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- 2021-05-19 发布
第三节 函数的奇偶性与周期性
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
(对应学生用书第11页)
[基础知识填充]
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴
对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点
对称
2. 函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[知识拓展]
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B．
C． D．－
B [依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]
3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
D [A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；
B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]
4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
12 [法一：令x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
法二：f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]
5．(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上( )
A．最大值4 B．最小值－4
C．最大值－3 D．最小值－3
B [法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B．
法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，
f(x)max＝3，故选B．]
(对应学生用书第12页)
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1)；
(2)f(x)＝lg(－2x)；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝ 【导学号：79170021】
[解] (1)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．
∵函数定义域不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，且f(－x)＝lg(＋2x)＝lg
＝－lg(－2x)＝－f(x)．
故原函数为奇函数．
(3)由得x2＝3，∴x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，
则当x＜0时，－x＞0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：
2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．
[变式训练1] (1)(2018·商丘模拟)已知函数f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)，则f(x)是
( )
A．奇函数，且在(0，e)上是增函数
B．奇函数，且在(0，e)上是减函数
C．偶函数，且在(0，e)上是增函数
D．偶函数，且在(0，e)上是减函数
(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) 【导学号：79170022】
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
(1)D (2)C [(1)f(x)的定义域为(－e，e)，关于原点对称．
f(－x)＝ln(e－x)＋ln(e＋x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
又f(x)＝ln(e2－x2)，所以f(x)在(0，e)上是减函数．
(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错．
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错．
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|·g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．
D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，D错．]
函数奇偶性的应用
(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a
＝________.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.
(1)1 (2) [(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，
∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，
∴f(x)＝]
[规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程(组)，从而可得f(x)的值或解析式．
[变式训练2] (1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)(2018·青岛模拟)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
(1)A (2)－ [(1)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
(2)f(－x)＝ln(e－3x＋1)－ax＝ln－ax＝ln(1＋e3x)－3x－ax，依题意得，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即ln(1＋e3x)－3x－ax＝ln(1＋e3x)＋ax，
化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，因此2a＋3＝0，解得a＝－.]
函数的周期性及其应用
(1)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________.
(1)6 (2)1 009 [(1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.
∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.]
[母题探究1] 若将本例(2)中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？
[解] ∵f(x＋1)＝－f(x)，
∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．
故函数f(x)的周期为2.
由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.
[母题探究2] 若将本例(2)中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝”，则结论如何？
[解] ∵f(x＋1)＝，
∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x)．
故函数f(x)的周期为2.
由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.
[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．
2．在解决具体问题时，要注意“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
[变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝则下列函数值为1的是( )
A．f(2.5) B．f(f(2.5))
C．f(f(1.5)) D．f(2)
D [由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．]