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- 2021-05-19 发布
核心专题突破
第一部分
专题八 选考部分
第
2
讲 不等式选讲
栏目导航
2
年考情回顾
热点题型突破
热点题源预测
对点规范演练
逐题对点特训
2
年考情回顾
设问
方式
①
与含绝对值不等式的解法有关的问题
[
例
]
(2015·
全国卷
Ⅰ·24
题
)
；
(2016·
全国卷乙
·24
题
)
．
②
与含绝对值不等式有关的参数范围问题
[
例
]
(2015·
山东卷
·5
题
)
；
(2016·
全国卷丙
·24
题
)
．
③
证明不等式
[
例
]
(2015·
湖北卷
·21
题
)
；
(2016·
全国卷甲
·24
题
)
．
④
利用柯西不等式求最值或证明不等式
[
例
]
(2015·
福建卷
·21(3)
题
)
；
(2015·
陕西卷
·24
题
)
．
审题
要点
①
剖析清楚待求结论的要求，为寻求解题对策做准备．
②明确题设条件的限制，防止解题过程中范围的扩大或缩小．
热点题型突破
题型一 含绝对值的不等式的解法
命题
规律
高考中，常常命制求给定含绝对值的不等式的解集，有时还会含有字母参数．一般难度不大，属中等难度，比较适中．
方法
点拨
(1)
用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①
求零点；
②
划区间、去绝对值；
③
分别解去掉绝对值的不等式；
④
取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)
用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法
.
1
．已知函数
f
(
x
)
＝
|
x
＋
1|
－
2|
x
－
a
|
，
a
＞
0.
(1)
当
a
＝
1
时，求不等式
f
(
x
)
＞
1
的解集；
(2)
若
f
(
x
)
的图象与坐标轴围成的三角形面积大于
6
，求
a
的取值范围．
突破点拨
(1)
根据
x
的取值范围，去绝对值符号求解；
(2)
将
f
(
x
)
的解析式表示为分段函数的形式，利用图象与
x
轴围成的三角形的面积，求
a
的范围．
2
．
(2016·
辽宁协作体一模
)
已知函数
f
(
x
)
＝
|2
x
＋
1|
－
|
x
|
－
2.
(1)
解不等式
f
(
x
)
≥
0
；
(2)
若存在实数
x
，使得
f
(
x
)
≤
|
x
|
＋
a
，求实数
a
的取值范围．
突破点拨
(1)
由零点分段法去绝对值符号，注意结果为三种情况的并集
.
(2)
将未知量
x
的式子移项到一边，然后利用大于最小值即满足条件求解．
3
．已知函数
f
(
x
)
＝
|
x
－
1|
＋
|
x
＋
3|
，求
x
的取值范围，使
f
(
x
)
为常函数；
突破点拨
利用零点分段讨论求解．
解含绝对值不等式的方法
(1)
解绝对值不等式主要是通过变形去掉绝对值符号进行求解．
(2)
含有多个绝对值符号的不等式一般可用零点分段法求解．
①
令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；
②
把这些根由小到大排序，它们把数轴分成若干个区间；
③
在所分区间上去掉绝对值符号，化成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
④
这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．
题型二 不等式的证明
命题
规律
高考中，通常设计命制给定一定条件下的不等式的证明问题．一般难度不大，比较适中．
方法
点拨
(1)
作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：
①
作差；
②
分解因式；
③
与
0
比较；
④
结论．关键是代数式的变形能力．
(2)
在不等式的证明中，适当
“
放
”“
缩
”
是常用的推证技巧．
(3)
反证法：反设结论，导出矛盾
.
(1)
不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法．
(2)
证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：
①
利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
②
利用三角不等式
||
a
|
－
|
b
||
≤
|
a
±
b
|
≤
|
a
|
＋
|
b
|
进行证明．
③
转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
题型三 柯西不等式的应用
柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑构造出柯西不等式的形式．
题型四 含绝对值不等式的恒成立问题
2
．
(2016·
湖北武汉模拟
)
已知函数
f
(
x
)
＝
|2
x
＋
2|
＋
|2
x
－
3|.
(1)
若存在
x
∈
R
，使得不等式
f
(
x
)
＜
m
成立，求
m
的取值范围；
(2)
求使得不等式
f
(
x
)
≤
|4
x
－
1|
成立的
x
的取值范围．
突破点拨
(1)
利用含绝对值不等式的性质
|
a
|
＋
|
b
|
≥
|
a
－
b
|
求解；
(2)
利用含绝对值不等式的性质推出
f
(
x
)
≥
|4
x
－
1|
，进而得到
f
(
x
)
＝
|4
x
－
1|
，从而可求
x
的范围．
不等式选讲的综合应用问题
热点题源预测
考向
预测
将含绝对值不等式与不等式证明交汇在一起构建求解集、证明不等式、求范围、最值问题．
解题
关键
(1)
挖掘题设条件的隐含要素；
(2)
剖析题设条件的结构特点；
(3)
依序按不同问题的求解通法求解；
(4)
表述规范．
失分
防范
(1)
注意题设条件的限制，防止范围的扩大；
(2)
关注所求问题的要求，做到“既会又全”；
(3)
关注不等式证明中等号成立的条件
.
对点规范演练
逐题对点特训
制作者：状元桥
适用对象：高三
学生
制作软件：
Powerpoint2003、
Photoshop cs3
运行环境：
WindowsXP以上操作系统