【数学】2020届一轮复习人教A版第32课三角函数综合问题学案（江苏专用） 8页

____第 32 课__三角函数综合问题____ 1. 能灵活运用三角函数公式进行化简、求值、求取值范围等． 2. 能综合应用函数、方程、不等式等知识解决与三角函数相关的问题. 1. 阅读：必修 4 第 103～122 页；必修 5 第 5～16 页． 2. 解悟：①三角函数中的同角三角函数关系，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切 公式、二倍角公式、辅助角公式；②解三角形中的正余弦定理，三角形的面积公式；③重解 必修 4 第 109 页例 3，体会辅助角公式的应用；第 110 页例 5，体会整体代换思想；第 116 页例 5，这是三角函数应用题中的一个重要模型，体会角的拆分与合成；第 121 页例 3，体 会降幂扩角公式． 3. 践习：在教材空白处完成必修 4 第 109 页练习第 8 题；第 111 页练习第 5 题；第 116 页 练习第 4、5、6 题；第 117 页练习第 5 题. 基础诊断 1. 若α是三角形的一个内角，且 sinαcosα＝1 8 ，则 cosα＋sinα的值为__ 5 2 __． 解析：因为α是三角形的一个内角，且 sinαcosα＝1 8 ，所以α为锐角，所以 cosα＋sinα＝ 1＋2sinαcosα＝ 5 2 . 2. 已知 sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则 sin(α＋β)＝__－1 2__． 解析：因为 sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，平方相加得 sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋cos2α ＋2cosαsinβ＋sin2β＝1，所以 2sin(α＋β)＝－1，sin(α＋β)＝－1 2. 3. 已知角α，β，γ构成公差为π 3 的等差数列，若 cosβ＝－2 3 ，则 cosα＋cosγ＝__－2 3__． 解析：因为α，β，γ构成公差为π 3 的等差数列，所以α＝β－π 3 ，γ＝β＋π 3 ，所以 cosα＋cosγ ＝cos β－π 3 ＋cos β＋π 3 ＝2cosβcosπ 3 ＝－2 3. 4. 在锐角三角形 ABC 中，若 tanA＝t＋1，tanB＝t－1，则实数 t 的取值范围是__( 2， ＋∞)__． 解析：因为在△ABC 中，A＋B＋C＝π，所以 tanC＝－tan(A＋B)＝－ tanA＋tanB 1－tanAtanB ＝ 2t t2－2 . 因为△ABC 为锐角三角形，所以 tanA>0，tan B>0，tan C>0，即 t＋1>0， t－1>0， 2t t2－2 >0， 解得 t> 2. 范例导航 考向❶ 三角恒等变换与解三角形 例 1 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 2cosAcosC(tanAtanC－1) ＝1. (1) 求角 B 的大小； (2) 若 a＋c＝3 3 2 ，b＝ 3，求△ABC 的面积． 解析：(1) 由 2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1 得 2(sinAsinC－cosAcosC)＝1，即 cos(A＋C)＝－1 2 ，所以 cosB＝－cos(A＋C)＝1 2. 又 00)，且其图象的相邻对称轴间的距离为π 4. (1) 求 f(x)在区间 11π 12 ，9π 8 上的值域； (2) 在锐角三角形 ABC 中，若 f A－π 8 ＝1 2 ，a＝1，b＋c＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1) f(x)＝sinωx( 3 2 sinωx＋1 2cosωx)－ 3 4 ＝ 3 2 sin2ωx＋1 2sinωxcosωx－ 3 4 ＝ 3 4 (1－cos2ωx)＋1 4sin2ωx－ 3 4 ＝1 4sin2ωx－ 3 4 cos2ωx ＝1 2sin 2ωx－π 3 . 由条件知 T＝π 2. 又 T＝2π 2ω ，所以ω＝2， 所以 f(x)＝1 2sin 4x－π 3 . 因为 x∈ 11π 12 ，9π 8 ， 所以 4x－π 3 ∈ 10π 3 ，25π 6 ， 所以 sin 4x－π 3 ∈ －1，1 2 ， 所以 f(x)的值域是[－1 2 ，1 4]． (2) 由 f A－π 8 ＝1 2 得 A＝π 3.由 a＝1，b＋c＝2 及余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA 得 bc＝ 1， 所以△ABC 的面积 S＝1 2bcsinA＝ 3 4 . 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 b2＋c2－a2＝bc. (1) 求角 A 的大小； (2) 设函数 f(x)＝sinx 2cosx 2 ＋ 3cos2x 2 ，当 f(B)取得最大值时，判断△ABC 的形状． 解析：(1) 因为在△ABC 中，b2＋c2－a2＝bc， 所以由余弦定理可得 cosA＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2. 因为 A∈(0，π)，所以 A＝π 3. (2) f(x)＝sinx 2cosx 2 ＋ 3cos2x 2 ＝1 2sinx＋ 3 2 cosx＋ 3 2 ＝sin x＋π 3 ＋ 3 2 ， 所以 f(B)＝sin B＋π 3 ＋ 3 2 . 因为 B∈ 0，2π 3 ，所以 B＋π 3 ∈ π 3 ，π . 当 B＋π 3 ＝π 2 时，即 B＝π 6 时，f(B)取最大值，此时 C＝π 2 ，所以△ABC 是直角三角形． 【注】 本例通过辅助角公式将三角函数化同名同角进而研究三角形中三角函数性质. 考向❸ 平面向量与解三角形 例 3 已知向量 m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝( 3cosωx，1)，其中ω>0，x∈R，若 函数 f(x)＝m·n 的最小正周期为π. (1) 求ω的值； (2) 在△ABC 中，若 f(B)＝－2，BC＝ 3，sinB＝ 3sinA，求BA→·BC→的值． 解析：(1) f(x)＝m·n ＝2 3sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx ＝ 3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin 2ωx＋π 6 . 因为 f(x)的最小正周期为π， 所以 T＝2π 2ω ＝π，所以ω＝1. (2) 因为 f(B)＝－2， 所以 2sin 2B＋π 6 ＝－2，即 sin 2B＋π 6 ＝－1. 因为 0