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- 2021-05-20 发布
018-2019学年第二学期武威五中
高二年级数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填在答题卡的答题框中）
1.若集合（i是虚数单位），，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据虚数单位的运算性质化简集合，再由交集的定义，即可求出结论.
【详解】，
.
故选:C.
【点睛】本题考查复数的基本概念和集合的运算，属于基础题.
2.下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A. ①② B. ①③
C. ①②④ D. ②④
【答案】C
【解析】
①是类比推理；②④是归纳推理，
∴①②④都是合情推理．
故答案为:C.
3.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）
A. 83% B. 72% C. 67% D. 66%
【答案】A
【解析】
【分析】
把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值．
【详解】当居民人均消费水平为7.675时，
则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262，
∴人均消费额占人均工资收入的百分比为
故选A．
【点睛】本题考查了回归直线方程的应用，熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键．
4.李华在检查自己的学习笔记时， 发现“集合”这一节的知识结构图漏掉了“集合的含义”，他添加这一部分的最合适位置是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
【解析】
分析：根据结构图的含义，知识结构图是用图形直观地再现出知识之间的关联，由集合的含义是集合的一种，从而得出正确答案．
详解：这是“集合”的知识结构图，所以“集合”是最高级别的，而“集合的含义”应该属于“集合”这个框的下级分支，与“集合间的基本关系”“集合的运算”是同一级别，所以添加在②的位置比较合适.
故选B
点睛：本题考查了知识结构图的应用问题，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系，是基础题．
5.由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为 ( )
A. ②①③ B. ③①②
C ①②③ D. ②③①
【答案】D
【解析】
考查三段论的知识；大前提是一个公理，即②矩形的四个内角相等；小前提是大前提的一种特殊情况，即③正方形是矩形，在这两个前提下得出结论①正方形的四个内角相等；所以选D
6.如图所示，在复平面内，对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则P0对应的复数为( )
A. 1－i B. 1－2i
C. －1－i D. －i
【答案】D
【解析】
【分析】
要求P0对应的复数，根据题意，只需知道，而，从而可求P0对应的复数
【详解】因为，对应的复数是－1，
所以P0对应的复数，
即对应的复数是，故选D.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
7.在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( )
A. 直线 B. 圆
C. 椭圆 D. 抛物线
【答案】A
【解析】
【分析】
设，代入，求模后整理得z在复平面内对应点的轨迹是直线．
【详解】设，
，，
则，得，
所以复数对应点的轨迹为直线，故选A.
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．
8.在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将点化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程，即可求出结论.
【详解】在直角坐标系中，所求的直线方程为，
极坐标方程为.
故选:A.
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中的直线方程是解题关键，属于基础题.
9.化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
A. x2＋y2＝0或y＝1 B. x＝1
C. x2＋y2＝0或x＝1 D. y＝1
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解.
【详解】由题得
故答案为C.
【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求点的极坐标一般用公式,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式求解.（3）本题容易漏掉.
10.极坐标方程表示的曲线是（ ）
A. 两条相交直线 B. 两条射线
C. 一条直线 D. 一条射线
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的值，即可得到极坐标方程表示的是两条相交直线.
【详解】由题得，所以极坐标方程表示的是两条相交直线.
故答案为A
【点睛】(1)
本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求点的极坐标一般用公式,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式求解.
11.在极坐标系中，已知圆C的方程为，则圆心C的极坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将圆C的方程展开整理，化为直角坐标方程，求出圆心直角坐标，再化为极坐标即可.
【详解】，
，
化为直角坐标方程为，
圆心坐标为，极坐标为.
故选:D.
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，属于基础题.
12.设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti分钟，假设Ti各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( )
A. 从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B. 从Ti中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C. 从靠近Ti平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D. 任意顺序排队接水的总时间都不变
【答案】B
【解析】
【分析】
表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论
【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了
2m+2t+T
分钟，共节省了 T-t
分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．
故选B.
【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）.
13.在极坐标系中，点关于直线对称的点的一个极坐标为_____.
【答案】（或其它等价写法）
【解析】
解：在直角坐标系中，A（ 0，2），直线l：x=1，A关于 直线l的对称点B（2，2）．
由于|OB|=2，OB直线的倾斜角等于π/ 4 ，且点B 在第一象限，
故B的极坐标为 (2，π /4 )，
故答案为 (2，π /4 )．
14.，，……若（a，b均为实数），猜想，________.
【答案】210.
【解析】
【分析】
观察各个等式的特点，归纳出等式两边的规律，求出的值即可.
