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- 2021-05-20 发布
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第四节 绝对值
1.绝对值的定义
(1)绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度.
②绝对值是一个距离．
(2)绝对值的表示方法
一个数 a 的绝对值记作|a|，读作 a的绝对值．如，＋4 的绝对值记作|＋4|.
(3)绝对值的代数意义
①一个正数的绝对值是它本身；
②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是 0.
用式子表示为：|a|＝
a，a>0，
0，a＝0，
－a，a<0.
例 1：下列说法正确的是( )．
A．|－5|表示－5的绝对值，等于－5
B．负数的绝对值等于它本身
C．－10 距离原点 10 个单位长度，所以－10 的绝对值是 10
D．绝对值等于它本身的数有两个，是 0和 1
2．绝对值的性质
(1)数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它
的绝对值就越大．
(2)任何一个有理数的绝对值一定是非负数，即|a|≥0，0 是绝对值最小的有理数．
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等．反过来，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等
或互为相反数．
(4)任何一个有理数都有唯一的绝对值．但绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反
数．例如，如果|a|＝2，那么 a＝±2.
(5)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥a.
填空：○1 非负数的绝对值是 ；非正数的绝对值是 ；
○2 一个数的绝对值大于它本身，这个数是 ；
○3 一个数的绝对值小于它本身，这个数 ；
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例 2：下列说法：
①若|x|＝2017，则 x＝2017； ②|－
2
3|＝|＋
3
2|； ③绝对值最小的有理数是 1；
④0没有绝对值； ⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.绝对值的求法
绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值；
二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值．
求绝对值的方法：
(1)先判断这个数是正数、负数，还是 0.
(2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它的绝对值．
绝对值的代数意义：
①一个正数的绝对值是它本身；
②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0 的绝对值是 0.
例 3：求下列各数的绝对值：＋11，－3.4, 0， －
3
2
.
例 4：求下列各式的值：|＋2 016|， |－3.9|， －|－
5
6|， －|＋18|.
练一练：
1. 4 的绝对值是 ；绝对值等于 4的数是 .
2. ______7.3 ； ______0 ； ______3.3 ； ______75.0 ．
3． ______510 ； ______36 ； ______5.55.6 ．
4. 下列说法中，错误的是（ ）：
A、一个数的绝对值一定是正数 B、互为相反数的两个数的绝对值相等
C、绝对值最小的数是 0 D、绝对值等于它本身的数是非负数
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4.含字母的式子去绝对值：
去绝对值依据：正数和 0 的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数。
例 5：若 3 0x ，则 3x _________． 若 7 0b ，则 7b ；
练一练：
1.若 5 0a ，则 5a ；
2.若3 2 0a b ，则 3 2a b ；
3.若 4 3 0x y ，则 4 3x y ；
4.若 2 3 6 0a b c ， 则 2 3 6a b c ．
5.若7 5 3 0x y z ,则 7 5 3x y z ．
6.．若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
7． 若 ，则 ( )
A.0 B.x C.-x D.以上答案都不对
8．若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5.求绝对值里未知数的值：如果 ax ，则 x ±a
例 6：若 5x ， x ________； 若 12.5x x ， ________；
若 +8 5x ， x ；或 x
若 3 20 10x ， x ；或 x
练一练：
1.若 4 3x ＋ ， x ；或 x
2.若 5 4 2x ， x ；或 x
3.若
2 3 3
3
x ， x ；或 x
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4.若
52 7
2
x ， x ；或 x
5．若 ，则 a 的值为( )
A.3 B.-7 C.3 或-6 D.3 或-7
6．若 ，则 x 的值为( )
A.-2 B.-2 或 6 C.6 D.2 或-6
7．若 ， ，则 ( )
A.-2 B.8 C.8 或-2 D.±8 或±2
8．若 ， ，则 ( )
A.7 B.-3 或 7 C.3 或-7 D.±3 或±7
6.利用绝对值比较大小
(1)利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
比较的具体步骤：
①先求两个负数的绝对值；
②比较绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．
(2)几个有理数的大小比较
①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；
b.两个负数，绝对值大的反而小．
②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对
值或借助于数轴来进一步比较．
例 7：比较下列每组数的大小：
(1)－3 和－2.9； (2)－
2
3
和－0.6.
例 8：求下列各数的绝对值，并用“>”将各数及它们的绝对值排列起来：－
3
2
，＋1，－2.3.
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练一练：比较大小
（1） 1.2 ______ 2.2 （2） 15.11 _____ 14.1
（3）+|-
3
1
|_____-|-
3
1
| （4）-|-
3
4
|______│0．75│
（5）－
5
3
_____丨－
2
1
丨 （6）
2
3
2
3
。
5．绝对值的非负性的应用
绝对值的非负性
(1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的最小值为 0.
(2)若几个数的绝对值相加和为 0，则这几个数的值都为 0.
用式子表示为：
若|a|＋|b|＋|c|＝0，则 a＝0，且 b＝0，且 c＝0.
