【数学】2018届一轮复习人教A版同角三角函数的基本关系与诱导公式学案 18页

专题17 同角三角函数的基本关系与诱导公式 ‎ ‎ ‎ 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；‎ ‎2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导 公式．‎ ‎ ‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．‎ ‎(2)商数关系：＝tan__α．‎ ‎2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α ‎(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin__α ‎－sin__α sin__α cos__α Cos__α 余弦 cos α ‎－cos__α ‎ cos__α ‎ ‎－cos__α ‎ sin__α ‎－sin__α ‎ 正切 tan α tan__α ‎－tan__α ‎－tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 高频考点一　同角三角函数关系式的应用 例1、(1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)‎ A. B.－ C. D.－ ‎(2)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)‎ A.－ B. C.－ D. ‎(3)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A. B. C.1 D. 解析　(1)∵sin α＝－，且α为第四象限角，‎ ‎∴cos α＝＝，‎ ‎∴tan α＝＝－，故选D.‎ ‎【方法规律】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎【变式探究】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)‎ A.－1 B.－ C. D.1‎ ‎(2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C. D.－2‎ 解析　(1)由 得2cos2α＋2cos α＋1＝0，即＝0，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.‎ ‎(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝ ‎＝＝.‎ 答案　(1)A　(2)A 高频考点二　诱导公式的应用 例2、(1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；‎ ‎(2)求值：‎ 设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求f的值.‎ 解　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.‎ ‎(2)∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝＝ ‎＝.‎ ‎【方法规律】(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎【变式探究】 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)‎ A.{1，－1，2，－2} B.{－1，1}‎ C.{2，－2} D.{1，－1，0，2，－2}‎ ‎(2)化简：＝______.‎ 高频考点三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3、(1)已知tan＝，则tan＝________.‎ ‎(2)已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　(1)∵＋＝π，‎ ‎∴tan＝tan ‎＝－tan＝－.‎ ‎(2)因为＋＝，‎ 所以cos＝sin＝sin.‎ 因为－π<α<－，所以－<α＋<－.‎ 又cos＝>0，所以－<α＋<－，‎ 所以sin＝－ ‎＝－＝－.‎ 答案　(1)－　(2)D ‎【方法规律】(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.‎ ‎(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.‎ ‎【变式探究】 (1)已知sin＝，则cos＝________.‎ ‎(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)‎ A. B. C.0 D.－ 解析　(1)∵＋＝，‎ ‎∴cos＝cos＝sin＝.‎ ‎(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，‎ 得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)‎ ‎＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，‎ 所以f＝f ‎＝f＝f＝f＋sinπ.‎ 因为当0≤x<π时，f(x)＝0.‎ 所以f＝0＋＝.‎ 答案　(1)　(2)A 高频考点四、分类讨论思想在三角函数中的应用 例4、(1)已知sinα＝，则tan(α＋π)＋＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，则C＝________.‎ 解析　(1)∵sinα＝＞0，‎ ‎∴α为第一或第二象限角．‎ tan(α＋π)＋＝tanα＋ ‎＝＋＝.‎ ‎①当α是第一象限角时，cosα＝＝，‎ 原式＝＝.‎ ‎②当α是第二象限角时，cosα＝－＝－，‎ 原式＝＝－.‎ 综上①②，原式＝或－.‎ 又A、B是三角形的内角，‎ ‎∴A＝π，B＝π，不合题意．‎ 综上，C＝π.‎ 答案　(1)或－　(2)π ‎【特别提醒】(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．‎ ‎【方法技巧】同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．‎ ‎1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．‎ ‎2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎4.【2016年高考四川理数】= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二倍角公式得 ‎【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；‎ ‎(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．‎ ‎（1)求实数m的取值范围；‎ ‎（2)证明：‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为 ‎(2)1) ‎ ‎ （其中）‎ 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.‎ 解法二：(1)同解法一.‎ ‎(2)1) 同解法一.‎ ‎2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时，‎ 当时, ‎ 所以 于是 ‎【2015高考山东，理16】设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（II） 面积的最大值为 ‎【解析】‎ ‎（I）由题意知 ‎ ‎ 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ；　‎ 单调递减区间是 ‎（Ⅱ）由 得 ‎ 由题意知为锐角，所以 ‎ 由余弦定理： ‎ 可得： ‎ 即： 当且仅当时等号成立.‎ 因此 ‎ 所以面积的最大值为 ‎（2014·福建卷）已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.‎ ‎(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【解析】方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.‎ 所以f(α)＝×－ ‎＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin，‎ 所以T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin.‎ ‎(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，‎ 从而f(α)＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ ‎【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….‎ 因为－≤φ＜，‎ 所以φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，‎ 所以sin＝.‎ 由＜α＜得0＜α－＜，‎ 所以cos＝＝＝.‎ 因此cos ‎＝sin α ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＋× ‎＝.‎ ‎（2013·全国卷）已知α是第三象限角，sin α＝－，则cot α＝________．‎ ‎【答案】2 　‎ ‎【解析】cosα＝－＝－，所以cotα＝＝2 .‎ ‎（2013·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】由tan＝得＝tan θ＝－cos θ＝－3sin θ ，‎ 由sin2θ＋cos2θ＝110sin2θ＝1，θ 在第二象限， sin θ＝，cos θ＝－，‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝－ .‎ ‎（2013·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ ‎【解析】 (1)因为a2＋b2＋ab＝c2，‎ 所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.‎ ‎(2)由题意得 ＝，‎ 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①‎ 因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.‎ 因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，‎ 即－sin Asin B＝.‎ 解得sin Asin B＝－＝.‎ 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，‎ 解得tan α＝1或tan α＝4.‎ ‎（2013·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D．2 －1‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】原式＝4sin 40°－ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ ‎1.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，‎ 所以cos α＝＝，‎ 故tan α＝＝－.‎ 答案　C ‎2.已知tan α＝，且α∈，则sin α＝(　　)‎ A.－ B. C. D.－ 解析　∵tan α＝＞0，且α∈，∴sin α＜0，‎ ‎∴sin2α＝＝＝＝，‎ ‎∴sin α＝－.‎ 答案　A ‎3.＝(　　)‎ A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2‎ C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2‎ 解析　＝ ‎＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.‎ 答案　A ‎4.向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D.－ 解析　∵a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，‎ ‎∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，‎ ‎∴cos＝－sin α＝－.‎ 答案　A ‎5. cos＝，则sin＝(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　sin＝sin ‎＝cos＝.‎ 答案　A ‎6.已知tan α＝3，则的值是(　　)‎ A. B.2 C.－ D.－2‎ ‎7.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.‎ 答案　B ‎8.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为(　　)‎ A.－1 B.1 C.3 D.－3‎ 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝3，‎ ‎∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)‎ ‎＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)‎ ‎＝－asin α－bcos β ‎＝－3.‎ 答案　D ‎9.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，‎ ‎∴－sin θ＝－cos θ，‎ ‎∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.‎ 答案　D ‎10.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)‎ A.1＋ B.1－ C.1± D.－1－ ‎11.已知α为钝角，sin＝，则sin＝________.‎ 解析　因为α为钝角，所以cos＝－，‎ 所以sin＝cos＝cos ‎＝－.‎ 答案　－ ‎12.化简：＝________.‎ 解析　原式＝＝＝1.‎ 答案　1‎ ‎13.sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.‎ 解析　sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.‎ 答案　 ‎14.已知cos＝a，则cos＋sin＝________.‎ 解析　∵cos＝cos＝－cos＝－a.‎ sin＝sin＝cos＝a，‎ ‎∴cos＋sin＝0.‎ 答案　0‎