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- 2021-05-20 发布
【最新】中考数学压轴题大全
（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据 x，根据 y 与 x 的关系式就输 出 一 个 数
据 y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20～100 （含 20 和
100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在 60～100（含 60 和 100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大 的 对 应 的
新数据也较大。
（1）若 y 与 x 的关系是 y＝x＋p(100－x)，请说明：当 p＝ 1
2
时，这种变 换 满 足 上
述两个要求；
（2）若按关系式 y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求
对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
【解】（1）当 P= 1
2
时，y=x＋ 1 1002 x ,即 y= 1 502 x 。
∴y 随着 x 的增大而增大，即 P= 1
2
时，满足条件（Ⅱ）……3 分
又当 x=20 时，y= 1 100 502
=100。而原数据都在 20～100 之间，所以新数据都在 60～100 之间，即满足
条件（Ⅰ），综上可知，当 P= 1
2
时，这种变换满足要求；……6 分
（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若 x=20,100 时，y 的对
应值 m，n 能落在 60～100 之间，则这样的关系式都符合要求。
如取 h=20,y= 220a x k ,……8 分
∵a＞0，∴当 20≤x≤100 时，y 随着 x 的增大…10 分
令 x=20,y=60，得 k=60 ①
令 x=100,y=100，得 a×802＋k=100 ②
开始
y 与 x 的关系式
结束
输入 x
输出 y
由①②解得
1
160
60
a
k
， ∴ 21 20 60160y x 。………14 分
2、（常州）已知 ( 1 )A m ， 与 (2 3 3)B m ， 是反比例函数
ky x
图象上的两个点．
（1）求 k 的值；
（2）若点 ( 1 0)C ， ，则在反比例函数 ky x
图象上是否存在点
D ，使得以 A B C D， ， ， 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，
求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由 ( 1) 2 ( 3 3)m m ，得 2 3m ，因此 2 3k ．·················· 2 分
（2）如图 1，作 BE x 轴， E 为垂足，则 3CE ， 3BE ， 2 3BC ，因此 30BCE ∠ ．
由于点C 与点 A 的横坐标相同，因此CA x 轴，从而 120ACB ∠ ．
当 AC 为底时，由于过点 B 且平行于 AC 的直线与双曲线只有一个公共点 B ，
故不符题意．····························································································3 分
当 BC 为底时，过点 A 作 BC 的平行线，交双曲线于点 D ，
过点 A D， 分别作 x 轴， y 轴的平行线，交于点 F ．
由于 30DAF ∠ ，设 1 1( 0)DF m m ，则 13AF m ， 12AD m ，
由点 ( 1 2 3)A ， ，得点 1 1( 1 3 2 3 )D m m ， ．
因此 1 1( 1 3 ) ( 2 3 ) 2 3m m ，
B
C
x
y
1
1
1
1 O
解之得 1
7 33m （ 1 0m 舍去），因此点 36 3D
， ．
此时 14 33AD ，与 BC 的长度不等，故四边形 ADBC 是梯形．·····················5 分
如图 2，当 AB 为底时，过点C 作 AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 D ．
由于 AC BC ，因此 30CAB ∠ ，从而 150ACD ∠ ．作 DH x 轴， H 为垂足，
则 60DCH ∠ ，设 2 2( 0)CH m m ，则 23DH m ， 22CD m
由点 ( 1 0)C ， ，得点 2 2( 1 3 )D m m ， ，
因此 2 2( 1 ) 3 2 3m m ．
解之得 2 2m （ 2 1m 舍去），因此点 (1 2 3)D ， ．
此时 4CD ，与 AB 的长度不相等，故四边形 ABDC 是梯形．····························7 分
如图 3，当过点 C 作 AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 D 时，
同理可得，点 ( 2 3)D ， ，四边形 ABCD 是梯形．·············································9 分
综上所述，函数 2 3y x
图象上存在点 D ，使得以 A B C D， ， ， 四点为顶点的四边形为梯形，点 D 的坐
图 1
A
B
C
x
y
O
F
D
E
图 2
A
B
C
x
y
O
D
H
B
y
标为： 36 3D
， 或 (1 2 3)D ， 或 ( 2 3)D ， ．·················································10 分
3、（福建龙岩）如图，抛物线 2 5 4y ax ax 经过 ABC△ 的三个顶点，已知 BC x∥ 轴，点 A 在 x 轴上，
点C 在 y 轴上，且 AC BC ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出 A B C， ， 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在 PAB△ 是等腰三角形．若存在，求
出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线的对称轴 5 5
2 2
ax a
………2 分
（2） ( 3 0)A ， (5 4)B ， (0 4)C ， …………5 分
把点 A 坐标代入 2 5 4y ax ax 中，解得 1
6a ………6 分
21 5 46 6y x x …………………………………………7 分
A
C B
y
x0
1
1
（3）存在符合条件的点 P 共有 3 个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ，与CB 交于 M ．
过点 B 作 BQ x 轴于 Q ，易 得 4BQ ， 8AQ ，
5.5AN ， 5
2BM
1 ·········································································································· 以 AB 为腰且顶角为角
A 的 PAB△ 有 1 个： 1P AB△ ．
2 2 2 2 28 4 80AB AQ BQ ·······················································8 分
在 1Rt ANP△ 中， 2 2 2 2 2
1 1
19980 (5.5) 2PN AP AN AB AN
1
5 199
2 2P
， ···············································································9 分
②以 AB 为腰且顶角为角 B 的 PAB△ 有 1 个： 2P AB△ ．
在 2Rt BMP△ 中， 2 2 2 2
2 2
25 29580 4 2MP BP BM AB BM 10 分
2
5 8 295
2 2P
， ···········································································11 分
③以 AB 为底，顶角为角 P 的 PAB△ 有 1 个，即 3P AB△ ．
画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于 3P ，此时平分线必过等腰 ABC△ 的顶点C ．
过点 3P 作 3P K 垂直 y 轴，垂足为 K ，显然 3Rt RtPCK BAQ△ ∽ △ ．
3 1
2
P K BQ
CK AQ
．
A
x0
1
1 Ｑ
2P
1P
3P
Ｎ
Ｍ
Ｋ
y
3 2.5P K 5CK 于是 1OK ················································ 13 分
3 (2.5 1)P ， ····················································································14 分
注：第（3）小题中，只写出点 P 的坐标，无任何说明者不得分．
4、（福州）如图 12，已知直线 1
2y x 与双曲线 ( 0)ky kx
交于 A B， 两点，且点 A 的横坐标为 4 ．
（1）求 k 的值；
（2）若双曲线 ( 0)ky kx
上一点C 的纵坐标为 8，求 AOC△ 的面积；
（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线 ( 0)ky kx
于 P Q， 两 点（ P 点在第
一象限），若由点 A B P Q， ， ， 为顶点组成的四边形面积为 24 ，求点 P 的坐标．
解：(1)∵点 A 横坐标为 4 , ∴当 x = 4 时， y = 2 .
∴ 点 A 的坐标为（ 4，2 ）.
∵ 点 A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 ,
∴ k = 4 ×2 = 8 .
(2) 解法一：如图 12-1，
∵ 点 C 在双曲线 上，当 y = 8 时， x = 1
∴ 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ) .
过点 A、C 分别做 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 M、N，得矩形 DMON .
S 矩形 ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 .
S△AOC= S 矩形 ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二：如图 12-2，
过点 C、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、F，
图 12
O x
A
y
B
xy 2
1
xy 8
∵ 点 C 在双曲线 8y x
上，当 y = 8 时， x = 1 .
∴ 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ).
∵ 点 C、A 都在双曲线 8y x
上 ,
∴ S△COE = S△AOF = 4 。
∴ S△COE + S 梯形 CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S 梯形 CEFA .
∵ S 梯形 CEFA = 1
2
×（2+8）×3 = 15 ,
∴ S△COA = 15 .
（3）∵ 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ，OA=OB .
∴ 四边形 APBQ 是平行四边形 .
∴ S△POA = S 平行四边形 APBQ = ×24 = 6 .
设点 P 的横坐标为 m （ m > 0 且 4m ）,
得 P ( m , ) .
过点 P、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、F，
∵ 点 P、A 在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 .
若 0＜ m ＜4，如图 12-3，
∵ S△POE + S 梯形 PEFA = S△POA + S△AOF,
∴ S 梯形 PEFA = S△POA = 6 .
4
1 4
1
m
8
∴ 1 8(2 ) (4 ) 62 mm
.
解得 m = 2， m = - 8(舍去) .
∴ P（2，4）.
