2018届二轮复习空间几何体表面积或体积的求解学案（全国通用） 13页

专题四　立体几何 建知识 络　明内在联系 [高考点拨]　立体几何专题是浙江新高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一 大”呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和 空间位置关系及空间角，一大题常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探 求．本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”“空间中的平行与垂直关 系”“立体几何中的向量方法”三大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提 升解题技能． 突破点 8　空间几何体表面积或体积的求解 (对应 生用书第 29 页) [核心知识提炼] 提炼 1 求解几何体的表面积或体积 　 (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算． (2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等 体积转换法求解． (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面 是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 提炼 2 球与几何体的外接与内切 　 (1)正四面体与球：设正四面体的棱长为 a ，由正四面体本身的对称性，可知 其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径 r＝ 6 12a，外接球的半径 R＝ 6 4 a. (2)正方体与球：设正方体 ABCD­A1B1C1D1 的棱长为 a，O 为其对称中心，E， F，H，G 分别为 AD，BC，B 1C1，A1D1 的中点，J 为 HF 的中点，如图 8­1 所示． 图 8­1 ①正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，故其内切球的半径为 OJ＝a 2 ； ②正方体的棱切球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，故其棱切球的半径为 OG＝ 2a 2 ； ③正方体的外接球：截面图为矩形 ACC1A1 的外接圆，故其外接球的半径为 OA1＝ 3a 2 . [高考真题回访] 回访 1　空间几何体的结构及三视图 1．(2015·浙江高考)如图 8­2，斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60°，B 为斜足， 平面 α 上的动点 P 满足∠PAB＝30°，则点 P 的轨迹是(　　) 图 8­2 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 C　[因为∠PAB＝30°，所以点 P 的轨迹为以 AB 为轴线，PA 为母线的圆锥 面与平面 α 的交线，且平面 α 与圆锥的轴线斜交，故点 P 的轨迹为椭圆．] 2．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图 8­3 所示，则该几何体的 体积是(　　) 图 8­3 A．72 cm3　　 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3 B　[该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V＝ V 三棱柱＋V 长方体＝1 2 ×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．] 3．(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图 8­4 所示，则该几何 体的体积是(　　) 图 8­4 A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3 B　[此几何体为一个长方体 ABCD­A1B1C1D1 被截去了一个三棱锥 A­DEF，如 图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为 6、3、6，故其体积为 6×3×6 ＝108(cm3)．三棱锥的三条棱 AE、AF、AD 的长分别为 4、4、3，故其体积 为 1 3 ×(1 2 × 4 × 3)×4 ＝ 8(cm3) ， 所 以 所 求 几 何 体 的 体 积 为 108 － 8 ＝ 100(cm3)．] 回访 2　几何体的表面积或体积 4．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图 8­5 所示(单位：cm)，则该几何体的 体积(单位：cm3)是(　　) 图 8­5 A.π 2 ＋1　　　 B.π 2 ＋3 C.3π 2 ＋1　　　 D.3π 2 ＋3 A　[由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥 的一半与一个底面为直角边长是 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组 合体， ∴该几何体的体积 V＝1 3 ×1 2π×12×3＋1 3 ×1 2 × 2× 2×3＝π 2 ＋1.故选 A.] 5．(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图 8­6 所示(单位：cm)，则该几何体的 体积是(　　) 图 8­6 A．8 cm3 B．12 cm3 C.32 3 cm3 D.40 3 cm3 C　[由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合 体．下面是棱长为 2 cm 的正方体，体积 V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面 边长为 2 cm，高为 2 cm 的正四棱锥，体积 V2＝1 3 ×2×2×2＝8 3(cm3)，所以 该几何体的体积 V＝V1＋V2＝32 3 (cm3)．] 6．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图 8­7 所示，则此几何体的 表面积是(　　) 图 8­7 A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2 D　[该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为 6 cm，4 cm，3 cm， 直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm，所以表面积 S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋ (5 × 3＋4 × 3＋2 × 1 2 × 4 × 3)＝ 99＋39＝138(cm2)．] 7．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图 8­8 所示(单位：cm)，则该几何体的 表面积是________cm2，体积是________cm3. 图 8­8 80　40　[由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是 4，高为 2；上面正方体的棱长为 2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2 ＋2×2×4＝80(cm2)；体积为 4×4×2＋23＝40(cm3)．] 8．(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图 8­9 所示，则此几何体 的体积等于________cm3. 图 8­9 24　[由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三 棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别 为 3 和 4，三棱柱的高为 5，故其体积 V1＝1 2×3×4×5＝30(cm3)， 小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为 3，故其体积 V2＝1 3×1 2×3×4×3 ＝6(cm3)，所以所求几何体的体积为 30－6＝24(cm3)．] (对应 生用书第 31 页) 热点题型 1　几何体的表面积或体积 题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用公式是关键，求解时先根据条 件确定几何体的形状，再套用公式求解. 【例 1】　(1)如图 8­10，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积 是(　　) 图 8­10 A．