【数学】河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考试卷 23页

河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年 高二上学期10月月考试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设a，b，c，，且，，则下列结论一定成立的是 A. B. C. D. 2. 设等差数列的前n项和为，且则过点，的直线斜率为 ‎ A. 4 B. C. 2 D. 3. 已知函数的最小正周期为，则 A. 1 B. C. D. 4. 若不等式的解集是R，则m的范围是 A. B. ， C. D. 5. 设，若的最小值为 A. 3 B. C. D. 6. 已知三角形ABC中，，，连接CD并取线段CD的中点F，则的值为 A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为 A. B. C. D. 1. 若x，y满足且的最大值为6，则k的值为 A. B. 1 C. D. 7‎ 2. 设函数则的值为 A. 199 B. 200 C. 201 D. 202‎ 3. 设各项均不为零的等差数列的前n项和为，已知，且，则使不等式成立的正整数n的最小值是 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ 4. 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于一般地，将连续的正整数1，2，3，，填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为 ‎ A. 41 B. 45 C. 369 D. 321‎ 1. 已知两条直线：和：，与函数的图象从左至右相交于点A，B，与函数的图象从左至右相交于点C，记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 已知，是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是______．‎ 3. 已知等差数列的前n项和是，如果，，则______．‎ 4. 已知，，且，若恒成立，则实数t的取值范围是______‎ 5. 已知函数，则的最大值是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 6. 已知等差数列，为其前n项的和，，，． 求数列的通项公式； 若，求数列的前n项的和． ‎ 1. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． 求角B的值； 若，的面积为，求BC边上的中线长． ‎ 2. 已知圆M的圆心为，且直线与圆M相切．设直线l的方程为，若点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B 求圆M的标准方程； 若，试求点P的坐标； 若点P的坐标为，过点P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程； ‎ ‎ ‎ 1. 在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且，，DE与BG交于点O． 求：； 若平行四边形ABCD的面积为21，求的面积． ‎ 2. 已知数列是递增等比数列，，且数列的前3项和，，点在直线上． 求数列，的通项公式； 设，数列的前n项和为，若恒成立，求实数a的取值范围． ‎ 1. 如图，山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a． Ⅰ若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为，用a、、表示山的高度h； Ⅱ若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影．已知石塔高度，当观测点E在AD上满足时看BC的视角即最大，求山的高度h． ‎ 参考答案 ‎1.【答案】B ‎【解析】解：A、，，，与无法比较大小，故本选项错误； B、，，，故本选项正确； C、当，时，，故本选项错误； D、当，时，，故本选项错误． 故选：B． 根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 本题考查了不等式的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质： 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：数列为等差数列，设其公差为d， ， ， 即； 过点，的直线斜率， 故选：B． 依题意，可求得等差数列的公差为，利用直线的斜率公式可得，从而可得答案． 本题考查等差数列的性质，求得等差数列的公差为是关键，考查直线的斜率，属于中档题． 3.【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题主要考查三角函数值的求解，根据函数的周期求出是解决本题的关键，根据三角函数的周期公式求出即可． 【解答】 解：函数的最小正周期为， 周期，解得， 即， 则， 故选A． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为R， 当，即时， 若不等式的解集是R， 则， 解得：． 综上所述，m的取值范围为． 故选：C． 若，即时，满足条件，若，即，若不等式的解集是R，则对应的函数的图象开口朝上，且与x轴没有交点，进而构造关于m的不等式，进而得到m 的取值范围． 本题考查的知识点是二次函数的性质，不等式恒成立问题，是函数和不等式的综合应用，难度不大，属于中档题． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：是与的等比中项， ， ． ，． ，当且仅当时取等号． 的最小值为． 故选：D． 是与的等比中项，可得利用及其基本不等式的性质即可得出． 本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，， 则 ‎ ‎ 故选：B． 结合已知可知，，结合图形关系及向量数量积的运算即可求解． 本题主要考查了平面向量数量积的基本运算，解题时要注意善于利用图形关系． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：数列的通项公式为，显然， 令，即得， 所以数列中的最大项为， 故选：A． 显然数列的项为正项，令，求出n的值，代入通项公式即可． 本题考查了数列的单调性，数列的最值，属于基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由，解得：， 由得：， 显然直线过时，z最大， 故，解得：， 故选：B． 先画出满足条件的平面区域，由得：，显然直线过A时z最大，得到关于k的不等式，解出即可． 本题考查了简单的线性规划问题，考查不等式问题，是一道中档题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题考查的是分组求和法，难点在于利用函数的解析式找出函数值的规律，属于中档题． 