若 m ＞ 4，如图 12-4，
∵ S△AOF+ S 梯形 AFEP = S△AOP + S△POE,
∴ S 梯形 PEFA = S△POA = 6 .
∴ 1 8(2 ) ( 4) 62 mm
，
解得 m = 8， m = - 2 (舍去) .
∴ P（8，1）.
∴ 点 P 的坐标是 P（2，4）或 P（8，1）.
5、（甘肃陇南）如图，抛物线 21
2y x mx n 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 P 是它的顶点，点 A
的横坐标是 3，点 B 的横坐标是 1．
(1)求 m 、 n 的值；
(2）求直线 PC 的解析式；
(3）请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线
PC 的位置关系，并说明理由．(参考数： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 5 2.24 )
解： (1)由已知条件可知： 抛物线 21
2y x mx n 经过 A(-3，0)、B(1，0)两点．
∴
90 3 ,2
10 .2
m n
m n
……………………………………2 分
解得 31, 2m n ． ………………………3 分
(2) ∵ 21 3
2 2y x x ， ∴ P(-1，-2)，C 3(0, )2
． …………………4 分
设直线 PC 的解析式是 y kx b ，则
2 ,
3.2
k b
b
解得 1 3,2 2k b ．
∴ 直线 PC 的解析式是 1 3
2 2y x ． …………………………6 分
说明：只要求对 1 3
2 2k b ， ，不写最后一步，不扣分．
(3) 如图，过点 A 作 AE⊥PC，垂足为 E．
设直线 PC 与 x 轴交于点 D，则点 D 的坐标为(3，0)． ………………………7 分
在 Rt△OCD 中，∵ OC= 3
2
， 3OD ，
∴ 2 23 3( ) 3 52 2CD ． …………8 分
∵ OA=3， 3OD ，∴AD=6． …………9 分
∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO 公用，
∴ △COD∽△AED． ……………10 分
∴ OC CD
AE AD
， 即
3 3 52 2
6AE
． ∴ 6 55AE ． …………………11 分
∵ 6 5 2.688 2.55
，
∴ 以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 相离． …………12 分
6、（贵阳）如图 14，从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90 的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留 ）．（3 分）
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理
由．（4 分）
（3）当 O 的半径 ( 0)R R 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5 分）
解：（1）连接 BC ，由勾股定理求得：
2AB AC ··················································· 1 分
2 1
360 2
n RS ···················································2 分
（2）连接 AO 并延长，与弧 BC 和 O 交于 E F， ，
2 2EF AF AE ··········································································· 1 分
弧 BC 的长： 2
180 2
n Rl ····································································· 2 分
22 2r
圆锥的底面直径为： 22 2r ···································································3 分
22 2 2
，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．······ 4 分
（3）由勾股定理求得： 2AB AC R
弧 BC 的长： 2
180 2
n Rl R ··································································· 1 分
22 2r R
圆锥的底面直径为： 22 2r R ································································2 分
2 2 (2 2)EF AF AE R R R
22 2 2
且 0R
A
B CO
① ②
③ E
F
2(2 2) 2R R ·················································································3 分
即无论半径 R 为何值， 2EF r ···································································4 分
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
7、（河南）如图，对称轴为直线 x＝
2
7 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形，
求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）①当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？
②是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中， 四 边 形
ABCO 是菱形，且∠AOC=60°，点 B 的坐标是 (0,8 3) ， 点 P 从点 C
开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移 动 ， 设
(0 8)t t 秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D.
（1）求∠AOB 的度数及线段 OA 的长；
B
AC
D
P
O
Q
x
y
（2）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；
（3）当 43, 33a OD 时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式；
（4）当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与 OAB 相似？当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点
的三角形与 OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明.
9、（湖北荆门）如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，
点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合)．现将△PAB 沿 PB 翻折，得到△PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E，
将△POE 沿 PE 翻折，得到△PFE，并使直线 PD、PF 重合．
(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值；
(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使△PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说
明理由；若存在，求出点 Q 的坐标．
解：(1)由已知 PB 平分∠APD，PE 平分∠OPF， 且 PD、PF
重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又 ∠APB ＋
∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2 分
∴ PO BA
OE AP
．即 3
4
x
y x
．∴y= 21 1 4(4 )3 3 3x x x x (0＜x＜4)．
图 1 图 2
且当 x=2 时，y 有最大值 1
3
．…………………………………………………4 分
(2)由已知，△PAB、△POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6 分
设过此三点的抛物线为 y=ax2＋bx＋c，则
1,
0,
16 4 3.
c
a b c
a b c
∴
1 ,2
3 ,2
1.
a
b
c
y= 21 3 12 2x x ．…………………………………………………………8 分
(3)由(2)知∠EPB=90°，即点 Q 与点 B 重合时满足条件．……………………9 分
直线 PB 为 y=x－1，与 y 轴交于点(0，－1)．
将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，
∴该直线为 y=x＋1．……………………………………………………………10 分
由 2
1,
1 3 1,2 2
y x
y x x
得 5,
6.
x
y
∴Q(5，6)．
故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12 分
y
x
NH
D
PQ
E
M
C
B
AO
（2009 年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在
x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC，交 OA
于点 E．
（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G．如
果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 6
5
，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、
G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．解：（1）由已知，得 (3 0)C ， ， (2 2)D ， ，
90ADE CDB BCD ° ，
1tan 2 tan 2 12AE AD ADE BCD ．
(01)E ， ．······························································································ （1 分）
设过点 E D C、 、 的抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a ．
将点 E 的坐标代入，得 1c ．
将 1c 和点 D C、 的坐标分别代入，得
4 2 1 2
9 3 1 0.
a b
a b
，
·······················································································（2 分）
解这个方程组，得
5
6
13
6
a
b
故抛物线的解析式为 25 13 16 6y x x ．····················································（3 分）
（2） 2EF GO 成立．············································································· （4 分）
点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为 6
5
，
点 M 的纵坐标为12
5
．············································································ （5 分）
设 DM 的解析式为 1( 0)y kx b k ，
26 题图
y
x
D B
C
A
EE
O
y
x
D B
C
A
EE
O
ＭF
KGG
将点 D M、 的坐标分别代入，得
1
1
2 2
6 12 .5 5
k b
k b
，
解得
1
1
2
3
k
b
，
．
DM 的解析式为 1 32y x ．······························································· （6 分）
(0 3)F ， ， 2EF ．··············································································· （7 分）
过点 D 作 DK OC⊥ 于点 K ，
则 DA DK ．
90ADK FDG °，
FDA GDK ．
又 90FAD GKD °，
DAF DKG△ ≌△ ．
1KG AF ．
1GO ．····························································································· （8 分）
2EF GO ．
（3）点 P 在 AB 上， (1 0)G ， ， (3 0)C ， ，则设 (1 2)P ， ．
2 2 2( 1) 2PG t ， 2 2 2(3 ) 2PC t ， 2GC ．
①若 PG PC ，则 2 2 2 2( 1) 2 (3 ) 2t t ，
解得 2t ． (2 2)P ， ，此时点Q 与点 P 重合．
(2 2)Q ， ．····························································································· （9 分）
②若 PG GC ，则 2 2( 1) 2 2t ，
解得 1t ， (1 2)P ， ，此时GP x⊥ 轴．
GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为 1，
点Q 的纵坐标为 7
3
．
71 3Q
， ．··························································································（10 分）
