- 527.00 KB
- 2021-05-20 发布
误区一：忽略函数的定义域问题
一、易错提醒
函数的定义域是函数概念的重要组成部分,是函数“三要素” (定义域、值域、对应法则)之首,是函数最本质的特征,在函数问题中有着重要的地位.它不仅是研究函数图象性质的基础,而且在众多数学问题的求解过程中,往往能够显示出不可低估的特殊作用.它直接制约着函数的解析式、图象和性质,在解决问题的过程中, 函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行．
二、典例精析
(一) 判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域
奇偶性是函数的一种基本性质,根据它的定义,判断函数的奇偶性,就应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称,则函数必是一个非奇非偶函数；否则再用奇偶性定义与的关系加以判断.
【例1】判断函数的奇偶性.
【错解】因为,而是奇函数,所以函数是奇函数.
【分析】由奇（偶）函数的定义,“对于函数定义域内任意一个,都有（或）……”,不难推得,具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的.此题中,函数的定义域并不关于原点对称,如而无定义,所以所给函数既不是奇函数也不是偶函数.学科@网
【解析】因为而无定义,所以定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.
【点评】本题考查了函数奇偶性的判定,根据奇偶性的定义函数具备奇偶性的一个必要条件是定义域关于坐标原点对称,如果定义域关于原点不对称,则函数无奇偶性可言.但已知一个函数具备奇偶性,并不意味着函数在x=0处一定有定义,因此判断函数奇偶性时必须优 先考虑函数的定义域.
【小试牛刀】若二次函数在上是偶函数,则的值分别是（ ）
A．2,1 B．1,2 C．0,2 D．0,1
【答案】B
【解析】由二次函数在上是偶函数,所以,解得,故选B．
(二) 求函数单调区间忽视函数的定义域
复合函数的单调性问题是高中学生学习的一个难点问题,也是高考的一个热点问题,复合函数的单调性是指函数在定义域的某一区间上,函数值随自变量的变化而增减的情况.切记函数单调性是一个局部概念,单调区间必须是定义域的子集.
【例2】【2018河北唐山上学期联考】函数的单调递减区间是 ( )
A. B. C. D.
【错解】的增区间为,又因为,所以函数的单调减区间为.
【分析】观察题中所给函数,发现这是一个复合函数,先求出它的定义域,再根据复合函数的单调性规律:同增异减.该函数是减函数,其外函数是为增函数,其内函数为则必是减函数,进而求解.
【点评】此题考查学生求对数函数及二次函数图象和性质的研究能力,以及会求复合函数的增减性的能力.在完成此类题目时,学生往往会仅仅抓住复合函数单调性的规律：“同增异减”,而不考虑函数的定义域,进而得出错误的结果.
【小试牛刀】【2018河北武邑中学周考】函数的单调递减区间为（ ）
A．（-1,1） B． C．（0,1） D．
【答案】C
【解析】令,故选C.
(三) 利用换元法解题时忽视函数的定义域
在一些函数综合问题中,表面没有强调的函数定义域,但是在解答过程中函数定义域的作用是不能忽略的,定义域优先原则是永恒的.函数隐形定义域在函数变换传递中起着非常大的作用.在处理此类问题的过程中,我们常常使用换元法.但请务必注意,只要是换了元,就一定要把新元的取值范围求出并沿用到最后,方可正确解题.
【例3】函数的值域是 .
【错解】,令,则,且,当
时是增函数,而,所以,即.所以所求函数的值域为.
【分析】利用的关系,不难想到本题中要将当作一个整体,从而进行换元,进而转化得到一个新的一元二次函数,运用一元二次函数的图象和性质进行解题,但一定要注意新的参数的取值范围,这是本题的一个易错点.
【点评】本题主要考查了函数值域的求法,换元法在解题中的运用能力.在运用换元法时一定要注意换元后函数定义域的变化,这一点初学者很容易犯的错误,当然这并非一天两天所能解决的,需要学生长期的练习和领悟..
