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- 2021-05-19 发布
概率与统计
高考定位
高考对本内容的考查主要有：
(1)
抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，
A
级要求
.(2)
图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，
A
级要求
.(3)
特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，
B
级要求
.(4)
随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，
B
级要求
.
真 题 感 悟
1.
(2015·
江苏卷
)
袋中有形状、大小都相同的
4
只球，其中
1
只白球，
1
只红球，
2
只黄球，从中一次随机摸出
2
只球，则这
2
只球颜色不同的概率为
________.
2.
(2014·
江苏卷
)
从
1
，
2
，
3
，
6
这
4
个数中一次随机地取
2
个数，则所取
2
个数的乘积为
6
的概率是
________.
3.
(2015·
江苏卷
)
已知一组数据
4
，
6
，
5
，
8
，
7
，
6
，那么这组数据的平均数为
________.
答案
6
4.
(2014·
江苏卷
)
为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中
60
株树木的底部周长
(
单位：
cm)
，所得数据均在区间
[80
，
130]
上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的
60
株树木中，有
________
株树木的底部周长小于
100 cm.
解析
由频率分布直方图可知，抽测的
60
株树木中，底部周长小于
100 cm
的株数为
(0.015
＋
0.025)
×
10
×
60
＝
24.
答案
24
2.
统计问题
(1)
统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；
(2)
用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；
(3)
用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时
,
茎叶图就显得不太方便了
.
热点一 统计中的命题热点
[
微题型
1]
抽样方法
【例
1
－
1
】
(1)
(2015·
湖南卷改编
)
在一次马拉松比赛中，
35
名运动员的成绩
(
单位：分钟
)
的茎叶图如图所示
13
0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9
14
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
15
0 1 2 2 3 3 3
若将运动员按成绩由好到差编为
1
～
35
号，再用系统抽样方法从中抽取
7
人，则其中成绩在区间
[139
，
151]
上的运动员人数是
________.
(2)
(2015·
北京卷改编
)
某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有
320
人，则该样本中的老年教师人数为
________.
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
答案
(1)4
(2)180
探究提高
系统抽样又称
“
等距
”
抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例
.
[
微题型
2]
用样本估计总体
【例
1
－
2
】
(2015·
湖北卷
)
某电子商务公司对
10 000
名网络购物者
2014
年度的消费情况进行统计，发现消费金额
(
单位：万元
)
都在区间
[0.3
，
0.9]
内，其频率分布直方图如图所示
.
(1)
直方图中的
a
＝
________
；
(2)
在这些购物者中，消费金额在区间
[0.5
，
0.9]
内的购物者的人数为
________.
解析
由频率分布直方图及频率和等于
1
可得
0.2
×
0.1
＋
0.8
×
0.1
＋
1.5
×
0.1
＋
2
×
0.1
＋
2.5
×
0.1
＋
a
×
0.1
＝
1
，解得
a
＝
3.
于是消费金额在区间
[0.5
，
0.9]
内频率为
0.2
×
0.1
＋
0.8
×
0.1
＋
2
×
0.1
＋
3
×
0.1
＝
0.6
，所以消费金额在区间
[0.5
，
0.9]
内的购物者的人数为：
0.6
×
10 000
＝
6 000
，故应填
3
，
6 000.
答案
(1)3
(2)6 000
【训练
1
】
(1)
(2013·
江苏卷
)
抽样统计甲、乙两位射击运动员的
5
次训练成绩
(
单位：环
)
，结果如下：
运动员
第
1
次
第
2
次
第
3
次
第
4
次
第
5
次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定
(
方差较小
)
的那位运动员成绩的方差为
________.
(2)
(2014·
山东卷改编
)
为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验
.
所有志愿者的舒张压数据
(
单位：
kPa)
的分组区间为
[12
，
13)
，
[13
，
14)
，
[14
，
15)
，
[15
，
16)
，
[16
，
17]
，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，
……
，第五组
.
如图是根据试验数据制成的频率分布直方图
.
已知第一组与第二组共有
20
人，第三组中没有疗效的有
6
人，则第三组中有疗效的人数为
________.
答案
(1)2
(2)12
热点二 概率中的命题热点
[
微题型
1]
古典概型
【例
2
－
1
】
(1)
(2015·
广东卷改编
)
已知
5
件产品中有
2
件次品，其余为合格品
.
现从这
5
件产品中任取
2
件，恰有一件次品的概率为
________.
(2)
(2013·
江苏卷
)
现有某类病毒记作
X
m
Y
n
，其中正整数
m
，
n
(
m
≤
7
，
n
≤
9)
可以任意选取，则
m
，
n
都取到奇数的概率为
________.
探究提高
求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件
A
包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择
.
[
微题型
2]
几何概型
【例
2
－
2
】
(2015·
陕西卷改编
)
设复数
z
＝
(
x
－
1)
＋
y
i(
x
，
y
∈
R
)
，若
|
z
|
≤
1
，则
y
≥
x
的概率为
________.
解析
由
|
z
|
≤
1
可得
(
x
－
1)
2
＋
y
2
≤
1
，表示以
(1
，
0)
为圆心，半径为
1
的圆及其内部，满足
y
≥
x
的部分为如图阴影所示，
探究提高
几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题
.
在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式
(
或其他简单不等式
)
组表示区域
.
几何概型的试验中事件
A
的概率
P
(
A
)
只与其所表示的区域的几何度量
(
长度、面积或体积
)
有关，而与区域的位置和形状无关
.
【训练
2
】
(1)
(2014·
新课标全国
Ⅱ
卷
)
甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝
3
种颜色的运动服中选择
1
种，则他们选择相同颜色运动服的概率为
________.
(2)
(2012·
江苏卷
)
现有
10
个数，它们能构成一个以
1
为首项，－
3
为公比的等比数列，若从这
10
个数中随机抽取一个数，则它小于
8
的概率是
________.
(3)
设
a
，
b
是区间
[0
，
3]
上的两个随机数，则直线
ax
＋
by
＋
3
＝
0
与圆
x
2
＋
y
2
＝
1
没有公共点的概率是
________.
1.
几何概型与古典概型的异同：几何概型与古典概型是经常用的两种概率模型，二者的共同点是基本事件是等可能的；不同点是几何概型的基本事件数是无限的，古典概型的基本事件数是有限的
.
2.
在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为
1.
3.
众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量
.