③若 PC GC ，则 2 2 2(3 ) 2 2t ，
解得 3t ， (3 2)P ， ，此时 2PC GC ， PCG△ 是等腰直角三角形．
过点Q 作QH x⊥ 轴于点 H ，
y
D BA
EE
Q
P
(P)
(Q)
Q
(P)
则QH GH ，设QH h ，
( 1 )Q h h ， ．
25 13( 1) ( 1) 16 6h h h ．
解得 1 2
7 25h h ， （舍去）．
12 7
5 5Q
， ．······································（12 分）
综上所述，存在三个满足条件的点Q ，
即 (2 2)Q ， 或 71 3Q
， 或 12 7
5 5Q
， ．
（2009 年重庆綦江县）26．（11 分）如图，已知抛物线 ( 1)2 3 3( 0)y a x a 经过点 ( 2 )A ，0 ，抛物线的
顶点为 D ，过 O 作射线OM AD∥ ．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM 于点C ， B 在 x 轴正半轴上，连
结 BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 P 从点O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点 P 运动的时间为 ( )t s ．问当t 为
何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC OB ，动点 P 和动点Q 分别从点O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的
速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ( )s ，连
接 PQ ，当t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长．
*26．解：（1）抛物线 2( 1) 3 3( 0)y a x a 经过点 ( 2 0)A ， ，
30 9 3 3 3a a ···············································································1 分
二次函数的解析式为： 23 2 3 8 3
3 3 3y x x ············································3 分
（2） D 为抛物线的顶点 (13 3)D ， 过 D 作 DN OB 于 N ，则 3 3DN ，
x
y M
CD
P
QO
A
B
2 23 3 (3 3) 6 60AN AD DAO ， °·············································4 分
OM AD ∥
① 当 AD OP 时，四边形 DAOP 是平行四边形
6 6(s)OP t ·········································· 5 分
② 当 DP OM 时，四边形 DAOP 是直角梯形
过O 作OH AD 于 H ， 2AO ，则 1AH
（如果没求出 60DAO °可由 Rt RtOHA DNA△ ∽ △ 求 1AH ）
5 5(s)OP DH t ·················································································6 分
③ 当 PD OA 时，四边形 DAOP 是等腰梯形
2 6 2 4 4(s)OP AD AH t
综上所述：当 6t 、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．· 7 分
（3）由（2）及已知， 60COB OC OB OCB °， ，△ 是等边三角形
则 6 2 6 2 (0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t ， ， ，
过 P 作 PE OQ 于 E ，则 3
2PE t ································································8 分
1 1 36 3 3 (6 2 )2 2 2BCPQS t t
=
23 3 63 32 2 8t
····················································································· 9 分
当 3
2t 时， BCPQS 的面积最小值为 63 38
·························································· 10 分
此时 3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE ， = ，
2 2
2 2 3 3 9 3 3
4 4 2PQ PE QE
··············································· 11 分
（2009 年河北省）26．（本小题满分 12 分）
如图 16，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A
匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀
速运动．伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 同时出
发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．
x
y M
C
D
P
QO
A
BNE
H
B
E
（1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；
（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积 S 与
t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）
（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成
为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；
（4）当 DE 经过点 C 时，请直接．．写出 t 的值．
26．解：（1）1， 8
5
；
（2）作 QF⊥AC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t，∴ 3AP t ．
由△AQF∽△ABC， 2 25 3 4BC ，
得
4 5
QF t ．∴ 4
5QF t ．
∴ 1 4(3 )2 5S t t ，
即 22 6
5 5S t t ．
（3）能．
①当 DE∥QB 时，如图 4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形 QBED 是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得 AQ AP
AC AB
，
即 3
3 5
t t ． 解得 9
8t ．
②如图 5，当 PQ∥BC 时，DE⊥BC，四边形 QBED 是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 AQ AP
AB AC
，
即 3
5 3
t t ． 解得 15
8t ．
（4） 5
2t 或 45
14t ．
【注：①点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C．
方法一、连接 QC，作 QG⊥BC 于点 G，如图 6．
PC t ， 2 2 2QC QG CG 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t ．
由 2 2PC QC ，得 2 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t ，解得 5
2t ．
方法二、由 CQ CP AQ ，得 QAC QCA ，进而可得
B BCQ ，得 CQ BQ ，∴ 5
2AQ BQ ．∴ 5
2t ．
②点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图 7．
A C
B
P
Q
E
D
图 4
A C
)
B
P
Q
D
图 3
E
)
F
A C
B
P
Q
ED
图 5
A C(E)
B
P
Q
D
图 6
G
A C(E)
B
P
Q
D
图 7
G
2 2 23 4(6 ) [ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t ， 45
14t 】
（2009 年河南省）23.（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，
0）、D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点.
(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD
向终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E
①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?
②连接 EQ．在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?
请直接写出相应的 t 值.
解.(1)点 A 的坐标为（4，8） …………………1 分
将 A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得 a=- 1
2
,b=4
∴抛物线的解析式为：y=- 1
2
x2+4x …………………3 分
（2）①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中，tan∠PAE= PE
AP
= BC
AB
,即 PE
AP
= 4
8
∴PE= 1
2
AP= 1
2
t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+ 1
2
t，8-t）.
∴点 G 的纵坐标为：- 1
2
（4+ 1
2
t）2+4(4+ 1
2
t）=- 1
8
t2+8. …………………5 分
∴EG=- 1
8
t2+8-(8-t)
=- 1
8
t2+t.
∵- 1
8
＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. …………………7 分
②共有三个时刻. …………………8 分
t1=16
3
， t2= 40
13
，t3= 8 5
2 5
． …………………11 分
(2009 年山西省)26．（本题 14 分）如图，已知直线 1
2 8: 3 3l y x 与直线 2 : 2 16l y x 相交于点C l l1 2， 、 分
别交 x 轴于 A B、 两点．矩形 DEFG 的顶点 D E、 分别在直线 1 2l l、 上，顶点 F G、 都在 x 轴上，且点G 与
点 B 重合．
（1）求 ABC△ 的面积；
（2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；
（3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设
移动时间为 (0 12)t t≤ ≤ 秒，矩形 DEFG 与 ABC△ 重叠部分的面积为 S ，求 S 关
t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．
26．（1）解：由 2 8 03 3x ，得 4x A ． 点坐标为 4 0 ， ．
由 2 16 0x ，得 8x B ． 点坐标为 8 0， ．
∴ 8 4 12AB ．·········································································（2 分）
由
2 8
3 3
2 16
y x
y x
，
．
解得 5
6
x
y
，
．∴C 点的坐标为 5 6， ．································（3 分）
∴ 1 1 12 6 362 2ABC CS AB y △ · ．··················································· （4 分）
（2）解：∵点 D 在 1l 上且 2 88 8 83 3D B Dx x y ， ．
∴ D 点坐标为 8 8， ．··········································································· （5 分）
又∵点 E 在 2l 上且 8 2 16 8 4E D E Ey y x x ， ． ．
A
D
B
E
O
C
F x
y
1l2l
（G）
（第 26 题）
∴ E 点坐标为 4 8， ．··········································································· （6 分）
∴ 8 4 4 8OE EF ， ．··································································（7 分）
（3）解法一：① 当 0 3t ≤ 时，如图 1，矩形 DEFG 与 ABC△ 重叠部分为五边形CHFGR（ 0t 时，
为四边形CHFG ）．过C 作CM AB 于 M ，则 Rt RtRGB CMB△ ∽ △ ．
∴ BG RG
BM CM
，即
3 6
t RG ，∴ 2RG t ．
Rt RtAFH AMC △ ∽ △ ，
∴ 1 1 236 2 8 82 2 3ABC BRG AFHS S S S t t t t △ △ △ ．
即 24 16 44
3 3 3S t t ．···························································（10 分）
（2009 年山西省太原市）29．（本小题满分 12 分）
问题解决
如图（1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在CD 边上一点 E （不与点 C ，
D 重合），压平后得到折痕 MN ．当 1
2
CE
CD
时，求 AM
BN
的值．
类比归纳
在图（1）中，若 1
3
CE
CD
，则 AM
BN
的值等于 ；若 1
4
CE
CD
，则 AM
BN
的值等于 ；若 1CE
CD n
（ n 为整数），则 AM
BN