【小试牛刀】函数的值域是________________.
【答案】
【解析】因为中令t=,1-x=t2,那么可知,x=1- t2(t0),故函数y=2(1- t2)+t,借助于二次函数性质可知其值域为
三、迁移运用
1．【2018届内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研】设函数，则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若，则 则
等价为 ，即 ，则
此时
当 时，
当 即 时，满足 恒成立，
当 即 时，
此时 恒成立，
综上
故答案为 选C
2．【2018届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第四次模拟】已知定义域为的奇函数，则的解集为
A. B. C. D. 学￥科网
【答案】D
3.设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0,1] C. D．[1, ＋∞)
【答案】
【解析】由f(f(a))＝2f(a)得,f(a)≥1.当a<1时,有3a－1≥1,∴a≥,∴≤a<1.
当a≥1时,有2a≥1,∴a≥0,∴a≥1.综上,a≥,故选C.
4.【2018山东陵县一中12月月考】已知是（-,+）上的增函数,那么的取值范围是（ ）.
A.(1,+) B. C.(-,3) D.(1,3)
【答案】B
【解析】由题意可知,解不等式得,所以的取值范围是
5.【2018甘肃天水一中高三12月月考】已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C[来源:Z_xx_k.Com]
【解析】令有两个交点,故选C.
6．函数的图象是（ ）
【答案】B
【解析】根据可得或,所以排除A、D两项,因为随着的增大而增大,故函数在相应的区间上是增函数,故选B．
7.若在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围为( )
A. [1,2) B. [1,2] C. [1,+∞) D. [2,+∞)
【答案】A
【解析】函数的对称轴为,要使函数在(-∞,1]上递减,则有,即,解得,即,选A.
8．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是（ ）[来源:]
A． B．
C． D．
【答案】D
9已知函数是定义在上的偶函数,且当时, 单调递增,则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．随的值而变化
【答案】C
【解析】因为是定义在上的偶函数,
所以则定义域为,由偶函数性质知,又时,单调递增,所以①,又-②,联立①②解得或,故不等式的解集为．故选C．
10．【2018学年河北省石家庄一中高一上学期期中】对于函数,若在其定义域内存在两个实数,当时,的值域也是,则称函数为“科比函数”．若函数是“科比函数”,则实数的取值范围
A． B． C． D．
【答案】A
11．【2018届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中】定义在上的函数满足下列两个条件：[来源:学§科§网Z§X§X§K]
（1）对任意的恒有成立；（2）当时,．
记函数,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题中的条件得到函数的解析式为：,又因为的函数图象是过定点（1,0）的直线,再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可
因为对任意的恒有成立,且当时,,
所以；
由题意得的函数图象是过定点（1,0）的直线,
如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）,,故选C．
[来源:学.科.网]
12．定义区间的长度为 ,函数的定义域与值域都是,则区间取最大长度时实数的值为（ ）
A． B．-3 C．1 D．3
【答案】D
【解析】设是已知函数定义域的子集,,或,故函数在上单调递增,则,故是方程的同号的相异实数根,即的同号的相异实数根. 因为,所以同号,只需,所以或,,取得最大值为,此时,故应选.学+科网
13.若函数f(x)＝在定义域上为奇函数,则实数k＝________.
【答案】±1
【解析】∵f(－x)＝＝,
∴f(－x)＋f(x)＝＝.
由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1,∴k＝±1.
14.已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
【答案】(－1,－1)
【解析】画出f(x)＝的图象,由图象可知,若f(1－x2)>f(2x),
则即得x∈(－1,－1)．
【点评】解决分段函数的单调性问题时,应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时,要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．
15.已知函数的值域为,则满足这样条件的函数的个数为（ ）
A.8 B.9 C.26 D.27
【答案】B
16．已知函数在上为减函数,则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】,则在恒成立,且在上为增函数,所以且,所以.