【数学】2018届一轮复习人教A版12-2　古典概型　学案 14页

1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个 基本事件的概率都是1 n ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)＝m n. 4．古典概型的概率公式 P(A)＝A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与 不发芽”．( × ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事 件．( × ) (3)从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × ) (4)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能 性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1 3.( √ ) (5)从 1,2,3,4,5 中任取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 0.2.( √ ) (6)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，且集合 A 中的元素个数为 n，所有的 基本事件构成集合 I，且集合 I 中元素个数为 m，则事件 A 的概率为n m.( √ ) 1．从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 答案 B 解析 基本事件的总数为 6， 构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2， 所以所求概率 P＝2 6 ＝1 3 ，故选 B. 2．(2016·北京)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为( ) A.1 5 B.2 5 C. 8 25 D. 9 25 答案 B 解析 从甲、乙等 5 名学生中随机选 2 人共有 10 种情况，甲被选中有 4 种情况，则甲被选中 的概率为 4 10 ＝2 5. 3．(2015·课标全国Ⅰ)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为 一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A. 3 10 B.1 5 C. 1 10 D. 1 20 答案 C 解析 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 C35＝10(个)不同的结果，其中勾股数只有一组， 故所求概率为 P＝ 1 10. 4．从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形 边长的概率为________． 答案 3 5 解析 取两个点的所有情况为 10 种，所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种，概率为 6 10 ＝ 3 5. 5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________． 答案 5 6 解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概率 P＝1－ 6 6×6 ＝5 6. 题型一 基本事件与古典概型的判断 例 1 (1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四 面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第 2 颗正四面体玩具出现的点数．试写出： ①试验的基本事件； ②事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件； ③事件“出现点数相等”包含的基本事件． (2)袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从 中摸出一个球． ①有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不 是古典概型？ ②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型， 该模型是不是古典概型？ 解 (1)①这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． ②事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件为 (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． ③事件“出现点数相等”包含的基本事件为 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)． (2)①由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有 11 种不同的摸法． 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率 模型为古典概型． ②由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分别记为 A：“摸到白球”，B：“摸 到黑球”，C：“摸到红球”， 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 1 11 ，而白球有 5 个， 故一次摸球摸到白球的可能性为 5 11 ， 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 3 11 ， 显然这三个基本事件出现的可能性不相等， 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型． 思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限 性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型． 下列试验中，古典概型的个数为( ) ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点 C 重合； ③从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于 2 的概率． A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型； ②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型； ③符合古典概型的特点，是古典概型． 题型二 古典概型的求法 例 2 (1)(2015·广东)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球．从 袋中任取 2 个球，则所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( ) A. 5 21 B.10 21 C.11 21 D．1 (2)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从 中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________． (3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、 土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 A 表示“排列 中属性相克的两种物质不相邻”，则事件 A 发生的概率为________． 答案 (1)B (2)5 6 (3) 1 12 解析 (1)从袋中任取 2 个球共有 C215＝105(种)取法，其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C110C15＝ 50(种)取法，所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 50 105 ＝10 21. (2)基本事件共有 C24＝6(种)， 设取出两只球颜色不同为事件 A， A 包含的基本事件有 C12C12＋C11C11＝5(种)． 故 P(A)＝5 6. (3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为 A55＝120，满足事件 A“排列中属 性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置 的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属 性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有 C15C12＝10(种)可能，所以事件 A 出现的概率 为 10 120 ＝ 1 12. 引申探究 1．本例(2)中，若将 4 个球改为颜色相同，标号分别为 1,2,3,4 的四个小球，从中一次取两球， 求标号和为奇数的概率． 解 基本事件数仍为 6.设标号和为奇数为事件 A，则 A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)， (3,4)，共 4 种， 所以 P(A)＝4 6 ＝2 3. 2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率． 解 基本事件数为 C14C14＝16， 颜色相同的事件数为 C12C11＋C12C12＝6， 所求概率为 6 16 ＝3 8. 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的 个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具 体应用时可根据需要灵活选择． (1)(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花 种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率 是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 答案 C 解析 从 4 种颜色的花中任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有((红黄)， (白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))， ((黄白)，(红紫))，共 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))， ((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共 4 种，故所求概率为 P＝4 6 ＝ 2 3 ，故选 C. (2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随 机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c. ①求“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率； ②求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率． 解 ①由题意知，(a，b，c)所有的可能为 (1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)， (2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)， (3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种． 设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种． 所以 P(A)＝ 3 27 ＝1 9. 因此，“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为1 9. ②设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件 B 包括(1,1,1)，(2,2,2)， (3,3,3)，共 3 种． 所以 P(B)＝1－P( B )＝1－ 3 27 ＝8 9. 因此，“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为8 9. 