的值等于 ．（用含 n 的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在CD 边上一点 E（不与点C D， 重合），压平后得到折痕 MN，
设 1 11AB CEmBC m CD n
， ，则 AM
BN
的值等于 ．（用含 m n， 的式子表示）
A
D
B
E
O
R
F x
y
1l2l
M
（图 3）
G
C
A
D
B
E
O
C
F x
y
1l2l
G
（图 1）
R
M A
D
B
E
O
C
F x
y
1l2l
G
（图 2）
R
M
方法指导：
为了求得 AM
BN
的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB
图（1）
A
B C
D
E
FM
N
29．问题解决
解：方法一：如图（1-1），连接 BM EM BE， ， ．
由题设，得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称．
∴ MN 垂直平分 BE ．∴ BM EM BN EN ， ．····································· 1 分
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ 90 2A D C AB BC CD DA °, ．
∵ 1 12
CE CE DECD
， ．设 BN x ，则 NE x ， 2NC x ．
在 Rt CNE△ 中， 2 2 2NE CN CE ．
∴ 22 22 1x x ．解得 5
4x ，即 5
4BN ．·········································· 3 分
在 Rt ABM△ 和在 Rt DEM△ 中，
2 2 2AM AB BM ，
2 2 2DM DE EM ，
2 2 2 2AM AB DM DE ．······························································ 5 分
设 AM y ，则 2DM y ，∴ 22 2 22 2 1y y ．
解得 1
4y ，即 1
4AM ．······································································ 6 分
∴ 1
5
AM
BN
．······················································································ 7 分
方法二：同方法一， 5
4BN ．·································································3 分
如图（1－2），过点 N 做 NG CD∥ ，交 AD 于点G ，连接 BE．
图（2）
N
A
B C
D
E
F
M
N
图（1-1）
A
B C
D
E
FM
∵ AD BC∥ ，∴四边形GDCN 是平行四边形．
∴ NG CD BC ．
同理，四边形 ABNG 也是平行四边形．∴ 5
4AG BN ．
∵ 90MN BE EBC BNM ， °．
90NG BC MNG BNM EBC MNG ， °， ．
在 BCE△ 与 NGM△ 中
90
EBC MNG
BC NG
C NGM
，
，
°．
∴ BCE NGM EC MG△ ≌△ ， ．··························５分
∵ 11 4AM AG MG AM 5， = ．4 ······················································6 分
∴ 1
5
AM
BN
．·····················································································7 分
类比归纳
2
5
（或 4
10
）； 9
17
； 2
2
1
1
n
n
································································· 10 分
联系拓广
2 2
2 2
2 1
1
n m n
n m
······················································································· 12 分
评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分．
2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考
答案及评分说明进行估分．
（2009 年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
【解】 金额 w（元）
300
200
N
图（1-2）
A
B C
D
E
FM G
O 6020
4
批发单价（元）
5
批发量（kg）
①
②
第 23 题图（1）
O 62
40
日
最高销量（kg）
80
零售价（元）
第 23 题图（2）
4 8
（6，80）
（7，40）
（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的
函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什
么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
【解】
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函
数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，
且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，
使得当日获得的利润最大．
【解】
23．（1）解：图①表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果，
可按 5 元/kg 批发；……3 分
图②表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发．
………………………………………………………………3 分
（2）解：由题意得： 20 60
60
5
4
m m
w
m m
≤ ≤（ ）
）＞（ ，函数图象如图所示．
金额 w（元）
O 批发量 m（kg）
300
200
100
20 40 60
240
………………………………………………………………7 分
由图可知资金金额满足 240＜w≤300 时，以同样的资金可
批发到较多数量的该种水果．……………………………8 分
（3）解法一：
设当日零售价为 x 元，由图可得日最高销量 320 40w m
当 m＞60 时，x＜6.5
由题意，销售利润为
2( 4)(320 40 ) 40[ ( 6) 4]y x m x ………………………………12 分
当 x＝6 时， 160y 最大值 ，此时 m＝80
即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，
当日可获得最大利润 160 元．……………………………………………14 分
解法二：
设日最高销售量为 xkg（x＞60）
则由图②日零售价 p 满足： 320 40x p ，于是 320
40
xp
销售利润 2320 1( 4) ( 80) 16040 40
xy x x ………………………12 分
当 x＝80 时， 160y 最大值 ，此时 p＝6
即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，
当日可获得最大利润 160 元．……………………………………………14 分
（2009 年江西省）25．如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC∥ ，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC∥ 交CD
于点 F ． 4 6AB BC ， ， 60B ∠ .
（1）求点 E 到 BC 的距离；
（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN AB∥ 交折线 ADC 于点
N ，连结 PN ，设 EP x .
①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， PMN△ 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN△ 的周长；若改变，
请说明理由；
②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使 PMN△ 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求
的 x 的值；若不存在，请说明理由.
A D
E
B
F
C
图 4（备用）
A D
E
B
F
C
图 5（备用）
A D
E
B
F
C
图 1 图 2
A D
E
B
F
C
P
N
M
图 3
A D
E
B
F
C
P
N
M
（第 25 题）
25．（1）如图 1，过点 E 作 EG BC 于点G．···················· 1 分
∵ E 为 AB 的中点，
∴ 1 22BE AB ．
在 Rt EBG△ 中， 60B ∠ ，∴ 30BEG ∠ ．············2 分
∴ 2 21 1 2 1 32BG BE EG ， ．
即点 E 到 BC 的距离为 3．······································3 分
（2）①当点 N 在线段 AD 上运动时， PMN△ 的形状不发生改变．
∵ PM EF EG EF ， ，∴ PM EG∥ ．
∵ EF BC∥ ，∴ EP GM ， 3PM EG ．
同理 4MN AB ．···················································································4 分
如图 2，过点 P 作 PH MN 于 H ，∵ MN AB∥ ，
∴ 60 30NMC B PMH ∠ ∠ ，∠ ．
∴ 1 3
2 2PH PM ．
∴ 3cos30 2MH PM ．
则 3 54 2 2NH MN MH ．
在 Rt PNH△ 中，
22
2 2 5 3 72 2PN NH PH
．
∴ PMN△ 的周长= 3 7 4PM PN MN ．······································· 6 分
②当点 N 在线段 DC 上运动时， PMN△ 的形状发生改变，但 MNC△ 恒为等边三角形．
当 PM PN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NR ．
类似①， 3
2MR ．
∴ 2 3MN MR ．···················································································· 7 分
∵ MNC△ 是等边三角形，∴ 3MC MN ．
此时， 6 1 3 2x EP GM BC BG MC ．···································· 8 分
图 1
A D
E
B
F
CG
图 2
A D
E
B
F
C
P
N
MG
H
图 3
A D
E
B
F
C
P
N
M
图 4
A D
E
B
F
C
P
M
N
图 5
A D
E
B
F（P）
C
M
N
GG
R
G
当 MP MN
时，如图 4，这时 3MC MN MP ．
此时， 6 1 3 5 3x EP GM ．
当 NP NM 时，如图 5， 30NPM PMN ∠ ∠ ．
则 120PMN ∠ ，又 60MNC ∠ ，
∴ 180PNM MNC ∠ ∠ ．
因此点 P 与 F 重合， PMC△ 为直角三角形．
∴ tan30 1MC PM ．
此时， 6 1 1 4x EP GM ．
综上所述，当 2x 或 4 或 5 3 时， PMN△ 为等腰三角形．·····················10 分
（2009 年广东广州）25.（本小题满分 14 分）
如图 13，二次函数 )0(2 pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与
y 轴交于点 C（0，-1），ΔABC 的面积为
4
5 。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆
有公共点，求 m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？若存
在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。
25.（本小题满分 14 分）
解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知 0.5OC×AB=
4
5 ,得 AB= 5
2
，
设 A（a,0）,B(b,0)AB=b a= 2( ) 4a b ab = 5
2
，解得 p= 3
2
,但 p<0,所以 p= 3
2
。
所以解析式为： 2 3 12y x x
（2）令 y=0，解方程得 2 3 1 02x x ，得 1 2
1 , 22x x ,所以 A( 1
2
,0),B(2,0),在直角三角形 AOC
中可求得 AC= 5
2 ,同样可求得 BC= 5 ,，显然 AC2+BC2=AB2,得三角形 ABC 是直角三角形。AB
为斜边，所以外接圆的直径为 AB= 5
2 ,所以 5 5
4 4m .
（3）存在，AC⊥BC,①若以 AC 为底边，则 BD//AC,易求 AC 的解析式为 y=-2x-1,可设 BD 的解析式
为 y=-2x+b，把 B(2,0)代入得 BD 解析式为 y=-2x+4，解方程组
2 3 12
2 4
y x x
y x
得 D（ 5
2
,9）
②若以 BC 为底边，则 BC//AD,易求 BC 的解析式为 y=0.5x-1,可设 AD 的解析式为 y=0.5x+b，把
A( 1
2
,0)代入得 AD 解析式为 y=0.5x+0.25，解方程组
2 3 12
0.5 0.25
y x x
y x
得 D( 5 3,2 2 )
综上，所以存在两点：（ 5
2
,9）或( 5 3,2 2 )。
（2009 年广东省中山市）22. （本题满分 9 分）正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，
当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN
面积最大，并求出最大面积；
（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时 x 的值.
