式相关的最值问题的方法
解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的
x
即可
.
求解存在性问题需过两关：
第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为
R
是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为
∅
的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即
f
(
x
)<
a
恒成立
⇔
a
>
f
(
x
)
max
，
f
(
x
)>
a
恒成立
⇔
a
<
f
(
x
)
min
.
第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
①
利用绝对值的几何意义；
②
利用绝对值三角不等式，即
|
a
|
＋
|
b
|
≥
|
a
±
b
|
≥
||
a
|
－
|
b
||
；
③
利用零点分区间法
.
【
例
3
】
已知函数
f
(
x
)
＝
|
x
＋
a
|
＋
|
x
－
2|.
(1)
当
a
＝－
3
时，求不等式
f
(
x
)
≥
3
的解集；
(2)
若
f
(
x
)
≤
|
x
－
4|
的解集包含
[1
，
2]
，求
a
的取值范围
.
[
审题指导
]
(1)
将
a
＝－
3
代入
f
(
x
)
利用零点分段法去绝对值号
.
(2)
根据
x
∈
[1
，
2]
去绝对值号解关于
a
的不等式
.
当
x
≥
3
时，由
f
(
x
)
≥
3
，
得
2
x
－
5
≥
3
，解得
x
≥
4
；
所以
f
(
x
)
≥
3
的解集为
{
x
|
x
≤
1}
∪
{
x
|
x
≥
4}.
(2)
f
(
x
)
≤
|
x
－
4|
⇔
|
x
－
4|
－
|
x
－
2|
≥
|
x
＋
a
|.
当
x
∈
[1
，
2]
时，
|
x
－
4|
－
|
x
－
2|
≥
|
x
＋
a
|
⇔
4
－
x
－
(2
－
x
)
≥
|
x
＋
a
|
⇔
－
2
－
a
≤
x
≤
2
－
a
.
由条件得－
2
－
a
≤
1
且
2
－
a
≥
2
，即－
3
≤
a
≤
0.
故满足条件的
a
的取值范围为
[
－
3
，
0].
[
点评
]
研究含有绝对值的函数问题时
，
根据绝对值的定义
，
分类讨论去掉绝对值符号
，
转化为分段函数
，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法
.
解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀
“
找零点
，
分区间
，
逐个解
，
并起来
”
.