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- 2021-05-20 发布
基本不等式
【考纲要求】
1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2.会用基本不等式解决最大（小）值问题.
3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
【知识网络】
基本不等式
重要不等式
最大（小）值问题
基本不等式
基本不等式的应用
【考点梳理】
考点一：重要不等式及几何意义
1．重要不等式：
如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.
2．基本不等式：
如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.
要点诠释：和两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.
3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
考点二：基本不等式的证明
1. 几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2. 代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
要点三、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
要点四、几个常见的不等式
1），当且仅当a=b时取“=”号。
2），当且仅当a=b 时取“=”号。
3）；特别地：；
4）
5）；
【典型例题】
类型一：基本不等式的理解
例1. ，，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.
（1）的最小值为；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【解析】（1）；（2）
（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（3）∵，∴，
（当且仅当即时取等号）
∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即
【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.
举一反三：
【变式1】给出下面四个推导过程：
① ∵，∴；
② ∵，∴；
③ ∵，，∴ ；
④ ∵，，∴.
其中正确的推导为（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.
②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.
③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.
④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.
【变式2】下列命题正确的是（ ）
A.函数的最小值为2. B.函数的最小值为2
C.函数最大值为 D.函数 的最小值为2
【答案】C
【解析】A选项中，∵，∴当时由基本不等式；
当时.∴选项A错误.
B选项中，∵的最小值为2
（当且仅当时，成立）
但是，∴这是不可能的. ∴选项B错误.
C选项中，∵，∴，故选项C正确。
类型二：利用基本不等式求最值
基本不等式394847 基础练习二】
例2．设，则的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
当且仅当即时取等号.
【答案】D
举一反三：
【变式1】若,求的最大值.
【解析】因为,所以, 由基本不等式得:
,
（当且仅当即时, 取等号）
故当时,取得最大值.
【变式2】已知，求的最大值.
【解析】∵，∴，
∴（当且仅当，即时，等号成立）
∴（当且仅当，即时，等号成立）
故当时，的最大值为4.
例3.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是
A． B．4 C． D．5
【解析】∵,，
∴
答案选C
举一反三：
【变式1】若,,且,求的最小值 .
【解析】∵,，
∴
（当且仅当即，时，等号成立）
∴（当且仅当，时，等号成立）
故当，时，的最小值为64.
【变式2】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。
【解析】∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（当且仅当，即y=3x时，取等号）
又，∴x=4，y=12
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。
类型三：基本不等式应用
例4. 设,,求证：
【证明】
成立
举一反三：
【变式1】已知，求证:
【解析】
（当且仅当即,等号成立）.
【例5】(2015春 东城区期末)已知，且.
(1)若则的值为 .
(2)求证：
【解析】(1)由题意可得带入计算可得
(2)由题意和基本不等式可得，，
举一反三：
【变式】(2018 石家庄一模)已知函数的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围.
(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值.
【解析】(1)因为函数的定义域为R,
恒成立
设函数则m不大于的最小值
即的最小值为4，
(2)由(1)知n=4
当且仅当时，即时取等号.
的最小值为
类型四：基本不等式在实际问题中的应用
例6. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？
【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。
设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为，
于是还需要建造新墙的长为
设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，
则
（当且仅当即时，等号成立）
故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.
举一反三：
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？
【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，
则（当且仅当x=8时取“=”）
此时每人最少交80元.