先将式子进行首尾组合，利用规律：当，，且时， 成立．易得本题结论． 【解答】 解：函数 当时，， 当，，且时，有： ． ， ． 同理； ； ． 又． ． 故选：C． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：在等差数列中，由，得， 则． 又，可知数列为递增数列，则，． 又． 当时，， 当时，， 使不等式成立的正整数n的最小值是11． 故选：C． 由已知可得，，再由，可知数列为递增数列，则，，可得当时，，当时，，由此可得正整数n的最小值． 本题考查等差数列的性质，考查数列函数特性的应用，是中档题． 11.【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题考查等差数列的性质及求和公式，考查运算能力，属于基础题． 直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果． 【解答】‎ 解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列， 则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于 ‎． 根据求和公式得：， 则． 故选：C． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为，，，， 则，；，； ，，，． ，， ． 又，当且仅当时取“” ． 故选：B． 设A，B，C，D各点的横坐标分别为，，，，依题意可求得为，，，的值，，，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值． 本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：，是单位向量，且，若，． 设与夹角为，则， 所以． 故答案为：． 利用向量的数量积，转化求解向量的夹角即可． 本题考查平面向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力． 14.【答案】40 ‎ ‎【解析】解：等差数列的前n项和是，，， ， 解得，， ． 故答案为：40． 利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果． 本题考查等差数列的前10项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 由题意可得，然后利用基本不等式求出的最小值，再根据恒成立，可得，解关于t的不等式可得t的范围． 【解答】‎ 解：，，且，， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为12． 恒成立，， ，， 的取值范围为． 故答案为． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意知函数的周期为， 只需考虑在内的最大值即可； 计算， 令，得， 即 ‎， 解得或， 所以在时，有，或； 所以的最大值只能在、或和边界点处取到， 计算，，，； 所以的最大值是． 故答案为：． 由题意知函数的周期为，考虑在内的最大值即可； 计算，利用求得极值点，再求在内的最值． 本题考查了三角函数最值的应用问题，也考查了利用导数求函数单调性与极值的应用问题，是中档题． 17.【答案】解：Ⅰ依题意分 解得 分 Ⅱ由Ⅰ可知，， 所以数列是首项为，公比为9的等比数列，分 ． 所以数列的前n项的和分 ‎【解析】Ⅰ利用等差数列的通项公式，由，，建立方程组，先求出首项和公差，再求数列的通项公式． Ⅱ由，，知数列是首项为，公比为9的等比数列，由此能求出数列的前n项的和． 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 18.【答案】解：． ，解得：或舍去，又， ． ，可得：， ， ， 设，，则在中，由余弦定理得， ， 的面积为，解得：， ，，，， 在中，由余弦定理得 ， 解得：． 【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而解得cosB，结合B的范围即可得解B的值； 先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求BC的值，再由三角形面积公式可求AB，BD的值，利用余弦定理即可得解AD的值． 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，熟记相关公式并灵活运用是解题关键，属于中档题． 19.【答案】解：直线与圆M相切， 圆的半径为， 故圆M的标准方程为． ，， 在中，． 点P在直线l：上 不妨设点P的坐标为， ，解得或， 点P的坐标为或． 当直线CD的斜率不存在时，其方程为，此时直线CD与圆M相离，不符合题意； 当直线CD的斜率存在时，设其方程为 ‎， 由勾股定理得，圆心M到直线CD的距离为，即，解得或， 故所求直线方程为或． ‎ ‎【解析】先利用直线与圆相切，求出圆的半径，即可写出圆的标准方程； 设，由题分析知，解方程求出m的值即可； 对直线CD的斜率分两种情况讨论，利用圆心M到直线CD的距离为，即可得解． 本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键点是圆心到直线的距离等于圆的半径，属于基础题． 20.【答案】解：由于D、O、E共线，故有 、O、G共线， ， ， ， ，求得， 可得：． 由可得与的高之比，与的面积之比为， ‎ ． ‎ ‎【解析】由D、O、E共线，故有再由 B、O、G共线，求得 ，再利用平面向量基本定理求得的值，即可得到结论． 由可得，可得，再根据，计算求得结果． 本题主要考查平面向量基本定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题． 21.【答案】解：设数列是公比为q且为递增等比数列，，且数列的前3项和， 则：，解得， 由于数列为单调递增数列， 所以． 所以， 由于数列的，点在直线上． 所以常数， 所以． 由于数列，， 所以， ， ‎ ‎ 得：． 整理得， 解得． 由于恒成立， 所以， 解得． 所以实数a的取值范围是． 【解析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式． 利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用和放缩法的应用，利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 22.【答案】解：Ⅰ根据题意，可得 在中，，， 由正弦定理，可得， ， 则，即为所求表示式； Ⅱ设， ‎ ，， ， 当且仅当即时，最大，从而最大， 结合题意，可得，解之得，即为所求山的高度． ‎ ‎【解析】Ⅰ根据题意，在中算出、，利用正弦定理加以计算，即可得到用a、、表示山的高度h的式子； Ⅱ设，利用正切的差角公式与三角函数的定义列式，然后根据基本不等式，可算出当时，最大，进而算出此时的，即为所求山的高度． 本题给出实际应用问题，求山高h的表示式并依此求视角最大时的山高h，着重考查了基本不等式、正弦定理与两角差正切公式等知识，属于中档题． ‎