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- 2021-05-20 发布
专题59 求知路上能走多远-探索性问题
考纲要求:
1.圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.
(4)了解圆锥曲线的简单应用.
(5)理解数形结合的思想.
2.曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
基础知识回顾:
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索性问题；（2）结论探索性问题；（3）探索存在性问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．
从近几年高考命题看，考查频率较高的是探索存在型问题.
应用举例:
类型一 结论探索性问题
【例1】【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】已知椭圆的左，右焦点分别为.点在椭圆上，直线过坐标原点，若， .
（1）求椭圆的方程；
（2） 设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）.
（2）由（1）知，直线的方程为：
即： ，所以
∴.
∵，∴的方程为，令，可得，∴
（几何法）
当不在轴时，不妨令在第一象限，直线的方程为，令
∴， ，
∵与垂直，∴，
令，∴
∴
当在轴时， ，
【例2】【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，或．
或时，四边形为平行四边形．
【例3】【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外．
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设点，则
由所以
从而
所以不共线，所以为锐角.
故点G在以AB为直径的圆外．
点评：这类试题给出命题的条件，要求考生探索命题的结论，并加以证明．其基本思路是，应用综合法从已知条件推出可知，再推出可知，逐步推出正确的结论或通过观察，想象、比较、归纳，作出猜想，然后证明猜想．这是一个不断地由未知转化为已知的探索性思维的过程．
类型二 存在性问题
【例4】【2017届广东深圳市4月模拟】已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若经过定点的直线与曲线交于两点， 是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线
的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1) ;(2) 存在直线或，使得.
（2）设，
由题意可知，当直线与轴垂直时，显然不符合题意，
故可设直线的方程为，
联立和并消去，可得，
显然，由韦达定理可知，①
【例5】【2018届湖南省邵阳市洞口县第一中学高三上第一次月考】在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.
(I )求顶点 的轨迹方程；
(II) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线 ,使得点 关于 对称，求实数 的取值范围
【答案】（1） （2）当 时， 的取值范围为 ；当 时， 的取值范围为( )．
【解析】试题分析：
(I ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为
；(II)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 . （II）由
消去整理得,
∴ ，整理得： …①.
令 ，则 .
设 的中点 ，则 .
i)当 时，由题知， ．
ii)当 时，直线 方程为 ，
由 在直线l上，得，得…②
把②式代入①中可得 ，解得 .
又由②得 ，解得 ，∴．
验证：当 在 上时，得 代入②得 ， 无解．即 不会过椭圆左顶点.
同理可验证 不过右顶点．∴ 的取值范围为)．
综上，当 时，m的取值范围为；当 时，m的取值范围为．
【例6】【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
x
D
O
M
N
y
第21题图2
第21题图1
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8.
由原点到直线的距离为和，可得
. ②
将①代入②得，.
当时，；
当时，.
因，则，，所以，
当且仅当时取等号.
所以当时，的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.
点评：此类试题是探求符合题设条件的数学对象是否存在．其解法是：先假设所需探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提运用所学知识进行运算或推理，找出数学对象存在的条件，从而确定数学对象的存在，否则不存在．．
方法、规律归纳:
探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题往往综合运用所学数学知识．经常用到的知识是：二元二（一）次方程组、几何图形的某些特殊性质等．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．
实战演练:
1.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
2.【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】 已知抛物线的方程为抛物线上一点，为抛物线的焦点.
（I）求；
（II）设直线与抛物线有唯一公共点，且与直线相交于点，试问，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(I)；(II)存在，.
，直线的方程为，
令得，点坐标为，，
点在以为直径的圆上，
要使方程恒成立，必须有，解得.
在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为...
法2：设点，由与曲线有唯一公共点知，直线与相切，
由得.直线的方程为，
3.【2018届河南省名校联盟高三第一次段考】椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，，，，轴正半轴上的某点满足，.
（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标；
（2）过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点，，且，是否存在这样的直线，使得，，的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）椭圆标准方程为，点坐标为；（2）．
【解析】试题分析：（1）利用已知条件求出的值，得到椭圆方程；（2）假设存在，设直线，由、的面积相等，求出，再算出 的面积，
得出相等，故存在。
4.【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1),,(2)存在点
【解析】（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为，
，，椭圆的方程为.
,直线的方程为：，令，；
5.【2017届贵州省遵义市第四中学高三下第一次月考】已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点， 是坐标原点．
（Ⅰ）求中点的轨迹方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 此时， ．
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求中点的轨迹方程；
（Ⅱ）令代入，利用韦达定理，表示出面积，利用函数的单调性，即可求面积的最大值，及此时直线的方程．
试题解析：
法二：
设， ，
则
（1）-（2）得：
6．【2015高考四川，理20】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.
（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.
如果存在定点Q满足条件，则，即.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.
则，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.
下面证明：对任意的直线，均有.
当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.
联立得.
其判别式，
7．【2017届陕西省咸阳市二模】已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点（与点不重合），使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（I）;（Ⅱ）存在点.
【解析】试题分析：（I）设点坐标为直接找出关于的方程,这就是曲线的轨迹方程. （Ⅱ） 可知直线与倾斜角互补,则,设带入式,得到的方程,求出的值.
8．【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上期中】已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线相切（为常数）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
（2）①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为，
，故.
②若直线斜率存在，设直线的方程为，
由消去得，
设，则.
，
则
代入韦达定理可得
由可得，结合当不存在时的情况，得.
9．【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ……12分
10、【2016年高考四川理数】已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值.
【答案】（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.
方程②的判别式为，由，解得.
由②得.
所以 ，
同理，
所以
.
故存在常数，使得.