17π　　 B．18π C．20π D．28π (2)如图 8­11， 格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视 图，则该多面体的表面积为(　　) 【导 号：68334098】 图 8­11 A．18＋36 5　　　　　 B．54＋18 5 C．90 D．81 (1)A　(2)B　[(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体 去掉上半球的1 4 ，得到的几何体如图．设球的半径为 R，则 4 3πR3 －1 8 ×4 3πR3＝28 3 π，解得 R＝2.因此它的表面积为7 8 ×4πR2＋3 4πR2＝17π.故选 A. (2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩 形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3 5)×2＝54＋ 18 5.故选 B.] [方法指津] 1．求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是 关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易 求，底面放在已知几何体的某一面上． (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为 规则几何体以易于求解． 2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1)根据给出的三视图判断该几何体的形状． (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解． [变式训练 1]　(1)某几何体的三视图如图 8­12 所示，则该几何体的体 积为(　　) 图 8­12 A.13 3 ＋π 3 B．5＋π 2 C．5＋π 3 D.13 3 ＋π 2 (2)(2017·温州市普通高中 4 月高考模拟考试 12)某几何体的三视图如图 8­13 所示，则此几何体的体积是________，表面积是________. 【导 号：68334099】 图 8­13 (1)D　(2)8 3 　6＋2 2＋2 5　[(1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个 三棱锥和一个1 4 圆柱组成，故该几何体的体积为 V＝2×1×2＋1 3 ×1 2 ×1×1×2 ＋1 4 ×π×12×2＝13 3 ＋π 2. (2)由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面是边长为 2 的正方形，高为 2， 所以该几何体的体积 V＝1 3 ×22×2＝8 3 ，表面积 S＝2×2＋1 2 ×2×2＋1 2 ×2×2 2＋2×1 2 ×2× 5＝6＋2 2＋2 5.] 热点题型 2　球与几何体的切、接问题 题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此 类问题求解的主线，考生要时刻谨记.先根据几何体的三视图确定其结构特征与 数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即 可；也可利用球的性质——球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几 何体的结构特征构造射影定理求解. 【例 2】　(1)一个几何体的三视图如图 8­14 所示，其中正视图是正三角形，则 该几何体的外接球的表面积为(　　) 图 8­14 A.8π 3 B.16π 3 C.48π 3 D.64π 3 (2)在封闭的直三棱柱 ABC­A1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝ 6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是(　　) 【导 号：68334100】 A．4π B.9π 2 C．6π D.32π 3 (1)D　(2)B　[(1)法一　由三视图可知，该几何体是如图 所示的三棱锥 S ­ ABC，其中 HS 是三棱锥的高，由三视图 可知 HS＝2 3，HA＝HB＝HC＝2，故 H 为△ABC 外接圆 的圆心，该圆的半径为 2. 由几何体的对称性可知三棱锥 S­ABC 外接球的球心 O 在直线 HS 上，连接 OB. 设球的半径为 R，则球心 O 到△ABC 外接圆的距离为 OH＝|SH－OS|＝|2 3－ R|， 由球的截面性质可得 R＝OB＝ OH2＋HB2＝ |2 3－R|2＋22，解得 R＝4 3 3 ， 所以所求外接球的表面积为 4πR2＝4π×16 3 ＝64π 3 .故选 D. 法二　由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥 S ­ABC，其中 HS 是三棱锥的高，由侧视图可知 HS＝2 3， 由正视图和侧视图可得 HA＝HB＝HC＝2. 由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心 O 在 HS 上，延长 SH 交球面于点 P，则 SP 就是球的直径， 由点 A 在球面上可得 SA⊥AP. 又 SH⊥平面 ABC，所以 SH⊥AH. 在 Rt△ASH 中，SA＝ SH2＋AH2＝ (2 3)2＋22＝4. 设球的半径为 R，则 SP＝2R， 在 Rt△SPA 中，由射影定理可得 SA2＝SH×SP，即 42＝2 3×2R，解得 R＝4 3 3 ， 所以所求外接球的表面积为 4πR2＝4π×16 3 ＝64π 3 .故选 D. (2)由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径 为 R.因为△ABC 的内切圆半径为6＋8－10 2 ＝2，所以 R≤2.又 2R≤3，所以 R≤ 3 2 ，所以 Vmax＝4 3π(3 2 )3＝9 2π.故选 B.] [方法指津] 解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间 的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征 确定.对于旋转 体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于 多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据 和球的半径在截面图形中体现出 . [变式训练 2]　(1)已知直三棱柱 ABC­A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上， 若 AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为(　　) 【导 号：68334101】 A.40π 3 B.40 30π 27 C.320 30π 27 D．20π (2)(名师押题)一几何体的三视图如图 8­15( 格中每个正方形的边长为 1)，若 这个几何体的顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是________． 图 8­15 (1)B　(2)20π　[(1)设△A1B1C1 的外心为 O1，△ABC 的外 心为 O2，连接 O1O2，O2B，OB，如图所示． 由题意可得外接球的球心 O 为 O1O2 的中点． 在△ABC 中，由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－ 2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以 BC＝ 7. 由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径 2r＝2O2B＝ BC sin 60° ＝2 7 3 ，所以 r＝ 7 3 ＝ 21 3 . 而球心 O 到截面 ABC 的距离 d＝OO2＝1 2AA1＝1， 设直三棱柱 ABC­A1B1C1 的外接球半径为 R，由球的截面性质可得 R2＝d2＋r2 ＝12＋( 21 3 )2＝10 3 ，故 R＝ 30 3 ，所以该三棱柱的外接球的体积为 V＝4π 3 R3＝ 40 30π 27 .故选 B. (2)由三视图知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其 底面 ABCD 是长、宽分别为 4 和 2 的矩形，高为 2， 且侧面 SDC 与底面 ABCD 垂直，且顶点 S 在底面上的 射影为该侧面上的底面边的中点．由该几何体的结构 特征知球心在过底面中心 O 且与底面垂直的直线上， 同时在过侧面△SDC 的外接圆圆心且与侧面 SDC 垂直的直线上．因为△SDC 为直角三角形，所以球心就为底面 ABCD 的中心 O，所以外接球的半径为 R＝ 1 2AC＝ 5，故外接球的表面积为 4πR2＝20π.]