2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（天津卷） 9页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 理 科 数 学 ‎ 第Ⅰ卷 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 ‎ ‎ (A) (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1]‎ ‎2．设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为 ‎ (A) －7 (B) －4‎ ‎ (C) 1 (D) 2‎ ‎3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 ‎ (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585‎ ‎4．已知下列三个命题: ‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;‎ ‎②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ‎ ‎③直线x + y + 1 = 0与圆相切. ‎ 其中真命题的序号是:‎ ‎ (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③‎ ‎5．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = ‎ ‎ (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3‎ 9‎ ‎6．在△ABC中, 则 = ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎7． 函数的零点个数为 ‎ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎8．已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. ‎ ‎9．已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .‎ ‎10． 的二项展开式中的常数项为 .‎ ‎11．已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = .‎ ‎12．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .‎ ‎13．如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .‎ ‎14．设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值. ‎ 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ‎ ‎15． (本小题满分13分)‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值. ‎ 9‎ ‎16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). ‎ ‎(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. ‎ ‎(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. ‎ ‎17． (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. ‎ ‎(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE; ‎ ‎(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值. ‎ ‎(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. ‎ ‎18．(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ ‎19．(本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. ‎ ‎20．(本小题满分14分)已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. ‎ 9‎ ‎(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．D ‎ ‎2．A ‎ ‎3．B ‎ ‎4．C ‎5．C ‎ ‎6．C ‎ ‎7．B ‎ ‎8．A ‎ ‎9． ‎ ‎10．15‎ ‎11． ‎ ‎12． ‎ ‎13． ‎ ‎14． ‎ ‎15．‎ ‎16．‎ 9‎ ‎17．‎ 9‎ ‎18．‎ 9‎ ‎19．‎ 9‎ ‎20．‎ 9‎ ‎ 。‎ ‎ ‎ 9‎