D
B
A
M C
N
（2009 年哈尔滨市）28．(本题 10 分）
如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），
点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．
（1）求直线 AC 的解析式；
（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，
设△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范
围）；
（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角
的正切值．
(2009 山东省泰安市)26（本小题满分 10 分）
如 图 所 示 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， ∠ ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E 是 AB
的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2） 求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线；
（3） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。
26、（本小题满分 10 分）
证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 互余，
∴∠1=∠2…………………………………………………1 分
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2 分
∴AD=BE……………………………………………………3 分
（2）∵E 是 AB 中点，
∴EB=EA
由（1）AD=BE 得：AE=AD……………………………5 分
∵AD∥BC
∴∠7=∠ACB=45°
∵∠6=45°
∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。
即，AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分
（3）△DBC 是等腰三角（CD=BD）……………………8 分
理由如下：
由（2）得：CD=CE
由（1）得：CE=BD
∴CD=BD
∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分
（2009 年威海市）25．（12 分）
一次函数 y ax b 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 ,M N ，与反比例函数 ky x
的图象相交于点 ,A B ．过
点 A 分别作 AC x 轴， AE y 轴，垂足分别为 ,C E ；过点 B 分别作 BF x 轴， BD y 轴，垂足分别为
F D， ，AC 与 BD 交于点 K ，连接 CD ．
（1）若点 A B， 在反比例函数 ky x
的图象的同一分支上，如图 1，试证明：
① AEDK CFBKS S四边形 四边形 ；
② AN BM ．
（2）若点 A B， 分别在反比例函数 ky x
的图象的不同分支上，如图 2，则 AN 与 BM 还相等吗？试证明你
的结论．
25．（本小题满分 12 分）
解：（1）① AC x ⊥ 轴， AE y⊥ 轴，
四边形 AEOC 为矩形．
BF x⊥ 轴， BD y⊥ 轴，
四边形 BDOF 为矩形．
AC x ⊥ 轴， BD y⊥ 轴，
四边形 AEDK DOCK CFBK， ， 均为矩形．···········1 分
1 1 1 1OC x AC y x y k ， ， ，
1 1AEOCS OC AC x y k 矩形
2 2 2 2OF x FB y x y k ， ， ，
2 2BDOFS OF FB x y k 矩形 ．
AEOC BDOFS S矩形 矩形 ．
AEDK AEOC DOCKS S S 矩形 矩形 矩形 ，
CFBK BDOF DOCKS S S 矩形 矩形 矩形 ，
AEDK CFBKS S矩形 矩形 ．·················································································· 2 分
O C F M
D
E
N
K
y
x
1 1( )A x y，
2 2( )B x y，
（第 25 题图 1）
O C
D K
F
E
N
y
x
1 1( )A x y，
3 3( )B x y，
M
（第 25 题图 2）
O C F M
D
E
N
K
y
x
A
B
图 1
②由（1）知 AEDK CFBKS S矩形 矩形 ．
AK DK BK CK ．
AK BK
CK DK
．······························································································4 分
90AKB CKD °，
AKB CKD△ ∽△ ．····················································································5 分
CDK ABK ．
AB CD∥ ．······························································································· 6 分
AC y∥ 轴，
四边形 ACDN 是平行四边形．
AN CD ．······························································································· 7 分
同理 BM CD ．
AN BM ．·······························································································8 分
（2） AN 与 BM 仍然相等．············································································· 9 分
AEDK AEOC ODKCS S S 矩形 矩形 矩形 ，
BKCF BDOF ODKCS S S 矩形 矩形 矩形 ，
又 AEOC BDOFS S k 矩形 矩形 ，
AEDK BKCFS S矩形 矩形 ．·····························10 分
AK DK BK CK ．
CK DK
AK BK
．
K K ，
CDK ABK△ ∽△ ．
CDK ABK ．
AB CD∥ ．······························································································11 分
AC y∥ 轴，
四边形 ANDC 是平行四边形．
AN CD ．
同理 BM CD ．
AN BM ．·····························································································12 分
（2009 年烟台市）26．(本题满分 14 分)
如图，抛物线 2 3y ax bx 与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点 (2 3 )a， ，对称轴是直线
1x ，顶点是 M ．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
O C
D K
F
E
N
y
x
A
B
M
图 2
（2） 经过C,M 两点作直线与 x 轴交于点 N ，在抛物线上是否存在这样的点 P ，使以点 P A C N， ， ， 为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设直线 3y x 与 y 轴的交点是 D ，在线段 BD 上任取一点 E（不与 B D， 重合），经过 A B E， ，
三点的圆交直线 BC 于点 F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由；
（4） 当 E 是直线 3y x 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
26．（本题满分 14 分）
解：（1）根据题意，得
3 4 2 3
1.2
a a b
b
a
，
·············· 2 分
解得 1
2.
a
b
，
抛物线对应的函数表达式为 2 2 3y x x ．········ 3 分
（2）存在．
在 2 2 3y x x 中，令 0x ，得 3y ．
令 0y ，得 2 2 3 0x x ， 1 21 3x x ， ．
( 1 0)A ， ， (3 0)B ， ， (0 3)C ， ．
又 2( 1) 4y x ，顶点 (1 4)M ， ．·······························································5 分
容易求得直线CM 的表达式是 3y x ．
在 3y x 中，令 0y ，得 3x ．
( 3 0)N ， ， 2AN ．················································································ 6 分
在 2 2 3y x x 中，令 3y ，得 1 20 2x x ， ．
2CP AN CP ， ．
O B x
y
A
M
C
1
3
（第 26 题图）
y
x
E
D
N
OA
C
M
P
N1
F
（第 26 题图）
AN CP ∥ ，四边形 ANCP 为平行四边形，此时 (2 3)P ， ．····························· 8 分
（3） AEF△ 是等腰直角三角形．
理由：在 3y x 中，令 0x ，得 3y ，令 0y ，得 3x ．
直线 3y x 与坐标轴的交点是 (0 3)D ， ， (3 0)B ， ．
OD OB ， 45OBD °．······································································· 9 分
又点 (0 3)C ， ， OB OC ． 45OBC °．············································ 10 分
由图知 45AEF ABF °， 45AFE ABE °．···································· 11 分
90EAF °，且 AE AF ． AEF△ 是等腰直角三角形．·····························12 分
（4）当点 E 是直线 3y x 上任意一点时，（3）中的结论成立．························ 14 分
（2009 年山东省日照）24． (本题满分 10 分)
已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，
CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中的结论
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成
立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
24．（本题满分 10 分）
解：（1）证明：在 Rt△FCD 中，
∵G 为 DF 的中点，
∴ CG= FD．………………1 分
同理，在 Rt△DEF 中，
EG= FD． ………………2 分
FB
A D
C
E
G
第 24 题图①
D
F
B
A D
C
E
G
第 24 题图②
F
B
A
C
E
第 24 题图③
∴ CG=EG．…………………3 分
（2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG．…………………………4 分
证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点．
在△DAG 与△DCG 中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．………………………5 分
在△DMG 与△FNG 中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形 AENM 中，AM=EN． ……………6 分
在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG． ……………………………8 分
证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，
连接 MF，ME，EC， ……………………4 分
在△DCG 与△FMG 中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．
∴MF∥CD∥AB．………………………5 分
∴ ．
在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中，
∵ MF=CB，EF=BE，
∴△MFE ≌△CBE．
∴ ．…………………………………………………6 分
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7 分
∴ △MEC 为直角三角形．
∵ MG = CG，
∴ EG= MC．
∴ ．………………………………8 分
（3）（1）中的结论仍然成立，
即 EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10 分
（2009 年潍坊市）24．（本小题满分 12 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 A B C D、 、 、 四
点．抛物线 2y ax bx c 与 y 轴交于点 D ，与直线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆O 相切于点
A 和点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆O 于 F ，求 EF 的长．
（3）过点 B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由．
24．（本小题满分 12 分）
解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为 1，
点 A B C D、 、 、 的坐标分别为 ( 1 0) (0 1) (1 0) (01)A B C D ，、 ， 、 ，、 ，
抛物线与直线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C ，
( 1 1) (11)M N ， 、 ， ．··················································································· 2 分
点 D M N、 、 在抛物线上，将 (01) ( 1 1) (11)D M N ，、 ， 、 ， 的坐标代入
2y ax bx c ，得：
1
1
1
c
a b c
a b c
解之，得：
1
1
1
a
b
c
抛物线的解析式为： 2 1y x x ．····························································· 4 分
O x
y
N
C
D
E
F
BM
A
（2）
2
2 1 51 2 4y x x x
抛物线的对称轴为 1
2x ，
1 1 512 4 2OE DE ， ．··················6 分
连结 90BF BFD ， °，
BFD EOD△ ∽△ ， DE OD
DB FD
，
又 5 1 22DE OD DB ， ， ，
4 5
5FD ，
4 5 5 3 5
5 2 10EF FD DE ．···························································· 8 分
（3）点 P 在抛物线上．··················································································· 9 分
设过 D C、 点的直线为： y kx b ，
将点 (1 0) (01)C D，、 ， 的坐标代入 y kx b ，得： 1 1k b ， ，
直线 DC 为： 1y x ．··········································································· 10 分
过点 B 作圆O 的切线 BP 与 x 轴平行， P 点的纵坐标为 1y ，
将 1y 代入 1y x ，得： 2x ．
P 点的坐标为 (2 1)， ，··············································································· 11 分
当 2x 时， 2 21 2 2 1 1y x x ，
所以， P 点在抛物线 2 1y x x 上．····························································12 分
说明：解答题各小题中只给出了 1 种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．
（2009 年山东临沂市）26．（本小题满分 13 分）
如图，抛物线经过 (4 0) (1 0) (0 2)A B C ，， ，， ， 三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角
O x
y
N
C
D
E
F
BM
A
P
形与 OAC△ 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 DCA△ 的面积最大，求出点 D 的坐标．
26．解：（1）该抛物线过点 (0 2)C ， ，可设该抛物线的解析式为 2 2y ax bx ．
将 (4 0)A ， ， (1 0)B ， 代入，
得 16 4 2 0
2 0
a b
a b .