【详解】观察各个等式可得，各个等式左边的分数的分子与前面的整数相同、
分母是分子的平方减1，等式右边的分数与左边分数相同，
前面的整数与左式的整数相同，所以等式中，
.
故答案为:210.
【点睛】本题考查归纳推理，难点是根据等式能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，属于基础题.
15.已知圆的极坐标方程为，则此圆被直线截得的弦长为______．
【答案】
【解析】
由弦长
.
16.下列说法中正确的是________.（填序号）
①若，其中，，则必有；
②；
③若一个数实数，则其虚部不存在；
④若，则在复平面内对应的点位于第一象限.
【答案】④
【解析】
【分析】
①根据已知可得，{虚数}，利用复数相等的概念，可判断①的正误；
②利用虚数不能比大小，可判断②的正误；
③由实数的虚部为0，可判断③的正误；
④由，知，可判断④的正误.
【详解】对于①，，，即{虚数}，
所以不成立，故①错误；
对于②，若两个复数不全实数，则不能比大小，
由于均为虚数，故不能比大小，故②错误；
对于③，若一个数是实数，则其虚部存在，为0，
故③错误；
对于④，若，则，
在复平面内对应点为，在第一象限，故④正确.
故答案为:④.
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复数的概念和应用，熟练掌握复数概念是解题的关键，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算：.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的乘除法运算法则及虚数单位的运算性质，即可求出结论.
【详解】
.
故答案为:.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位的运算性质，属于基础题.
18.已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．
【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，直线l的普通方程为x－y－m＝0；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程.(2)利用解直角三角形求直线和圆的弦长.
【详解】(1)由ρ＝2cos θ，
得：ρ2＝2ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
由得x＝y＋m，
即x－y－m＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l：x－y－2＝0，
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，
圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，
则圆心到直线l的距离为d＝.
所以|AB|＝2＝.
因此|AB|的值为.
【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求圆的弦长经常用到公式.
19.在对人们休闲方式的调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动.能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为性别与休闲方式是否有关系?
0.50
040
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5024
6.635
7.879
10.828
【答案】有把握认为“休闲方式与性别有关”.
【解析】
【分析】
根据题意列出列联表，根据公式求出观测值，对照数表，即可得出结论.
【详解】由题意得，列联表
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
根据列联表中的数据可求得随机变量的观测值为：
，
所以有把握认为“休闲方式与性别有关”.
【点睛】本题考查独立性检验的应用和列联表的做法，解题的关键是正确计算出这组数据的观测值，理解临界值对应概率的意义，属于基础题.
20.在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．
【答案】圆的极坐标方程为．
【解析】
根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径．从而得到圆的极坐标方程
解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，
∴在中令，得．
∴圆的圆心坐标为（1，0）．
∵圆经过点，∴圆的半径为．
∴圆经过极点．∴圆的极坐标方程为．
21.已知关于的方程=1,其中为实数.
(1)若=1-是该方程的根,求的值.
(2)当＞且＞0时,证明该方程没有实数根.
【答案】（1）
（2）根据题意，由于原方程化为假设原方程有实数解,那么△=≥0,即≥于已知矛盾，进而得到证明．
【解析】
试题分析：(1)将代入,化简得
∴∴.
(2)证明:原方程化为
假设原方程有实数解,那么△=≥0,即≥
∵＞0,∴≤,这与题设＞矛盾.
∴原方程无实数根.
考点：反证法的运用，以及复数相等的运用．
点评：解决的关键是利用复数相等来建立等式关系，同时能利用方程中判别式来确定有无实数根，属于基础题．
22.已知某圆的极坐标方程为．求：
（1）圆的直角坐标方程和参数方程；
（2）在圆上所有的点中，的最大值和最小值．
【答案】(1)，；(2)9,1
【解析】
【分析】
(1)先化简圆的极坐标方程化为普通方程，再根据普通方程写出圆的参数方程.(2) 由(1)可知xy＝(2＋cos θ)(2＋sin θ)= 3＋2 (cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.
再换元求函数的最大值和最小值.
【详解】(1)原方程可化为ρ2－4ρ＋6＝0，
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即为所求圆的普通方程．
设,
所以参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy＝(2＋cos θ)(2＋sin θ)＝
4＋2 (cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ＝
3＋2 (cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.
设t＝cos θ＋sin θ，
则t＝sin，t∈[－，]．
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时，xy有最小值1；当t＝时，xy有最大值9.
【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查圆的参数方程和圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)
解决本题的关键有两点，其一是利用参数方程设点其二是设t＝cosθ＋sinθ＝sin，t∈[－，]．