题型三 古典概型与统计的综合应用 例 3 (2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工．根 据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为： [40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]． (1)求频率分布直方图中 a 的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率； (3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在[40,50)的概率． 解 (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以 a＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4， 所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有 50×0.006×10＝3(人)，记为 A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40,50)的有 50×0.004×10＝2(人)，记为 B1，B2， 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}， {A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又 因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种，即{B1，B2}，故所求的概率为 P＝ 1 10. 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考 查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎 叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决． 海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区 进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽 取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量； (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区 的概率． 解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 50＋150＋100 ＝ 1 50 ， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50× 1 50 ＝1,150× 1 50 ＝3,100× 1 50 ＝2. 所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. (2)设 6 件来自 A，B，C 三个地区的样品分别为 A；B1，B2，B3；C1，C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A， C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}， {B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共 15 个． 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件 D：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 D 包含的基本事件有{B1，B2}，{B1， B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共 4 个． 所以 P(D)＝ 4 15 ， 即这 2 件商品来自相同地区的概率为 4 15. 六审细节更完善 典例 (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球， 该球的编号为 n，求 n0， 所以 f(x)在 R 上递增，若 f(x)在[1,2]上有零点， 则需 f1＝1＋a－b≤0， f2＝8＋2a－b≥0， 经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)， (3,12)，(4,8)，(4,12)，共 11 对满足条件，而总的情况有 16 种， 故所求概率为11 16. 5．有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，则取出球的编号互不 相同的概率为( ) A. 5 21 B.2 7 C.1 3 D. 8 21 答案 D 解析 从编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球中随机取出 4 个，有 C410＝210(种)不同 的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的．设事件 A 为“取出球的 编号互不相同”，则事件 A 包含了 C15·C12·C12·C12·C12＝80(个)基本事件，所以 P(A)＝ 80 210 ＝ 8 21. 故选 D. 6．如图，三行三列的方阵中有九个数 aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两 个数位于同行或同列的概率是( ) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A.3 7 B.4 7 C. 1 14 D.13 14 答案 D 解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有 C39＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同 的行与列的取法共有 C13·C12·C11＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为 1－ 6 84 ＝ 13 14. 7．从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等 于( ) A. 1 10 B.1 8 C.1 6 D.1 5 答案 D 解析 如图所示， 从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点，可以看作随机选 2 个顶点，剩下的 4 个 顶点构成四边形，有 A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、 D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共 15 种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可， 有 A、D，B、E，C、F，共 3 种，故其概率为 3 15 ＝1 5. 8．若 A、B 为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则 P(B)＝________. 答案 0.3 解析 因为 A、B 为互斥事件， 所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)， 故 P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3. 9．(2017·成都月考)如图的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污 损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________． 答案 0.3 解析 依题意，记题中的被污损数字为 x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9 ＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时 x 的可能取值是 7,8,9，因此甲的平均成绩不超过 乙的平均成绩的概率 P＝ 3 10 ＝0.3. 10．10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是________． 答案 1 2 解析 从 10 件产品中取 4 件，共有 C 410种取法，取到 1 件次品的取法为 C13C 37种，由古典概 型概率计算公式得 P＝C13C37 C410 ＝3×35 210 ＝1 2. 11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，令平面向量 a＝(m，n)，b＝(1，－3)． (1)求事件“a⊥b”发生的概率； (2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率． 解 (1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共 36 种． 因为 a⊥b，所以 m－3n＝0，即 m＝3n，有(3,1)，(6,2)，共 2 种， 所以事件 a⊥b 发生的概率为 2 36 ＝ 1 18. (2)由|a|≤|b|，得 m2＋n2≤10， 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共 6 种，其概率为 6 36 ＝1 6. 12．袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为1 7 ，现有甲、乙两人从袋 中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球 时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的． (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球 2 次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率． 解 (1)设袋中原有 n 个白球，从袋中任取 2 个球都是白球的结果数为 C2n，从袋中任取 2 个球 的所有可能的结果数为 C27. 由题意知从袋中任取 2 球都是白球的概率 P＝C2n C27 ＝1 7 ， 则 n(n－1)＝6，解得 n＝3(舍去 n＝－2)，即袋中原有 3 个白球． (2)设事件 A 为“取球 2 次即终止”．取球 2 次即终止，即甲第一次取到的是黑球而乙取到的 是白球， P(A)＝C14×C13 C17×C16 ＝4×3 7×6 ＝2 7. (3)设事件 B 为“甲取到白球”，“第 i 次取到白球”为事件 Ai，i＝1,2,3,4,5，因为甲先取， 所以甲只可能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取到白球． 所以 P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝3 7 ＋4×3×3 7×6×5 ＋4×3×2×1×3 7×6×5×4×3 ＝3 7 ＋ 6 35 ＋ 1 35 ＝22 35. *13.(2016·北京海淀区期末)为了研究某种农作物在特定温度(要求最高温度 t 满足： 27 ℃≤t≤30 ℃)下的生长状况，某农学家需要在 10 月份去某地进行为期 10 天的连续观察试 验．现有关于该地区历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位：℃)的记录如下： (1)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期； (2)设该地区今年 10 月上旬(10 月 1 日至 10 月 10 日)的最高温度的方差和最低温度的方差分 别为 D1，D2，估计 D1，D2 的大小；(直接写出结论即可) (3)从 10 月份 31 天中随机选择连续 3 天，求所选 3 天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间 的概率． 解 (1)农学家观察试验的起始日期为 7 日或 8 日． (2)最高温度的方差 D1 大． (3)设“连续 3 天平均最高温度值都在[27,30]之间”为事件 A， 则基本事件空间可以设为Ω＝{(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，…，(29,30,31)}，共 29 个基本事件， 由题图可以看出，事件 A 包含 10 个基本事件， 所以 P(A)＝10 29 ，所选 3 天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率为10 29.