，
解得
1
2
5
2
a
b .
，
此抛物线的解析式为 21 5 22 2y x x ．·················································（3 分）
（2）存在．····························································································· （4 分）
如图，设 P 点的横坐标为 m ，
则 P 点的纵坐标为 21 5 22 2m m ，
当1 4m 时，
4AM m ， 21 5 22 2PM m m ．
又 90COA PMA °，
①当 2
1
AM AO
PM OC
时，
APM ACO△ ∽△ ，
即 21 54 2 22 2m m m
．
解得 1 22 4m m ， （舍去）， (21)P ， ．·····················································（6 分）
②当 1
2
AM OC
PM OA
时， APM CAO△ ∽△ ，即 21 52(4 ) 22 2m m m ．
解得 1 4m ， 2 5m （均不合题意，舍去）
当1 4m 时， (2 1)P ， ．······································································· （7 分）
类似地可求出当 4m 时， (5 2)P ， ．·························································（8 分）
O x
y
AB
C
41
2
（第 26 题图）
O x
y
AB
C
41
2
（第 26 题图）
D P
M
E
当 1m 时， ( 3 14)P ， ．
综上所述，符合条件的点 P 为 (2 1)， 或 (5 2)， 或 ( 3 14) ， ．··························（9 分）
（3）如图，设 D 点的横坐标为 (0 4)t t ，则 D 点的纵坐标为 21 5 22 2t t ．
过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E ．
由题意可求得直线 AC 的解析式为 1 22y x ．············································（10 分）
E 点的坐标为 1 22t t
， ．
2 21 5 1 12 2 22 2 2 2DE t t t t t
．········································· （11 分）
2 2 21 1 2 4 4 ( 2) 42 2DACS t t t t t △ ．
当 2t 时， DAC△ 面积最大．
(2 1)D ， ．····························································································（13 分）
(2009 年山东省济宁市)26. （12 分）
在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形OABC 的两顶点 A 、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.
现将正方形OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y x 上时停止旋转，旋转过程中， AB 边
交直线 y x 于点 M ， BC 边交 x 轴于点 N （如图）.
（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形
OABC 旋转的度数；
（3）设 MBN 的周长为 p ，在旋转正方形 OABC
的过程中， p 值是否有变化？请证明你的结论.
(第 26 题)
O
A
B
C
M
N
y x
x
y
26.（1）解：∵ A 点第一次落在直线 y x 上时停止旋转，
∴OA 旋转了 045 .
∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为
245 2
360 2
.……………4 分
（2）解：∵ MN ∥ AC ，
∴ 45BMN BAC , 45BNM BCA .
∴ BMN BNM .∴ BM BN .
又∵ BA BC ，∴ AM CN .
又∵OA OC , OAM OCN ,∴ OAM OCN .
∴ AOM CON .∴ 1 (90 452AOM .
∴旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为
45 .……………………………………………8 分
（3）答： p 值无变化.
证明：延长 BA 交 y 轴于 E 点，则 045AOE AOM ，
0 0 090 45 45CON AOM AOM ，
∴ AOE CON .
又∵OA OC ， 0 0 0180 90 90OAE OCN .
∴ OAE OCN .
∴ ,OE ON AE CN .
又∵ 045MOE MON ,OM OM ,
∴ OME OMN .∴ MN ME AM AE .
∴ MN AM CN ，
∴ 4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC .
∴在旋转正方形OABC 的过程中， p 值无变化. ……………12 分
（2009 年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点 D(0， 39
7 )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴
上截得的线段 AB 的长为 6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点 Q，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k
∵顶点 C 的横坐标为 4，且过点(0， 39
7 )
∴y=a(x-4)2+k ka 1639
7 ………………①
又∵对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6
∴A(1，0)，B(7，0)
∴0=9a+k ………………②
由①②解得 a=
9
3 ，k= 3－
∴二次函数的解析式为：y=
9
3 (x-4)2－ 3
⑵∵点 A、B 关于直线 x=4 对称
（第 26 题）
O
A
B
C
M
N
y x
x
y
E
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值
∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P
设直线 x=4 与 x 轴交于点 M
∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
BO
BM
DO
PM ∴
3
3
7
339
7
PM
∴点 P 的坐标为(4，
3
3 )
⑶由⑴知点 C(4， 3 )，
又∵AM=3，∴在 Rt△AMC 中，cot∠ACM=
3
3 ，
∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o
①当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QN⊥x 轴于 N
如果 AB=BQ，由△ABC∽△ABQ 有
BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o
∴QN=3 3 ，BN=3，ON=10，
此时点 Q(10， 33 )，
如果 AB=AQ，由对称性知 Q(-2， 33 )
②当点 Q 在 x 轴下方时，△QAB 就是△ACB，
此时点 Q 的坐标是(4， 3 )，
经检验，点(10， 33 )与(-2， 33 )都在抛物线上
综上所述，存在这样的点 Q，使△QAB∽△ABC
点 Q 的坐标为(10， 33 )或(-2， 33 )或(4， 3 )．
（2009 年四川南充市）21．如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 (3 3)A ， ．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 (6 )B m， ，求 m 的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 C、D，求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 1S 与四边形 OABD 的面积
S 满足： 1
2
3S S ？若存在，求点 E 的坐标；
若不存在，请说明理由．
21．解：（1）设正比例函数的解析式为 1 1( 0)y k x k ，
因为 1y k x 的图象过点 (3 3)A ， ，所以
13 3k ，解得 1 1k ．
这个正比例函数的解析式为 y x ．······························································（1 分）
设反比例函数的解析式为 2
2( 0)ky kx
．
y
xO C
D
B
A
3
3 6
因为 2ky x
的图象过点 (3 3)A ， ，所以
23 3
k ，解得 2 9k ．
这个反比例函数的解析式为 9y x
．····························································· （2 分）
（2）因为点 (6 )B m， 在 9y x
的图象上，所以
9 3
6 2m ，则点 36 2B
， ．······································································ （3 分）
设一次函数解析式为 3 3( 0)y k x b k ．
因为 3y k x b 的图象是由 y x 平移得到的，
所以 3 1k ，即 y x b ．
又因为 y x b 的图象过点 36 2B
， ，所以
3 62 b ，解得 9
2b ，
一次函数的解析式为 9
2y x ．·······························································（4 分）
（3）因为 9
2y x 的图象交 y 轴于点 D ，所以 D 的坐标为 90 2
， ．
设二次函数的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a ．
因为 2y ax bx c 的图象过点 (3 3)A ， 、 36 2B
， 、和 D 90 2
， ，
所以
9 3 3
336 6 2
9 .2
a b c
a b c
c
，
，·················（5 分） 解得
1
2
4
9 .2
a
b
c
，
，
这个二次函数的解析式为 21 942 2y x x ．·············································· （6 分）
（4） 9
2y x 交 x 轴于点C ，点C 的坐标是 9 02
， ，
y
xO C
D
B
A
3
3 6
E
如图所示， 15 1 1 3 16 6 6 3 3 32 2 2 2 2S
9 945 18 4 2
81
4
．
假设存在点 0 0( )E x y， ，使 1
2 81 2 27
3 4 3 2S S ．
四边形CDOE 的顶点 E 只能在 x 轴上方， 0 0y ，
1 OCD OCES S S △ △
0
1 9 9 1 9
2 2 2 2 2 y
0
81 9
8 4 y ．
0
81 9 27
8 4 2y ， 0
3
2y ．···································································（7 分）
0 0( )E x y ， 在二次函数的图象上，
2
0 0
1 9 342 2 2x x ．
解得 0 2x 或 0 6x ．
当 0 6x 时，点 36 2E
， 与点 B 重合，这时CDOE 不是四边形，故 0 6x 舍去，
点 E 的坐标为 32 2
， ．··········································································· （8 分）
（2009 年四川凉山州）26．如图，已知抛物线 2y x bx c 经过 (1 0)A ， ， (0 2)B ， 两点，顶点为 D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将 OAB△ 绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C ，求平移后
所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 1B ，顶点为 1D ，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足 1NBB△
的面积是 1NDD△ 面积的 2 倍，求点 N 的坐标．
y
x
B
AO D
（第 26 题）
26．解：（1）已知抛物线 2y x bx c 经过 (1 0) (0 2)A B，， ， ，
0 1
2 0 0
b c
c
解得 3
2
b
c
所求抛物线的解析式为 2 3 2y x x ．·························································· 2 分
（2） (1 0)A ， ， (0 2)B ， ， 1 2OA OB ，
可得旋转后C 点的坐标为 (31)， ··········································································· 3 分
当 3x 时，由 2 3 2y x x 得 2y ，
可知抛物线 2 3 2y x x 过点 (3 2)，
将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点C ．
平移后的抛物线解析式为： 2 3 1y x x ．·····················································5 分
（3）点 N 在 2 3 1y x x 上，可设 N 点坐标为 2
0 0 0( 3 1)x x x ，
将 2 3 1y x x 配方得
23 5
2 4y x
，其对称轴为 3
2x ．·························· 6 分
①当 0
30 2x 时，如图①，
1 1
2NBB NDDS S △ △
0 0
1 1 31 2 12 2 2x x
0 1x
此时 2
0 03 1 1x x
y
x
C
B
A
O
N
D
B1
D1
图①
N 点的坐标为 (1 1)， ．················································································· 8 分
②当 0
3
2x 时，如图②
同理可得 0 0
1 1 31 22 2 2x x
0 3x
此时 2
0 03 1 1x x
点 N 的坐标为 (31)， ．
综上，点 N 的坐标为 (1 1)， 或 (31)， ．······························································· 10 分
（2009 年武汉市）25．（本题满分 12 分）
如图，抛物线 2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， 、 (0 4)C ， 两点，与 x 轴交于另一点 B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 ( 1)D m m ， 在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 45DBP °，求点 P 的坐标．
25．解：（1）抛物线 2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， ， (0 4)C ， 两点，
y
x
C
B
A
O D
B1
D1
图②
N
y
xO
A B
C
4 0
4 4.
