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- 2021-05-20 发布
第02节 函数的定义域和值域
【考纲解读】
考 点
考纲内容
五年统计
分析预测
定义域
会求一些简单函数的定义域
无
1.简单函数的定义域和值域
2.备考重点：
(1) 基本初等函数的定义域、值域；
（2）含参数的定义域问题；
(3)含参数的值域问题，以分段函数为载体的值域问题需倍加关注
值域
会求一些简单函数的值域
无
【知识清单】
函数的定义域和值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
对点练习1：
【2017山东枣庄】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得，解得，故选A．
对点练习2：
设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【考点深度剖析】
函数的定义域、值域是构成函数的要素，从近几年高考命题看，专门的考题我省尚未有，但在其他省市高考命题中屡有出现.在研究函数图象和性质过程中，要严格遵循“定义域优先”的原则.
【重点难点突破】
考点一 函数的定义域
【1-1】【2016全国Ⅱ卷】)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y＝x B.y＝lg x
C.y＝2x D.y＝
【答案】D
【解析】函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B，故选D.
【1-2】【2017山东理1】设函数的定义域，函数的定义域为,则
（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）[-2,1)
【答案】D
【解析】试题分析：由得，由得，故，选D.
【1-3】【2017安徽淮北一中最后一卷】已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________．
【答案】(-1,1)
【1-4】已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】定义域为,即恒成立,,故选A.
【领悟技法】
1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
2.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.
3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.
4.与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
【触类旁通】
【变式一】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【变式二】已知函数的定义域是，则函数的定义域
【答案】
【解析】由题意可知
考点二 函数的值域
【2-1】求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝x－；(3)y＝＋(x＞1)；(4)y＝。
【解析】 (1)解法一：y＝1－，
∵x2＋1≥1，∴0＜≤1，
∴－2≤－＜0，∴y∈[－1,1).
解法二：由y＝可得x2＝－，
∵x2≥0，∴≤0，∴y∈[－1,1)。
(2)令t＝，则x＝(t≥0)，
所以y＝－t＝－(t＋1)2＋1。
因为t≥0，所以当t＝0时，ymax＝。
故函数y的值域为.
(4)∵＝∈，
∴y∈[2，＋∞).
【2-2】【2017吉林实验中学二模】设函数，表示不超过的最大整数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
] ，故数的值域为
【领悟技法】
函数值域的求法:
利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.
利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.
利用三角函数的有界性,如.
利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.
利用换元法:形如型,可用此法求其值域.
利用基本不等式法:
导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
2.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
3.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部
分剔除.
【触类旁通】
【变式一】【2017广西三市一模】下列函数中，其定义域和值域与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【变式二】【2017浙江台州模拟】已知函数f(x)＝g(x)＝2x－1，则f(g(2))＝________，f[g(x)]的值域为________.
【答案】2，[－1，＋∞).
【解析】g(2)＝22－1＝3，∴f(g(2))＝f(3)＝2，g(x)的值域为(－1，＋∞)，∴若－10；f[g(x)]＝g(x)－1∈(－1，＋∞)，∴f[g(x)]的值域是[－1，＋∞).
【易错试题常警惕】
例1.已知函数，求函数的解析式.
【错解】令，则，，所以函数的解析式为.
错解分析：错解中错在忽视了得取值范围.
正确解析：令，则，，所以，
所以，所以所求函数的解析式为.
温馨提示：用换元法时，一定要弄清新元的取值范围.
例2.设函数，若，，则关于的方程的根的个数为（ ）
A． B． C． D．
【错解】当时，，因为，，
所以，解得，所以，
当时，由得，，解得或.
当时，由得，.
综上所述，方程的根有3个，故选C.
错解分析：当时，由得，，解得或. 不符合题意，应舍去. 分段函数应分段求解，但一定要注意各段的限制条件.
综上所述，方程的根有2个，故选B.
温馨提示：求解分段函数函数问题，应分段求解，但一定要注意各段的限制条件.
【学科素养提升之解题技巧篇】
分段函数的值域问题
分段函数是一个函数，各段自变量范围的并集是分段函数的定义域；各段函数值取值范围的并集是分段函数的值域。所以解决分段函数的值域问题关注点还应该是组成分段函数的各段函数值的取值范围，根据已知条件寻求解题手段．
【典例】【2015·福建卷】若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】因为当x≤2时，y＝－x＋6≥4.
故a∈(1,2]．