可以利用上面的知识求字母的值．
例 9：当 m＝__________时，5＋|m－1|有最小值，最小值是__________．
例 10：已知|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，求 a，b，c 的值．
练一练：求下列式子 m、n 的值
1.（1） 0m n （2） 3 0m n
（3） 2 3 3 0m n （4） 2 4 3 3 0m n
2． 有最 值是 ，下列选项中正确的是( )
A.大，-1 B.小，0 C.大，1 D.小，1
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6.相反数与数轴、绝对值的综合应用（难点）
比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行：
(1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反数在数轴上表示出来；
(2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系．
例 11：如图，若 A 是有理数 a 在数轴上对应的点，则关于 a，－a, 1 的大小关系表示正确
的是( )．
A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1
练一练
1.设有理数 a,b,c 在数轴上的对应点如图所示,下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
2.设有理数 a,b 在数轴上的对应点如图所示,下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
3.设有理数 a,b 在数轴上的对应点如图所示,下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
例 12：已知 ，化简 的结果为( )
A.4 B.-2x+6 C.2x-6 D.-4
练一练
1．如果 a＜b＜0，则化简|1-a|-|a-b|<0，则化简 所得的结果是( )
A.2a-b-1 B.-2a+b+1 C.-b+1 D.b-1
2．有理数 a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简
的结果为（ ）
A.-a-2b B.a C.-3a-2b+2c D.-a-2b+2c
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3．有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为( )
A.-2a+c-1 B.-2b-c+1 C.2a+2b-c-1 D.-c-1
例 13：若 ， 。化简 的结果为( )
A.-2b+ab B.-2a+ab C.ab D.2a+ab
练一练
1．若 ,则有理数 a在数轴上的对应点应是在( )
A.原点的右侧 B.原点的左侧 C.原点或原点的右侧 D.原点或原点的左侧
2． 若 ,则必有( )
A. B. C. , D. ,
3．若 ,则必有( )
A. B. C. D.
4．已知 ,根据已知条件画出对应的数轴,其中正确的是( )
A B.
C. D.
5．若 , ,且 ,则 一定是( )
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
6．若 a<0y，则 x-y的值为( )
A.3 B.3或 11或-7 C.3或 11或 1 D.3或-7或 1
练一练
1． 已知 ， ，且 ，则 x+y的值为( )
2．已知 ， ，且 ，则 的值为( )
A.1 B.7 C.1或 7 D.1或 6
例 15：若 ，则 的取值共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
练一练
1． 已知有理数 a，b，c满足 abc＞0，则 的值为( )
A.3或-1 B.1或-3 C.±1或 3 D.±1或±3
2.
7.利用绝对值解决实际问题
绝对值解决实际问题，主要有以下两类：
(1)判断物体或产品质量的好坏
可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．
方法：
①求每个数的绝对值；
②比较所求绝对值的大小；
③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．
(2)利用绝对值求距离
路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际
上就是求绝对值的和．
方法：
①求每个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．
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【例 16】 如图，检测 4 个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数
记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )．
【例 17】 一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为
负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，
－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？
练一练：
1、 ______
3
1
______
4
5
______
3
2
．
2、 ______510 ； ______36 ； ______5.55.6 ．
3、______的相反数是它本身，_______的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．
4、一个数的绝对值是
3
2
，那么这个数为______．
5、当 aa 时， 0______a ；当 0a 时， ______a ．
6、绝对值等于 4 的数是______．
7、
5
23 的绝对值是______；绝对值等于 5
23 的数是______，它们互为________．
8、在数轴上，绝对值为 4，且在原点左边的点表示的有理数为________．
9、如果 3a ，则 ______ a ， ______a ．
10、 7x ，则 ______x ； 7 x ，则 ______x ．
11、如果 3a ，则 ______3 a ， ______3 a ．
12、绝对值不大于 11.1 的整数有（ ）
A．11 个 B．12 个 C．22 个 D．23 个
13、绝对值等于其相反数的数一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．负数或零 D．正数或零
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14、给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于本身的数只有正数； ③
不相等的两个数绝对值不相等； ④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2个 D．3 个
15、如果 aa 22 ，则 a的取值范围是（ ）
A．a＞O B． a≥O C． a≤O D． a＜O
16、在同一数轴上表示下列各数：
(1) 2
12 ； (2) 0 ； (3)绝对值是 2.5 的负数； (4)绝对值是 3 的正数．
17、计算：
(1) 7.27.27.2 (2) 13616
(3) 5327 (4)
3
2
9
2
2
1
2
1
18. （1）已知 022 yx ，求 x,y 的值。
（2）若实数a，b满足 3 1 2 0a b ，求 a b 的值．
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19.已知 a>b，b<0，a<│b│．
（1）在 a，b，-a，-b 中，哪些是正数？哪些是负数？能否有相等的两个数？试说明理由；
（2）将 a，b，-a，-b 由小到大排列起来，用“<”连接，并在数轴上把这四个数的大致位置
表示出来．
20.某校举办数学竞赛，试卷有 10 道选择题，评分标准是做对一道得 1 分，做错一道扣 1分，不
答得 0分，下表是某校 10 名参赛选手的最后成绩．
选手号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最后成绩 -4 3 -1 1 -6 -2 5 1 0 -2
（1）表中的正数与负数表示什么意思？
（2）哪名选手得分最高？哪名选手得分最低？
（3）得分最高的选手最多做错几道题？
（4）得分最低的选手最多做对几道题？