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- 2021-05-20 发布
重点强化课(二) 平面向量
[复习导读] 从近五年浙江卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．
重点1 平面向量的线性运算
(1)(2017·温州二次调研)如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
图1
A. B.
C. D．2
(2)在▱ABCD中，AB＝a，＝b,3＝，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)
(1)B (2)－a－b [(1)因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，所以得所以λ＋μ＝，故选B.
(2)如图所示，＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝b－a－b＝－a－b.]
[规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．
3．O在AB外，A，B，C三点共线，且＝λ＋μ，则有λ＋μ＝1.
[对点训练1] 设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B [因为D为AB的中点，
则＝(＋)，
又＋＋2＝0，
所以＝－，所以O为CD的中点．
又因为D为AB的中点，
所以S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，
则＝4.]
重点2 平面向量数量积的综合应用
(2017·杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足||＝2||.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f(a)＝·，求f(a)的取值范围. 【导学号：51062153】
[解] (1)设P的坐标为(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)．
∵动点P满足||＝2||，
∴＝2，
整理得x2＋y2＝4.5分
(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，)，B(a，－)，
∴f(a)＝·＝(0，)·(0，－)＝a2－4；9分
(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，
代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴f(a)＝·＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.
由(a)(b)得f(a)＝a2－4.13分
∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，
∴－20)．]
8．在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________.
【导学号：51062156】
－ [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤，所以·＝||·||·cos ≥－，(·)min＝－，当且仅当AB＝AC时等号取得．]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＝n＝，求||；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
[解] (1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，
∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，3分
∴||＝＝2.6分
(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴10分
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.15分
10．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解] (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.6分
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，12分
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.15分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·宁波镇海中学模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设＝a，＝b，＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝( )
A．－4 B．3
C．－11 D．10
C [a·b＝2×3×cos 60°＝3，
＝－＝b－a，＝－OA＝(m－1)a－2b.
∵AB⊥AC，∴·＝0，
即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，
∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，
即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，
解得m＝－11.故选C.]
2．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
[∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1，
∴cos〈a，b〉＝，
∴〈a，b〉＝60°.
以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，
则a＝(1,0)，b＝(1，)．
设e＝(cos θ，sin θ)，
则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋sin θ|
≤|cos θ|＋|cos θ|＋|sin θ|
＝2|cos θ|＋|sin θ|
≤
＝.]
3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值. 【导学号：51062157】
[解] (1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，3分
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).7分
(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，
∴cos＝－1.10分
又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝.12分
∵a＝，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②
由①②可得b＝3，c＝2.15分