a b a
a
，
解得 1
3.
a
b
，
抛物线的解析式为 2 3 4y x x ．
（2）点 ( 1)D m m ， 在抛物线上， 21 3 4m m m ，
即 2 2 3 0m m ， 1m 或 3m ．
点 D 在第一象限，点 D 的坐标为 (3 4)， ．
由（1）知 45OA OB CBA ， °．
设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ．
(0 4)C ， ， CD AB ∥ ，且 3CD ，
45ECB DCB °，
E 点在 y 轴上，且 3CE CD ．
1OE ， (01)E ， ．
即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1）．
（3）方法一：作 PF AB⊥ 于 F ， DE BC⊥ 于 E ．
由（1）有： 4 45OB OC OBC ， °，
45DBP CBD PBA °， ．
(0 4) (3 4)C D ，， ， ， CD OB ∥ 且 3CD ．
45DCE CBO °，
3 2
2DE CE ．
4OB OC ， 4 2BC ， 5 2
2BE BC CE ，
3tan tan 5
DEPBF CBD BE
．
设 3PF t ，则 5BF t ， 5 4OF t ，
( 5 4 3 )P t t ， ．
P 点在抛物线上，
23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t ，
y
xO
A B
C D
EP
F
y
xO
A B
C D
E
0t （舍去）或 22
25t ， 2 66
5 25P
， ．
方法二：过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点Q ，过点 D 作 DH x⊥ 轴于 H ．过Q 点作QG DH⊥ 于G ．
45PBD QD DB °， ．
QDG BDH 90 °，
又 90DQG QDG °， DQG BDH ．
QDG DBH△ ≌△ ， 4QG DH ， 1DG BH ．
由（2）知 (3 4)D ， ， ( 13)Q ， ．
(4 0)B ， ，直线 BP 的解析式为 3 12
5 5y x ．
解方程组
2 3 4
3 12
5 5
y x x
y x
，
，
得 1
1
4
0
x
y
，
；
2
2
2
5
66 .25
x
y
，
点 P 的坐标为 2 66
5 25
， ．
（2009 年鄂州市）27．如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形
CFGH，延长 BC 至 M，使 CM＝｜CF—EO｜，再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO
(1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由
(2)令
；四边形
四边形
CNMN
CFGH
S
Sm ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由
(3)在(2)的条件下，若 CO＝1，CE＝
3
1 ，Q 为 AE 上一点且 QF＝
3
2 ，抛物线 y＝mx2+bx+c 经过 C、Q 两点，请求出
此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下，若抛物线 y＝mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、B、
K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理由。
y
xO
A B
C D
P
Q G
H
27、（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在 Rt△EFC 中，EF 为斜边，∴EF＞EC， 故 EO＞EC …2 分
（2）m 为定值
∵S 四边形 CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)
S 四边形 CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO
∴ 1
CMNO
CFGH
S
Sm
四边形
四边形 ……………………………………………………4 分
（3）∵CO=1，
3
2
3
1 QFCE ， ∴EF=EO= QF
3
2
3
11
∴cos∠FEC=
2
1 ∴∠FEC=60°，
∴ 30602
60180 EAOOEAFEA ，
∴△EFQ 为等边三角形，
3
2EQ …………………………………………5 分
作 QI⊥EO 于 I，EI=
3
1
2
1 EQ ，IQ=
3
3
2
3 EQ
∴IO=
3
1
3
1
3
2 ∴Q 点坐标为 )3
1,3
3( ……………………………………6 分
∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)， Q )3
1,3
3( ，m=1
∴可求得 3b ，c=1
∴抛物线解析式为 132 xxy ……………………………………7 分
（4）由（3）， 33
23 EOAO
当 33
2x 时，
3
1133
23)33
2( 2 y ＜AB
∴P 点坐标为 )3
1,3
32( …………………8 分
∴BP=
3
2
3
11 AO
方法 1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF≌△AEO，则分情况 如下：
①
3
32
3
2
3
2 BK 时，
9
32BK ∴K 点坐标为 )1,9
34( 或 )1,9
38(
②
3
2
3
2
3
32
BK 时，
3
32BK ∴K 点坐标为 )1,3
34( 或 )1,0( …………10 分
故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为
)1,0()3
1,0()3
7,0()3
5,0( 或或或 …………………………………………12 分
方法 2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或 60°，过 P 作 PR⊥y 轴于 R，则∠RTP=60°或 30°
①当∠RTP=30°时， 233
32 RT
②当∠RTP=60°时，
3
233
32 RT
∴ )1,0()3
1,0()3
5,0()3
7,0( 4321 TTTT ，，， ……………………………12 分
（2009 年湖北省黄石市）24、（本题满分 9 分）
如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连结 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作
正方形 ADEF。
解答下列问题：
（1）如果 AB=AC，∠BAC=90°，①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的
位置关系为 ，数量关系为 。
②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90°点 D 在线段 BC 上运动。
试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图
不写作法）
（3）若 AC=4 2 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求线段 CP 长
的最大值。
24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD
②成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF
又 BA=CA AD=AF
∴△BAD≌△CAF
∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°
∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1 分）
（2）当∠ACB=45°时可得 CF⊥BC，理由如下：
如图：过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 G
则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC AD=AF ………（1 分）
∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2 分）
（3）如图：作 AQBC 于 Q
∵∠ACB=45° AC=4 2 ∴CQ=AQ=4
∵∠PCD=∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°
∴△ADQ∽△DPC …（1 分）
∴
DQ
PC = AQ
CD
设 CD 为 x（0＜x＜3）则 DQ=CQ－CD=4－x
则
x
PC
4 = 4
x …………（1 分）
∴PC= 4
1 (－x2+4x)=－
4
1 (x－2)2+1≥1
当 x=2 时，PC 最长，此时 PC=1 ………（1 分）
（2009 年湖北省孝感市）25．（本题满分 12 分）
如图，点 P 是双曲线 1
1( 0 0)ky k x
x
， 上一动点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交 x 轴、y 轴于 A、
B 两点，交双曲线 y = x
k2 （0＜k2＜|k1|）于 E、F 两点．
（1）图 1 中，四边形 PEOF 的面积 S1= ▲ (用含 k1、k2 的式子表示)；（3 分）
（2）图 2 中，设 P 点坐标为（－4，3）．
①判断 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；（4 分）
②记 2 PEF OEFS S S ，S2 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5 分）
25．解：（1） 2 1k k ； … ………………………………3 分
（2）①EF∥AB． ……………………………………4 分
证明：如图，由题意可得 A（–4，0），B（0，3）， 2( 4, )
4
kE ， 2( ,3)
3
kF ．
∴PA=3，PE= 23 4
k ，PB=4，PF= 24 3
k ．
∴
2 2
3 12
123
4
PA
kPE k
，
2 2
4 12
124
3
PB
kPF k
∴ PA PB
PE PF
． ………………………… 6 分
又∵∠APB=∠EPF．
∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．
∴EF∥AB． …………………………… 7 分
②S2 没有最小值，理由如下：
过 E 作 EM⊥y 轴于点 M，过 F 作 FN⊥x 轴于点 N，两线交于点 Q．
由上知 M（0， 2
4
k ），N（ 2
3
k ，0），Q（ 2
3
k ， 2
4
k ）． ……………… 8 分
而 S△EFQ= S△PEF，
∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S 矩形 OMQN
＝
432
1
2
1 22
22
kkkk
＝ 2
2 2
1
12k k
= 2
2
1 ( 6) 3
12
k ． ………………………… 10 分
当 2 6k 时，S2 的值随 k2 的增大而增大，而 0＜k2＜12． …………… 11 分
∴0＜S2＜24，s2 没有最小值． …………………………… 12 分
说明：1．证明 AB∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过 A、B 两点和经过 E、F 两点的
直线解析式，利用这两个解析式中 x 的系数相等来证明 AB∥EF；方法二：利用 tan PAB ＝ tan PEF
来证明 AB∥EF；方法三：连接 AF、BE，利用 S△AEF＝S△BFE 得到点 A、点 B 到直线 EF 的距离相等，再
由 A、B 两点在直线 EF 同侧可得到 AB∥EF．
2．求 S2 的值时，还可进行如下变形：
S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S 四边形 PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S 四边形 PEOF，再利用第（1）题中的结论．
（2009 年湖北省荆门市）25．(本题满分 12 分)一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，
记抛物线顶点为 C，且 AC⊥BC．
(1)若 m 为常数，求抛物线的解析式；
(2)若 m 为小于 0 的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若
不存在，请说明理由．
第 25 题图
25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2 分
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又 AB＝4，
∴C(m，－2)代入得 a＝ 1
2
．∴解析式为：y＝ 1
2 (x－m)2－2．…………………………5 分
(亦可求 C 点，设顶点式)
(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移 2 个单位，可以使抛物线 y＝ 1
2 (x
－m)2－2 顶点在坐标原点．………………………………………7 分
(3)由(1)得 D(0， 1
2 m2－2)，设存在实数 m，使得△BOD 为等腰三角形．
∵△BOD 为直角三角形，∴只能 OD＝OB．……………………………………………9 分
∴ 1
2 m2－2＝|m＋2|，当 m＋2＞0 时，解得 m＝4 或 m＝－2(舍)．
当 m＋2＜0 时，解得 m＝0(舍)或 m＝－2(舍)；
当 m＋2＝0 时，即 m＝－2 时，B、O、D 三点重合(不合题意，舍)
综上所述：存在实数 m＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12 分
（2009 年襄樊市）26．（本小题满分 13 分）
如图 13，在梯形 ABCD 中， 2 4AD BC AD BC ∥ ， ， ，点 M 是 AD 的中点， MBC△ 是等边三角形．
（1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；
（2）动点 P 、Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动，且 60MPQ ∠ 保持不变．设 PC x MQ y ， ，求 y 与 x
的函数关系式；
（3）在（2）中：①当动点 P 、Q 运动到何处时，以点 P 、 M 和点 A 、 B 、 C 、 D 中的两个点为顶点的
四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当 y 取最小值时，判断 PQC△ 的形状，并说明理由．
26．（1）证明：∵ MBC△ 是等边三角形
∴ 60MB MC MBC MCB ，∠ ∠ ·········1 分
∵ M 是 AD 中点
∴ AM MD
∵ AD BC∥
∴ 60AMB MBC ∠ ∠ ，
60DMC MCB ∠ ∠
∴ AMB DMC△ ≌△ ·······················2 分
∴ AB DC
∴梯形 ABCD 是等腰梯形．·························································3 分
（2）解：在等边 MBC△ 中， 4MB MC BC ， 60MBC MCB ∠ ∠ ，
60MPQ ∠
∴ 120BMP BPM BPM QPC ∠ ∠ ∠ ∠
∴ BMP QPC∠ ∠ ············································································4 分
∴ BMP CQP△ ∽△ ∴ PC CQ
BM BP
······················································5 分
∵ PC x MQ y ， ∴ 4 4BP x QC y ， ····································· 6 分
∴ 4
4 4
x y
x
∴ 21 44y x x ·························································· 7 分
（3）解：①当 1BP 时，则有 BP AM BP MD ∥ ∥，
则四边形 ABPM 和四边形 MBPD 均为平行四边形
∴ 21 133 3 44 4MQ y ····················································8 分
当 3BP 时，则有 PC AM PC MD ∥ ∥，
A D
CB
P
M
Q60°
图 13A D
CB
P
M
Q60°
则四边形 MPCD 和四边形 APCM 均为平行四边形
∴ 1 131 1 44 4MQ y ······················································9 分
∴当 131 4BP MQ ， 或 133 4BP MQ ， 时，以 P、M 和 A、B、C、 D 中的两个点为顶点
的四边形是平行四边形．
此时平行四边形有 4 个．····························································10 分
② PQC△ 为直角三角形···························································· 11 分
∵ 21 2 34y x
∴当 y 取最小值时， 2x PC ·················································12 分
∴ P 是 BC 的中点， MP BC ，而 60MPQ ∠ ，
∴ 30CPQ ∠ ，∴ 90PQC ∠ ···············································13 分
（2009 年湖南省株洲市）23．（本题满分 12 分）如图，已知 ABC 为直角三角形， 90ACB ，AC BC ,
点 A 、C 在 x 轴上，点 B 坐标为（3 ， m ）（ 0m ），线段 AB 与 y 轴相交于点 D ，以 P （1，0）为顶点的抛
物线过点 B 、 D ．
（1）求点 A 的坐标（用 m 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连结 BQ 并延长交 AC 于
点 F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值．
23．（1）由 (3, )B m 可知 3OC ， BC m ，又△ABC 为等腰直角三角形，∴ AC BC m ， 3OA m ，
所以点 A 的坐标是（ 3 ,0m ）. ………………… 3 分
（2）∵ 45ODA OAD ∴ 3OD OA m ，则点 D 的坐标是（ 0, 3m ）.
又抛物线顶点为 (1,0)P ，且过点 B 、 D ，所以可设抛物线的解析式为： 2( 1)y a x ，得：
2
2
(3 1)
(0 1) 3
a m
a m
解得 1
4
a
m
∴抛物线的解析式为 2 2 1y x x ………7 分
（3）过点 Q 作 QM AC 于点 M ，过点 Q 作 QN BC 于点 N ，设点 Q 的坐标是 2( , 2 1)x x x ，则
2( 1)QM CN x ， 3MC QN x .
∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴ QM PM
EC PC
即
2( 1) 1
2
x x
EC
，得 2( 1)EC x
∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴ QN BN
FC BC
即
23 4 ( 1)
4
x x
FC
，得 4
1FC x
又∵ 4AC
∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x
即 ( )FC AC EC 为定值 8. ……………………12 分
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（2009 年衡阳市）26、（本小题满分 9 分）
如图 12，直线 4 xy 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意一点（A、B 两点除外），
过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C，MD⊥OB 于 D．
（1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动，设平移的距离为 )40 aa（ ，
正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S．试求 S 与 a 的函数关系式并画出该函数的图象．
B
x
y
M
C
D
O A
图 12（1）
B
x
y
O A
图 12（2）
B
x
y
O A
图 12（3）
解：（1）设点 M 的横坐标为 x，则点 M 的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）；
则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；
∴C 四边形 OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8
∴当点 M 在 AB 上运动时，四边形 OCMD 的周长不发生变化，总是等于 8；
（2）根据题意得：S 四边形 OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4
∴四边形 OCMD 的面积是关于点 M 的横坐标 x（0